2020届山西省大同市高三开学学情调研测试试题数学(理)试题(解析版)

1、的点的坐标，从而得到结果.第 1 1 页共 2020 页2020 届山西省大同市高三开学学情调研测试试题数学(理)试题、单选题1 1.已知集合A=x R |0：x：3,B Ax R |x2一4?，则B二()()A A .x |2：x：3C C .x | x _ -2或2乞x：3【答案】B B【详解】 集合 B B 中的不等式x2-4, ,移项并分解因式得：(x 2)(x-2尸0, ,可解得x2或x, -2, ,所以集合B二x|x, -2或x2. .又集合A = x |0：x：3, ,则AflB =x|2, x 1时，两个函数有且只有一个交点，故选B B.第5 5页共 2020 页nJT,)上的

2、图象大致为(2【答案】C C【解析】 【详解】.2第6 6页共 2020 页因为函数 f f（X X）的定义域为（，），关于原点对称，且2 2f （-x） = -2x tan x = - f （x），所以函数 f f （x x）的图象关于原点对称，排除 A A、B B 选项，TT在同一直角坐标系中，作出函数y =2x，y二tanx在（_ , ）的图象,2 2由图可知故在x 0时，靠近y轴的部分满足2x tanx，比较选项 C C、D可得答案 C C 正确，故选 C.C.【考点】1 1 函数的奇偶性；2 2 次函数与正切函数的图象；3 3 排除法. .9 9 三国时代吴国数学家赵爽所注周髀算经中

3、给出了勾股定理的绝妙证明下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实.图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实、 黄实，利用2勾 股（股-勾）2=4朱实黄实二弦实， 化简， 得勾2-股2二弦2设 勾股形中勾股比为1：.3，若向弦图内随机抛掷 10001000 颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为（）A A 866866 B B. 500500 C C 300300 D D 134134【答案】D D【解析】由题意，大正方形的边长为2,中间小正形的边长为.3-1，则所求黄色图形1010 某几何体的三视图如图所

4、示，则该几何体外接球表面积为（内的图钉数大约为10003-1:134，故选 D.D.第7 7页共 2020 页【点睛】数学思想方法，考查空间想象能力，属于中档题 要找到几何体外接球的球心，主要根据几何体的结构，利用球心到球面上的点的距离相等，通过解直角三角形来求解出半径,从而求得球的表面积或者体积A A .11二【答案】C CB B.14二328二3D D.16二【解析】画出几何体的直观图,利用底面的外心和高的一半求得球的半径,由此求得球的表面积. .【详画出几何体的直观图如下图所示A - BCD，设球心为0，底面等边三角形BCD的外心为，由三视图可知3OfB2=3OB ： 3，设球的半径为(

5、227r2=00j OfB2=12，故球的表面积为M丿34n2二些，故选 C.C.3本小题主要考查由三视图还原为原图,考查几何体外接球的有关计算，考查数形结合的第8 8页共 2020 页1111.在直角三角形 ABCABC 中，C = 2,AC =3，取点 D D、E E，使BD =2DA，AB=3BE，【答案】D D【解析】由向量的线性运算法则，算出击=2CACB且CEJCACB，从3333而算出CDCA宗CA总（3CA5CB），再将 和启代入进行计 算，可得答案。【详解】故选：D.D.【点睛】 本题给出直角三角形ABC斜边AB上满足条件的两点D,E,求向量的数量积.着重考查了向量的线性运算

6、法则、平面向量数量积公式及其运算性质等知识，属于中档题.2笃=1的焦点，Sx是双曲线 M M 的一条m一个公共点，则A A. 8 8PFiPF2=（）B B. 6 6C C. 1010D D . 1212【答案】 D D【解析】利用Fi、F2是双曲线M :丄X2-21的焦点，2Jy=-x是双曲线M的一4m53的椭圆E与双曲线M的焦点相同，求出椭圆的长轴长，再利4用椭圆、双曲线的定义，即可得出结论.【详解】那么CDCA CE C =（）A A. -6-6B B. 6 6C C. -3-3.CD CB =2（CA CD），化简得CD=2CA+CB,3314* *兀同理可得CECA CB，C，可得C

7、A CB =0,3321 CA CB）二二CA +二337 BD =2DA，CAk0)0.150.150.100.100.050.050.0250.0250.0100.0100.0050.0050.0010.001k02.0722.0722.7062.7063.8413.8415.0245.0246.6356.6357.8797.87910.82810.828(K2二-，其中n = a b e d)(a+bc+d a+cjtb+d )【答案】（1 1）可以在犯错误概率不超过0.0010.001 的前提下，认为教师教学水平好评与教师8. .见解析E（X），D（X）5【解析】 分析：（1 1）由题

8、意得到列联表，根据列联表求得 可得结论.（2 2）由条件得到X的所有可能取值，再求出每个取值对应的概率，由此 可得分布列.由于X、Bi4,2，结合公式可得期望和方差.I 5丿详解：（1 1）由题意可得关于教师教学水平和教师管理水平评价的22列联表:对教师管理水平好评对教师管理水平不满意合计2n ad -be2425K2的值后，再根据临界值表管理水平好评有关第1717页共 2020 页对教师教学水平好评1201206060180180对教师教学水平不满意1051051515120120合计22522575753003002由表中数据可得K2300120 160 105.16.667 10.828

9、,180 x120 x225x75所以可以在犯错误概率不超过0.0010.001 的前提下，认为教师教学水平好评与教师管理水平好评有关. .2 2， 3 3, 4 4,其中p（x =0）=21；15丿,2丫3 $p x =1 =C45 5；P X =4 i；= C：所以x的分布列为:x0 01 12 23 34 4Pc4-丫3丫C2们何C：岔。15丿4(5人5丿415丿15丿415八5丿415丿15丿由于x B 4,2，I 5丿28J2 F 2 24则E x =4T5，Dx =45坛.点睛：求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能值,(2(2)对教师教学水平和教师管理水平全好评

10、的概率为-，且x的取值可以是 0 0，1 1，52p x =2二C4r.i2p x =3二c|门1写出随第1818页共 2020 页量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算，对于二项分布的均值和方差可根据公 式直接计算即可.20.已知函数.1I、.（1） 当汗时，求的图像在处的切线方程；（2） 若函数汀:心-二汇-汁十:I 在上有两个零点，求实数的取值范围.f1 1【答案】（1）2x-$T=0；（2）口+飞.【解析】试题分析：（1）求函数的导数，利用导数的几何意义即可求的图象在-ri 1处的切线方程；（2）利用导数求出函数的在-疋 上的极值和最值，即可得到结论.试题解析：（1）当亠时，-,切

11、点坐标为1M,切线的斜率则切线方程为-，即- .-.（2） 一二则_ -XX1 1 HE，当g 1x1=0时，丫二1.当一 ”时，；当忖述空时，一 故誇Lv）在：- 处取得极大值1! _ .J- !.r 1八又g二规-一一,glgl二刖+2-，I盘丿b了、1）一瓦一=4-e +0 ,G J盘n（jn0対在1怡上的最小值是gig）.药塔在1怡上有两个零点的条件是第1919页共 2020 页解得小弋：二-【1 实数朋的取值范围是1 V + r【考点】利用导数求闭区间上函数的最值22l2121 .椭圆 笃爲=1(a b 0)两焦点分别为Fi、F2,且离心率e=6；a b3 3(1) 设 E E 是直

12、线y = x+2与椭圆的一个交点，求EF+|EF2取最小值时椭圆的方程；(2)已知N0,1, 是否存在斜率为 k k 的直线 I I 与(1 1)中的椭圆交于不同的两点A A、B B,使得点 N N 在线段 ABAB 的垂直平分线上，若存在，求出直线I I 在 y y 轴上截距的范围；若不存在，说明理由。【答案】2(1 1) y1. . (2 2)存在，见解析3【解析】b212 2()由于e -, -2_，椭圆方程可化为22- 1与直线方程3 3a233b2b2y二x 2联立，消去y化简得：4x212x 13b0，又由厶一0,解得b2_1,此时EF-|EF2 =2 3b 2.3，当且仅当b=1

13、时取等号，此时EFJ -|EF2取最小 值2,3即可得到椭圆方程.(2 2)设直线 I I 的方程为y二kx t，代入椭圆方程可得到一元二次方程即根与 系数的关系，利用中点坐标公式可得线段AB的中点M坐标公式，利用kMN-1可 得k与t的关系，结合.：- C进而得出t的取值范围.当k = 0时，容易得出.【详解】厂b2122解：(1) e e = =6 6 , , . .椭圆方程可化为 一 r r 笃-1，与y = x 2联立，3 3a233b2b2消去 y y 化简得4x2V2x V2 -3b2=0,第2020页共 2020 页又由U=144b2-1612-3b2_0，解得b2_ 1，此时|

14、EFI|+|EF2|=23b兰2岛，当且仅当b=1时，EFi+|EF2取最小值2近,2所以椭圆方程为y2=1=1. .32(2 2)设直线 I I 的方程为y =kX - t，代入1 y2=1，消去 y y 整理得：31 3k2x26ktx 3t2-3 =0T直线与椭圆交与不同的两点，.U =(6kt)2-12 t2-1 1 3k20,即t2: 1 3k2，设A X1,y1,B6kt3t23X1X22，XtX2=-亏,1 3k2121 3k2则AB中点Q罟，程【点睛】 本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到厶匚及根与系数的关系、中点坐标公式、相互垂直的直线的

15、斜率之间的关系、分类讨 论的思想方法等基础知识与基本技能方法，属于难题.2222 .在平面直角坐标系 xoyxoy 中，以坐标原点 O O 为极点，x x 轴正半轴为极轴建立极坐标系。已知曲线 C C 的极坐标方程为sin2r =2acos(a 0)，过点P -2,-4的直线 1 1 的参一2迢2数方程为_ （为参数），直线 I I 与曲线 C C 交于 M M、N N 两点。72 y = 4tI 2（1 1）写出直线 I I 的普通方程和曲线 C C 的直角坐标方程：所以当k=0时,宜I k1 3k2化简得1 3k2= -2t，代入t2：1 3k2得-2t：0；又-2t=1 3k21，所以t

16、：一丄，故 一2：t：-1；当k = 0时，-1. t：综上，k = 0时，2t :-；k = 0时，一1：t： ：1.第2121页共 2020 页（2 2）若|P M M N P N1成等比数列，求 a a 的值。【答案】（1 1）I I 的普通方程y=x2； C C 的直角坐标方程y= 2ax；（ 2 2）a=1.a=1.【解析】（1 1）利用极坐标与直角坐标的互化公式即可把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，利用消去参数t即可得到直线I的直角坐标方程；（2 2）将直线I的参数方程，代入曲线C的方程，利用参数的几何意义即可得出| PM | | PN |，从而建立关于a的方程，求解即可.【详

17、解】x = 2 + t（1 1）由直线 I I 的参数方程消去参数 t t 得，y =_4 + I 2-4x2，即y =x -2为| |的普通方程由sin2v -2acos，两边乘以得2sin2v -2acosv-y二2ax为 C C 的直角坐标方程. .72x = 2 + t（2 2）将 代入抛物线y2=2ax得t2272(a+4)t + 32+8a = 0A.近*y = -4 + tj2|_=(2、2(a 4)2-4(32 8a) 0tit2 =2、2(a 4)0t,t2=32 8 a 0右-0,t20由已知|P M |,| M N |,| P N |成等比数列,| MN |2=| PM

18、| | PN |第2222页共 2020 页口仃222即 12= t|t2,(t|+t2)一4址2=t|t2,(t|+t2)= 5t|t2,(2 .2(a 4)2=5(328a)整理得a23a - 4=0a- - 4 4 (舍去)或 a a=1. .【点睛】熟练掌握极坐标与直角坐标的互化公式、方程思想、直线意义是解题的关键.2323.设 a a, b b, c c 均为正数，且 a+b+c=1a+b+c=1，证明:1ab+bc+acab+bc+ac _ _3【答案】（I）证明见解析；（IIII）证明见解析【解析】【详解】a2b2c2_ ab be ca,由题设得一即a2b2c22ab 2bc 2ca二1,1所以3(ab bc ca)乞1，即ab