2020届普通高等学校招生全国统一考试高三压轴试题(一)数学(文)试题(解析版)

1、【点睛】第 1 1 页共 2525 页2020 届普通高等学校招生全国统一考试高三压轴试题（一）数学（文）试题一、单选题1已知集合A 1,0,1,3,5,B xl-21则eRB I A（）（）x 1A A 1,0,5B B.1,2,3C C 2,3D D 1,3【答案】D D【解析】根据分式不等式的解法，求得集合B x|x 1或x 3,进而根据集合的运算，即可求解 【详解】23x由不等式1，即0,可得x 1或x 3,x 1x 1即集合B x|x 1或x 3,则eB1,3,又由A 1,0,1,3,5，所以eRBA 1,3. .故选：D.D.【点睛】本题主要考查了分式不等式的求解，以及集合的混合运

2、算，其中解答中熟记分式不等式的解法求得集合 B B 是解答的关键，着重考查了推理与运算能力. .2.复数z邑丄（其中i为虚数单位），则z（）（）12iA A . 2 2B.B. - -C C 、.2D D 、53【答案】C C【解析】 根据复数的运算法则和复数模的计算方法，准确运算，即可求解【详解】3i 3 i 1 2i 17-17由复数的运算法则，可得zi，则zi1 2i 1 2i 1 2i 5555所以z（丄）2（7）242.V 55第2 2页共 2525 页故选：C.C.第3 3页共 2525 页本题主要考查了复数的运算法则及模的计算，其中解答中熟记复数运算法则是解答的关键，的着重考查了

3、计算能力 3 3 .据国家统计局数据：20002000 年，20182018 年我国 GDPGDP （国内生产总值）分别为 1010 万亿,9 90 0 万亿.200.2000 0 年与 2012018 8 年国内生产总值中第一产业、 第二产业、 第三产生的比例如图, 则对比 2002000 0年与 20182018 年的数据，下列说法错误的是（）（）A A 第一产业占比减少了约一半C C .第三产业生产总值增长了约1111 倍【答案】D D【解析】根据给定的统计图表，结合图表中的数据，即可判定，得到答案 【详解】由题意，根据统计图表，可得第一产业占比由14.7%14.7%变为 7.4%7.4

4、%，减少了约一半;第三产业生产总值 20002000 年约为10 0.3983.983.98, 20182018 年约为90 0.5246.846.8，增长了 约 10.7610.76倍;第一产业生产总值由10 0.1471.471.47 变为90 0.0746.66.6.66.远低于第三产业变化量;第二产业占比变化量为4.9%4.9%是最小的. .故选：D.D.【点睛】本题主要考查了统计图表的实际应用，其中解答中正确认识统计图表，合理判定是解答的关键，着重考查了数据分析能力2 24 4.FJ,F2是双曲线x2-y21 a 0,b 0）的左右焦点，过F2作垂直于x轴的直线a b6 .22MCO

5、年我国产业结桓占比2创8歼找国产业结枸占比B B 第二产业占比变化最小D D .第一产业生产总值变化量最大交双曲线于A, B两点，若cos AF1B1，则双曲线的离心率为3B B.第4 4页共 2525 页【答案】C C【解析】利用2倍角余弦公式求出F2FIA的正弦值，分别设AFim,F2A n，再结合直角三角形及双曲线定义解出a a, c c,进而求得结果。【详解】根据题意 ABAB 丄 x x 于F2,21所以ARB 2/F2F1A，故cos AF,B 1 2sin2/F2F,A -,31F2A解得sinF2FIA二匸長FiA设AFim, F2A n，即m二3n,所以2a，3nn(、_31

6、)n,2c；(. 3n)2n2,2nc . 2n 62所以ea (3 1)n2故选：C.C.【点睛】本题考查了双曲线的几何性质离心率的求解，其中求双曲线的离心率( (或范围) )，注意数形结合利用几何方法能够快速解决此类问题.5 5.f x是定义在R上的奇函数，当x 0时，f xxl nx，贝y f x在点e, f e(其中 e e 为自然对数的底)处的切线方程为()()A A.2xy e 0B B.2xy e0C C.2x y e 0D.exy20【答案】B B【解析】根据导数的运算，求得f e 2，进而结合函数的性质，求得fe e,f e2，再利用直线的点斜式方程，即可求解 【详解】由题意

7、，当x 0时，函数f x xlnx，则f x In x 1,所以f e 2,又因为y f x是奇函数，可得函数y f x是偶函数，所以fe f ee,f e f e 2,第5 5页共 2525 页故曲线f x在点e, e切线方程为y ( e) 2x ( e)，即2x y e 0. .故选：B.B.第6 6页共 2525 页【点睛】本题主要考查了利用导数求解函数在某点处的切线方程，何意义求解曲线在某点处的切线方程的方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力 【答案】C C角，即可求解 【详解】其中解答中熟记利用导数的几【解析】分别取AD, BC,EF的中点M、P，则侧视图的形状即为MNP，再结合

8、几何体的结构特征和勾股定理，求得PN2MN2PM20,得到PNM为钝由题意，分别取AD, BC,EF的中点MP，可得几何体侧视图的形状即为6 6 多面体ABCDFE是三个面为等腰梯形，其他两面为直角三角形的五面体，直观图C C D D 第7 7页共 2525 页MNP,f M因为BC与EF的距离为 7 7,所以PN 7,第8 8页共 2525 页在直角ABE中，AE2AB22 2 2可得PMAE 1 ABBE2, ,121 AB249,BE21AB272同理MN2AB24，则PN2MN2PM249AB24AB2494 0,可得PNM为钝角，结合选择，可得 C C 项符合题意故选：C.C.【点睛

9、】本题主要考查了空间几何体的结构特征，以及几何体的三视图的应用，其中解答中熟练应用空间几何体的结构特征进行判定是解答的关键，着重考查了空间想象能力， 以及推理与计算能力 MA 2NA7 7在VABC中，过重心G的直线分别与AB, AC交于M ,N，贝y的最小MB NC值为（）（）A A 3 2.2B B. 3 3C C.2 2D D .不存在【答案】A AUJITUUUUUUTBM【解利用平面向量的基本定理，AGAM 1AN, ,求得 型31和AMCNBMCN ,2 3，得到1，再由ANAMANMA2NAMA2NABMCN“亠亠”，化简利用基本不等式，即可求解MBNCMBNCAMAN【详解】由

10、题意，可知M,N,G三点共线，ujiruuuuujir 1 uuu 1 uuu可得AGAM1 AN - AB - AC,33uuuu 1 uuuLULT1ULUT所以AM AB,ANAC,33 11第9 9页共 2525 页则列AMAB AB31;AB3同理可得CNAN1丄3 313 3十亠MA 2NA又由MB NCMA2NAMBNC32NA BM NCAMMA NCAN MBBM丿CN当且仅当2 1,AMAN故选：A.A.【点睛】BM CNAM AN本题主要考查了平面向量的基本定理,面的基本定理求得迥3AM键，着重考查了推理与运算能力8 8.月形是一种特殊的平面图形,一2时取等号以及基本不等

11、式的综合应用，其中解答中利用平1和AN空2 3，再结合基本不等式求解是解答的关指有相同的底，且在底的同一侧的两个弓形所围成的图形 月形中的一种特殊的情形是镰刀形, 即由半圆和弓形所围成的图形（如下图），若半圆的半径与弓形所在圆的半径之比为1:2,现向半圆内随机取一点，则取到镰刀形中2.3B B.2；3【答案】【解析】首先设半圆半径为r，分别计算半圆的面积和弓形的面积，再代入几何概型公式计算即可 【详解】如图所示:1第1010页共 2525 页第1111页共 2525 页【点睛】【答案】D D【解析】 首先根据 f(x)f(x)为奇函数，排除 C C,根据f x 11丄二11，排除 A A，排除

12、法即可得到答案236【详解】121弓形面积为-2r622r22r、3r2概率为32r2故选：B B设半圆半径为r，半圆面积为2：3 13本题主要以数学文化为背景考查几何概型,同时考查学生的逻辑思维能力，属于中档题 9 9 .声音中包含着正弦函数 音的四要素：音调、响度、音长和音色都与正弦函数的参数有关 我们平时听到的音乐不只是一个音在响，是由基音和许多个谐音的结合，其函数1 1可以是f xsinxsin2x sin 3x，贝U f x的图象可以是(34-Af f? ?，排除 B B，根据A A .)B B.第1212页共 2525 页因为 f(x)f(x)的定义域为R,故选：D D【点睛】DP

13、G即为直线DP与平面ABG所成角，结合正方体的结构特征，求得21 1 cos DPG一，即可求解. .9 3【详解】1A A .B B.32C C.5【答案】A A【解析】设正方体的棱长为f ( x) sin( x)2x)1-sin( 3x)31sinxsi n2xsin3x2f (x),所以 f(x)f(x)为奇函数,排除C.C.因为f x2 233，故f2，排除 B B ；1 =113石，而 A A 选项的max2，排除 A.A.本题主要考查根据解析式判断函数的图象,同时考查了函数的奇偶性,特值法以及函数的最值，属于中档题 1010 .如图，正方体ABCD ABQiDi 点P在线段BCi上

14、移动，直线DP与平面ABG所成角的余弦值不可能是()()平面A1BC1，得到a,设VABG的中心G，可得DG第1313页共 2525 页由题意，设正方体的棱长为a，设VABG的中心G，可得DG平面A1BC1,第1414页共 2525 页所以DPG即为直线DP与平面ABG所成角. .又由正方体的性质，可得DG 3a,31 i又因为一y ,所以不满足条件. .9故选：A.A.【点睛】本题主要考查了直线与平面所成角的求解，其中解答中熟记直线与平面所成角的概念,以及合理利用正方体的结构特征是解答的关键，着重考查了推理与运算能力. .2 21111.已知椭圆2 2 1 a b 0的离心率为e，焦点分别为

15、FE,P为椭圆上a2b2uuur不同于长轴两端点的动点，x轴上的点M满足PM横坐标的取值范围是e,e，则椭圆的焦距为（）（）连接GP，在VABG中，可得GP6 6a, a63又由tan DPGDGGP2、入a三 .2,2 .2GP所以cos2DPG11 tan2DPG1 19,3uuuuuuPF1PF2uuuuuu 右点M的PF1PF2第1515页共 2525 页【答案】A AB B.2.3C C.5 1D D .无法确定第 i i1616页共 2525 页uuu uuuPFiPF2,ttitL |UUU |，得到PM为F1PF2的平分线，进而得到PFiPF2XMc 2a PF2C XMPF2

16、I求得xMPF2，结合椭圆的几何性质，求得xMec,ec，即可求解a【详解】uuu uuuuuuuPFiPF2由题意，P为椭圆上的动点，x轴上的点M满足PMuuuuuuPFiPF2解得XMc aPF2a7又由PF2ac, a c，即XMc又因为e，即XMec,ec，a因为点M的横坐标的取值范围是e,e，所以c i，从而椭圆焦距为 2.2.故选：A.A.【点睛】本题主要考查了向量的运算，以及椭圆的几何性质的综合应用，其中解答中根据椭圆的2 2c c,是解答的关键，着重考查了推理与运算能力a ai2i2 定义在R上的连续函数f x ,g x满足x,y R,f x yf x g y f y g x,

17、g x y f x f y g x g y,2g 2x 2 g xi. .则下列关于f x ,g x的命题：g x f x恒成立；f x一定是奇函数，g x一定是偶函数；g 2x f 2x f x g xf x ,g x定是周期函数 其中真命题的个数为（）（）uuuu【解析】由PM可得PM为F1PF2的平分线，所以MFiMF2XMCC XM2a PF2PF2几何性质，求得XM，即第 i i1717页共 2525 页A A . 4 4B B. 3 3C C. 2 2D D . i i第1818页共 2525 页【答案】B B【解析】 合理利用赋值法，结合函数的基本性质，逐项进行判定，即可求解令y

18、x，则f 0fx g - x f - x g x0,g 0 f x fxg x g x 1,两式相加可得：22f x g xf - -xg -x1 g xf xf x g xg x-f x【点睛】由题意, 令yx，可;得f 2x 2f xg22因为g 2x2g x1f xg所以g xJfx21f xfx由g 02 g 021，解得g 01或g又由f02f0 g 0 2f 0可得fx，g 2xfx2 2g x0,222x ,gxf x1,，正确且gx 1;01,由于g 01，可得g 01,20 0,所以g x fxf -x两边同时平方得22g xf x2f即1 f2x1 f2x奇函数，又由f(0

19、)f x所以gxg x,所以由于g 2xf 2xf确；函数fxxe e，gX2误 g -x，所以f2x2x对任意x为偶函数，故正确;2 2g x 2f x g x2fx都成立，从而2，故正xxe e满【详xggxx故选：B.B.第1919页共 2525 页本题主要考查了抽象函数的应用,以及函数的基本性质的综合应用，其中解答中合理利用赋值法和函数的基本性质， 进行推理判定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力第2020页共 2525 页【详解】1i由In a，根据指数式与对数式的运算，可得a ee，即aee，ea e则logae logaaeelogaa e，所以aelogae 0. .故答案为

20、：o.o.【点睛】本题主要考查了指数式与对数式的互化，以及对数的运算性质的应用，其中解答中熟记指数式与对数式的运算性质，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力 x y 51414 已知x,y满足约束条件x 2y 0，则x 2y的最小值为 _. .2x y 32525【答案】253 3【解析】画出约束条件所确定的平面区域，结合图形，确定目标函数的最优解，代入即可求解 【详解】x y 5由题意，画出约束条件x 2y 0所确定的平面区域，如图所示，2x y 31z设 z z x x 2y2y，可化为直线y x -22当直线过点A时，此时直线在y轴上的截距最小，目标函数 z z 取得最小值,二

21、、填空题1313 .若In a_，贝y aelogaee【答案】0 0【解析】根据指数式与对数式的运算,求得aee,再结合对数的运算性质， 即可求解 用赋值法和函数的基本性质， 进行推理判定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力第2121页共 2525 页故答案为:又由y2y5，解得A|03103代入目函数 z z x x 2y2y，可得最小值为z1025第2222页共 2525 页【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题.其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用 一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考 查了数形结合思想，及推理与计算能力.1515.在平

22、面直角坐标系中，定点A 2,0 ,B 1,1,动点【详解】故答案为：2 2 .6.6.【点睛】AEAFOEOFuuuBEuuuBF，则EF的最小值为【答2.62.6【解设点Px,y，由APOP2，求得x 22y28，得到点E, ,F都在以C -2,0为圆心,2、2为半径的圆上，点B为圆内一点，结合圆的弦长公式，即可求设点P x, y，由APOP2，可得x 22 2，即x 2 y 8,AEAFOEOF所以点E, ,F都在以C - 2,0为圆心，2 2为半径的圆上，点B为圆内一点，UJUuuuL L r又因为BE BF，可得E,F,B三点共线,由圆的性质，可得当CB EF时弦EF长度最小,最小值为

23、EF2 R2BC-2-2 , ,E,F满足因为动点E, F满足第2323页共 2525 页利用圆的弦长公式求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与计算能力本题主要考查以及直线与圆的位置关系的综合应用,其中解第2424页共 2525 页三、双空题1616 等边三角形ABC的边长为 2,2,线段DE将三角形分成面积相等的两部分，D在AB上E在AC上 设ADx，DE y，则y关于x的函数关系为 _x 1,2，DE的最小值为_2 2当且仅当 x x 2 2 时取等号，即DE最小值为.222 _x 6，2. .x【点睛】本题主要考查了余弦定理和三角形的面积公式，以及基本不等式的综合应用，其中解答

24、中熟记三角形的面积公式，以及合理利用余弦定理求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力 四、解答题1717 近年来，我国经济取得了长足的进步，同时性别比例问题日益突出根据国家统计局发布的 20192019 年统计年鉴，将国家 3131 个省级行政区（特别行政区未记人） 的人均国内生产总值与人口性别比例（每100100 位女性所对应的男性数目）做出了如下柱状图 从人口统计学角度来说，性别比例正常范围在102102 至 107107 之间 人均国内生产总值小于 6.56.5 万元人民币（约 1 1 万美元）称为欠发达地区，大于或等于6.56.5 万元的地区称为发达地区【答案】y22xx【解析】结合

25、三角形的面积公式，求得AE-，在ADE中，即可求得函数的解析式,x再结合基本不等式，即可求解【详由题意，等边三角形ABC的边长为 2 2,其面积为SABC因为D在AB上E在AC上，且AD x，所以SADE又由线段DE将三角形分成面积相等的两部分,SADE1AB AC sin A 2sin A，21x AE sin A，2ABC，1即一x AE si nA si nA，所以AE2ADE中，由余弦定理可得DE2AD2AE22AD AE cos A，$2x?xx6，整理得yJx2故答案为:第2525页共 2525 页性别比例正常性别比小计磁达小计（1 1）已知性别比例正常的省级行政区中欠发达的行政区

26、的个数是发达行政区的两倍， 完成列联表，并判断是否有 90%90%的把握认为各省级行政区的性别比例与经济发展程度有 关；（2 2） 在人均国内生产总值介于 6.56.5 万与 1010 万之间的 7 7 省级行政区中，有 3 3 个人口性别比例正常，从中任取两个，求抽到两个省级行政区的人口性别比例都正常的概率 附：参考公式及临界值表2n ad bc,-，n abedabedaebdP K2ko0.150.100.050.0250.0100.0050.001ko2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.8281【答案】（1 1）列联表见解析，有把握；（2 2）丄. .7【

27、解析】（1 1）结合柱状图中的数据，列出2 2的列联表，求得 K K2的值，利用附表中的 数据，即可得到结论；（2 2）由题意，3 3 个人口性别比例正常的记为a,b, e，其余 4 4 个记为1,2,3,4，禾 U U 用列举 法求得基本事件的总数和所求事件所包含的基本事件的个数，利用古典概型的概率计算公式，即可求解. .【详解】人均园内生产总值蟆数圈K22第2626页共 2525 页(1 1)由柱状图可得，性别比例正常的省级行政区有1212 个，不正常的有 1919 个欠发达省级行政区有 2020 个，发达省级行政区有 1111 个，根据题目条件可得，性别比例正常的有1212 个省级行政区

28、中发达省级行政区有4 4 个，欠发达省级行政区有 8 8 个，列联表如下：性别比例正常性别比例失常小计欠发达8 812122020发达4 47 71111小计1212191931312可得231 8 74 12可得K20.042.706，20 11 12 19所以没有 90%90%的把握认为经济发展程度与人口性别比例有关(2 2)人均国内生产总值介于6.56.5 万与 1010 万之间的 7 7 省级行政区中，3 3 个人口性别比例正常的记为a,b,c，其余 4 4 个记为1,2,3,4，从中任取两个的基本事件可记为：a,b , a,c , a,1 , a,2 , a,3 , a,4 , b,

29、c , b,1 , b,2 , b,3 , b,4 , c,1c,2 , c,3 , c,4 , 1,2 , 1,3 , 1,4 , 2,3 , 2,4 , 3,4，共有21个. .其中满足题目条件的事件有a,b , a,c , b,c共 3 3 种，1所以两个省级行政区性别比例都正常的概率为一.7【点睛】本题主要考查了独立性检验的应用，以及古典概型及其概率的计算，其中解答中认真审题，结合柱状图的数据，以及列举法求得基本事件的总数是解答的关键，着重考查了数据分析能力，以及计算能力. .1818.已知数列an满足a11,a25,a, 5a. 16a.(n N*). .(1 1)证明an 12an

30、,an 13an都是等比数列；(2(2)求数列an的前n项和Sn. .【答案】(1 1)证明见解析；(2 2)Sn3n 112n第2727页共 2525 页3和*2 3an 12，结合12 anan 13an等比数列的定义，即可求解;等比数列的求和公式，即可求解【详解】【点睛】综合应用，着重考查了推理与运算能力 1919如图，四棱柱ABCDABC1D1，底面ABCD为等腰梯形，【解析】（1 1）由题设条件，进行化简，求得an 22an 1an(2(2)由(1 1)可得an 12an3n，an 13an2n，两式相减可得an3n2n，利用(1)由题意，数列an满足ai1，a2an 25an 16

31、an，可得an3an 16anan 1，即an 22an 1an 12 an又由32所以数列an2an是以 3 3 为首项，3 3 为公比的等比数列,同理an2an 16anan 1戸an 23an 1，即an13an又由a23a1所以数列an3an是以 2 2 为首项,2 2 为公比的等比数列 (2)由（1 1）可得an 12an3n3an2n两式相减可得an3n2n所以S133n2n3 3n11 32 2n11 23n112n12本题主要考查以及等比数列的定通项公式和前 n n 项和公式的第 i i2828页共 2525 页AB/CD,D1DC 60；CD DD12AD 2AB 2，侧面A

32、BB1A,底面ABCD. .（1 1）在侧面BCGB,中能否作一条直线使其与AD平行？如果能，请写出作图过程并给出证明；如果不能，请说明理由；（2 2）求四面体ACiBD的体积. .3【答案】（1 1）不能，理由见解析；（2 2）. .4【解析】（1）假设在侧面BCCiBi中存在线段|满足条件，得到AD/平面BCCiBi，利 用线面平行的性质定理，证得AD/BC，得出矛盾，即可求解；（2 2）取CD中点M，连接DiM，DiC,分别证得AB/平面 CDDCDDG G 和AAJI平面CDDCDDiC Ci，进而证得DiM平面ABCD，得到四棱柱的高为.3，结合体积公式，即 可求解. .【详解】（i

33、 i）不能做出这样的直线段，理由如下：假设在侧面BCCiBi中存在线段I满足条件，则由于AD平面BCCiBi，可得AD/平面BCCiBi，因为AD平面ABCD，平面ABCD I平面BCCiBiBC，所以AD/BC，这与等腰梯形ABCD中，AB/CD矛盾，所以假设错误，即侧面BCCiBi中不存在满足条件的直线段 （2 2）取CD中点M，连接DiM，DiC，第2929页共 2525 页因为CD DDi2，DiDC 60，可得DiDC为等边三角形,所以DiM CD，DiM -3. .第 i i3030页共 2525 页因为AB/CD,AB平面 CDDiGCDDiG ,CD平面CDC1D1, 所以AB

34、/平面 CDDCDD1C C1,同理可证AA,/平面 CDDQCDDQ!. .又因为AA1I AB A,AA1,ABi平面ABB1A1A，所以平面ABBA平面 CDDGCDDG ,所以VC1BDVABCD AB1GD1VD AC1D1VB AiCiVAiABDVciBCDVABCDAB1CP3SA仲1SAA1B1C1& ABD& BCDD3M1V3 VABCD ABQ1D134丿B【点睛】本题主要考查了线面位置关系的判定与证明，以及几何体的体积的计算， 其中解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理， 以及几何体的结构特征，准确运算是解答的关 键，着重考查了推理与运算能力202

35、0已知过定点A 1,0的直线与抛物线Gy22px p 0交于M,N两点，且uuuu uurOM ON 5. .(1)求抛物线的方程；(2)B是抛物线上不同于M,N的点，若直线BM恒过点1, 3，求证：直线BN也因为平面ABB1A1平面ABCD，所以平面CDD1G平面ABCD,且交线为CD,可得D1M平面ABCD，即四则SAABDSAA B1C11J3V321 1T ，SABCDSAAg2_32，SABCDS ABDBCD334VABCD AB1C1D1SABCDD1M第3131页共 2525 页恒过定点，并求出该定点的坐标【答案】(1 1)寸4x; (2 2)证明见解析,【解析】ULUU UL

36、LT(1)设直线MN : x my 1，联立方程组，得到y1y22p，根据OM ON求得2，即可得到抛物线的方程;(2)(2)B X3, y3，求得kBM4，得出直线y3y1BM和BN的方程，由直线BM恒过点(1, 3)，将y2代入BN的方程，整理得3y13yx% y3y33y 0,进4而得到结论. .【详解】(1(1)由题意，设直线MN : x my 1，x my联立方程组2y 2px1，整理得y22pmy2p设M X1,y1，N X2,y2，则yy2p，uuuu uur又由OM ONx1x2y1y22 24p2y21 2p解得p2，所以抛物线的方程为y24x. .(2(2)设B X3, y

37、3则kBMy3%x3xy3242Y34所以BM的方程为y3y1，4x x1y3*y3*整理得4xyy1yY3Y1，同理可得BN的方程为4x y3y2由于直线BM恒过点(1, 3)，可得y1y3y1y34将y代入BN的方程，得4xy1y1y3y4y3，y1第3232页共 2525 页第3333页共 2525 页可整理得3 xyi目33y 0. .()43 v4可得当x 1,1时，即x 1, y时()式成立,434所以BN恒过点1,-【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用，解答此类题目，通常联立直线方程与抛物线方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，

38、此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等2121 .已知f x axx a 1. .(1)将f x的单调区间和极值;(2 2)若f x有两个零点XX2%|x2，求a的取值范围，并证明In人In x?2. .【答案】(1 1)f x在区间,loga 上单调递减，在区间loga丄，上单In aIn a调递增；f x有极小值logaIn ae，无极大值;1(2 2)1 ae，证明见解析 【解析】(1 1)求得函数的导数f (x)axI n a 1，求得函数的单调性，根据函数极值的概念，即可求解；(2 2) 由 (1 1)

39、和题设条件得到极小值logaIn ae0，令mIn Ina，化简得到函数m22m 2ln m In 2m, 进而求得11a e，再由题目条件化简得.X2In In a为,利用分析法，即可证得结论【详解】第3434页共 2525 页(1)由题意，函数f x1，则f (x)xa In a1，(x)0，即axlna10，可得(x)0，即axlna1，解得In a1，解得In a. 1x loga；In a. 1x log第3535页共 2525 页2令m 2m 2lnm ln 2 m，m1，m 4m - 1,m在 1,1, 上单调递增，所以m 1m由题目条件可得a x1,ax2X2，两边同时取对数可

40、得X1lna Inx,x?lnaIn屜，两式相减可得X2禺ln ax2In昱ln2，即，为，x!In aX2捲要证ln x1ln x22，所以函数f x在区间0ga丄 上单调递减，在区间In aloga1In a上单调递增,所以当x函数f x取得极小值,极小值为1f loga-ln ailn aelogae loga(ln a) logaIn a，无极大(2(2)由(1 1)可知，若函数x有两零点，则极小值x logaln ae0，所以0 ln ae1，可得1 aee，即1i1a (，且极值点loga-a eln alogae 1，又由f 1 a 10，ln ln a，则m1，logalnal

41、og2 m2aln af log2m2aln a2m2ln aloga ln a22m 2ln m In 2 mln a所以m1 ln20，所以f loga2m2ln a从而可得f x在loga2m2ln a上有一个零点,1r所以当1 a ee时，f x在区间,log1ln aloga1ln a各有唯一零点2，第3636页共 2525 页原命题得证【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明， 着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于此类问题，通常要构造新函数，利用 导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值 范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题.2222 已知在极坐系中，点P ,绕极点O顺时针旋