2020届湖南省百所重点高中高三12月大联考数学(理)试题(解析版)

1、第1 1页共 1818 页2020 届湖南省百所重点高中高三12 月大联考数学（理）试题一、单选题1 1 .若向量av3,2,b1,m, 且a bi，则m()2233A A .B B.C.C.D.D.3322【答案】B Brrr r【解析】若a(为，yd,b化以），且a b，则有x2X210，列出方程可求得m.m.【详解】Q a b，xiy2X2yi0，代入得3m 2 ( 1) 0，解得m故选：B B【点睛】本题主要考查向量平行的等价条件，属于基本题C C.A B x 0 x 2【答案】C C【解析】对集合A，利用一元二次不等式的解法求得不等式的解集，从而化简集合A,再与B进行交、并运算，从而

2、得到答案【详解】 因为A x|0 x 4,B x| 1 x 2,所以AI B x|0 x 2,A B x | 1 x 4. .故选：C.C.【点睛】本题考查一元二次不等式的求解、集合的交、并运算，考查基本运算求解能力A A .3B B.2C C.1D D. 1 13 3设函数f xlnx,x ,若g x 1,x0,x是奇函数，则2 2设集合AX(VX1)(仮x 1 x 2，则（第2 2页共 1818 页答案】 A A22【解析】 先求出fe2的值，再根据奇函数的性质f( x) f (x)，可得到f e2的值，最后代入f e2g(e2) 1，可得到答案 . .【详解】/ f x是奇函数f e2f

3、e2lne22g e2f e213故选： A A【点睛】本题主要考查利用函数的奇偶性求值的问题，属于基础题 . .解析】 由空间中直线与直线、 直线与平面以及平面与平面位置关系的判定逐一核对四个选项得答案.【详解】解：对于A，由，得/或 与 相交，故A错误；对于B，由m，n，利用线面垂直的性质可得m/n,故B正确；对于C，由，m,n，得m n或m/n或m与n相交或m与n异面,故C错误；对于D，由/，m，n，得m/n或m与n异面.判断正确的是B.故选：B.【点睛】本题考查命题的真假判断与应用， 考查空间中直线与直线、 直线与平面以及平面与平面4 4已知 ， ，是()A A 若 ，C C若,m【答

4、案】 B B是三个不同的平面，则/，n，则mm，n是两条不同的直线，B B .若下列判断正确的，则m/n，n，则m/n第3 3页共 1818 页位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，属于基础题.C C.3,22D D.【答案】B B【解析】分别计算f 11 0,1：33320,根据零点存在定理得到答案【详解】因为f110,f320，且f x为增函数故f X的零点所在的区间为1,31,3 . .2 2故选：B【点睛】本题考查了函数零点的范围，灵活使用零点存在定理是解题的关键6 6.已知等比数列an的前 n n 项和为Sn，且S54,S1010,则S15()A A . 1616B B. 19

5、19C C.2020D D . 2525【答案】B B【解析】利用S5,S10S5,S15S10成等比数列求解【详解】因为等比数列an的前 n n 项和为Sn，所以S5,S1S10S5,S15S10成等比数列，因为S54,S1010,所以$0S56,S15S109，故Sl5109 19故选：B B【点睛】本题考查等比数列前n n 项性质，熟记性质是关键，是基础题7 7 .已知函数f (x)a sin3 x ab(a 0,x R)的值域为5,3，函数g(x) b cosax,则g(x)的图象的对称中心为()kkA A., 5 (k Z)B B., 5 (k Z)448kxx5 5 .函数f x

6、348的零点所在的区间为(第4 4页共 1818 页,4 (k Z)云4 (k Z)【答案】【解析】由值域为5,3确定a,b的值，得g(x)cos4x，利用对称中心列方程求解即可【详解】因为f (x)b,2a b，又依题意知f f (x)(x)的值域为5,3，所以2a b 3得a 4，所以g(x) 5cos4 x，令4x2(k Z)，得xk(k Z)，则g(x)的48图象的对称中心为(kZ). .故选：B B【点睛】本题考查三角函数的图像及性质, 考查函数的对称中心，重点考查值域的求解，易错点是对称中心纵坐标错写为0 08 8 .设tan 211cos17A A .飞a【答案】2a1【解析】原

7、式【详解】sin17ntsin 17a,则sin 17 cos172aB B.21 a先对式子进行化简，分子分母同时除以tan62，根据诱导公式可得tan 211cos17tan17 1cos17tan31tan17 tan454aD D.亍, ,再利用正切的和角公式求解可得a， 进而利用倍角公式求解即sin 17 cos17因为tan 211tan17 1tan 17 tan45 1tan 1745tan62, ,所以tan 62故选：A A【点睛】tan31 a, ,2ta31处，故沁cos171 tan2311 a2sin17cos172aa21本题考查利用正切的和角公式、倍角公式进行化

8、简，考查三角函数分式齐次式求值问题9 9 .已知函数f xe2x 1e2xmx在R上为增函数，则m的取值范围为(第5 5页共 1818 页第6 6页共 1818 页,4,eB B.4e,2，eD D.2,e,【答案】【解析】函数f2x 1ee2xmx在R上为增函数，等价于2e2x12x2e m0对x R恒成立，然后分离变量,得m 2e2x12e2x，求出2e2x12e2x的最小值, 就能确定 m m 的取值范围. .【详解】因为函数f x2x 1e2xemx在 R R 上为增函数，所以2x 1x 2e2e2x0对x R恒成立，即m 2e2x 12e2x对x R恒成立，又因为2e2x1 2x2e

9、2.2e2x12e2x4隹，所以m4, e.故选：A A【点睛】本题主要考查利用函数的单调性求参数的取值范围，分离变量是解决本题的关键1010 .在直角坐标系 xOyxOy 中，直线I I:y kx 4与抛物线 C C：y1相交于点，Muuu/ uuu/uuu uuuvMA MBMAMB0,1,且B B. 8 8“ uuv uuv，贝y OA OB(D D . 1010【解析】联立消 y y,得x2kx50，设uur uuruuuruurX1X25，因为MA MBMAMB【答案】C C然后可求得A人， ,B X2,y2uuruur uuruur，所以 MAMA MBMB则X1X2【详解】kx2

10、X0 0，列出等式可得k k 的值,uur uuu，亠OA OB的值.4，得x1,kx，则unrMA(为,y1umr1),MB(X2, y21)uuuruuruuu uuiT因为MAMBMAMBk5,x1x2所以 MAMAX-|x2uuruurMBMB 0 0 ,iur uur则MA MB %x2kx!3 kx?31 k2%x23kx1x29第7 7页共 1818 页故选：D D第 6 6 页共 1818 页2 2 25 1k 3k 90，所以k22UJU uuuo所以OA OBXiX2y-iy21 k2XiX24k x1x216 358 16 9故选：C C【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线

11、的位置关系的综合应用，联立直线方程与圆锥曲线方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解是解决本题的关键1111棱长为a的正四面体ABCD与正三棱锥E BCD的底面重合，若由它们构成的多面体 ABCDEABCDE 的顶点均在一球的球面上，则正三棱锥E BCD的内切球半径为 （）A A3、.2 6B6A AaB Ba12 12厂3、3 /63、2 . 6C CaD Da12 12【答案】D D【解析】由边长为a的正四面体可求得外接球的半径，接着求出正三棱锥的侧棱长，从1而算出正三棱锥的表面积 S S 及体积 V V，最后代入公式-Sr V，可得内切球的半径 r.r.3【详解】由题意，多面体ABC

12、DE的外接球即正四面体ABCD的外接球，且其外接球的直径为则正三棱锥E BCD的三条侧棱两两垂直.易求得正三棱锥E BCD的表面积S3W a2，体积41 1.2.2.223VE BCDa a a a 3222224设正三棱锥EBCD的内切球的半径为 r r，由1Sra3，得r3、2、6a32412AEAE，易求得正四面体ABCD的高AFa，外接球的半径为设正三棱锥E BCD的高为h，因为AE-6a2& h，所以h予.因为底面BCD的边长为 a a,所以EB EC EDx第9 9页共 1818 页【点睛】本题主要考查正三棱锥的外接球与内切球的半径问题，属于难题12.设fx是定义在齐，2上

13、的奇函数，其导函数为f x，当，2时cosxxsi nx0，则不等式f x乙3fsin x的解集为33, U3，3B B.3，【答案】B B【解析】 令hf x，易得h xsin xsin x，i是定义在，2上的偶函数，因为f xx，可知sin x,上单调递减,2在 -,-,上单调递增，从而可以根据函数的单调性，确定不等式的解【详解】f xsin xx是定义在2，,上的奇函数,2f x门忑是定义在2，2上的偶函数.,时，sin x ，由f2cosx cx，得sin xx第1010页共 1818 页x sinx f x cosx 0，则 -3综上，所求不等式的解集为 故选：B B【点睛】本题主要

14、考查利用导数研究函数的单调性以及利用函数的单调性解不等式，构造函数是解决本题的关键二、填空题v厂vv v1v vv1313 .设向量a1,2丁2,b2,cosa, b一，则aab.3【答案】7 7uir2uu2vvIM, v u/v【解析】 先求出a的值，然后代入公式aa，Xba|bcosa,b，可得到答案。【详解】Qa（1,2血）,ra(2厨3,v vvv2vuM2v vuvv1a(a b) a2aba 3a b cosa,b 9 3 2 ( -)73故答案为：7 7第 8 8 页共 1818 页x sin xf xcosxsin2x，则，2上单调递减.233f3sinx化为sin x3一，

15、即h xsin 3，则x -32sin xx是定义在2,00,上的偶函数.22,2,0上单调递增，且时,sinx 0，将f晋f sinx化为sin x3sin3第1212页共 1818 页【点睛】 本题主要考查平面向量的数量积，属于基础题1414现有下列四个结论，其中所有正确结论的编号是【详解】若0 x 1，则lgx logx10的最大值为2；若a，3a 1，a 1是等差数列an的前 3 3 项则a42x3”的一个必要不充分条件是“x log23”;若xy 0且x y 4，则x 2y 6.【答【解逐项判断对错，便能得到答案【详仅当x1，贝y lg x 0,Igx1时，等号成若 a a,3a 1

16、,a 1是等差数列a42 a 1 3a因为Iog23 Iog49Q x y 0, x y1logx10 lgxlgx正确;an的前 3 3 项，则a所以不正确;log483，所以不正确;2y) 0卵y)lgx1Igx12 3a 16.+ +，得2，当且x 2y 6所以也正确.故所有正确结论的编号是旦.故答案为：【点本题主要考查了不等式性质，基本不等式，等差数列以及必要不充分条件,属于基础题. .1515 .若函数f(x) sin x (0)在(0,2(0,2 ) )内存在唯一的x0，使得6f x01,则 f(x)f(x)的最小正周期的取值范围为1212 1212【答案】匚,人)11115 5【

17、解析】由题意可得 人 一(一,2-),26 6 6(37、，,解得的6 2 2一 一2范围，可得周期T的范围.第1313页共 1818 页Q函数f (x)泅%捫0)在(0,2(0,2 ) )内存在唯一的Xo，使得f(x0)1Q x(0,2),Xo6(6，26，37-，解得51126(2，2(6，?，.2121212周期T,) ). .115 51212 1212 故答案为：匕,匕).11115 5【点睛】本题考查正弦函数的周期性、不等式的性质，考查数形结合思想的运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题.1616.如图，在四棱锥P ABCD中，PD平面ABCD,AB AD,AB/CD,A

18、D CD PD 2,AB 1,E,F分别为棱PC,PB上一点，若BE与平面PCD所成角的正切值为 2 2,则(AF EF)2的最小值为 _ . .【答案】14 4 23【解析】先找出BE与平面PCD所成角，再利用正切值为 2 2,证得 E E 为 PCPC 的中点根据所给各边的长度，求出APB, BPC的斜弦值，再将PBC翻折至与平面 PABPAB 共面，利用余弦定理求出AE,即为(AF EF)2的最小值【详解】取 CDCD 的中点 H H，连接 BHBH , EH.EH.依题意可得，BH CD因为PD平面 ABCDABCD，所以PD BH,从而BH平面 ABCDABCD ,所以 BEBE 与

19、平面 PCDPCD 所成角为BEH,且tanBEH2，则EH 1，则 E E 为 PCPC 的中点EH EH第1414页共 1818 页因为PB 3,PC 2 2，BC一5,所以cos BPC上2，所以BPC -. .24将PBC翻折至与平面 PABPAB 共面，如图所示，则图中当 F F 为 AEAE 与 PBPB 的交点时，AF EF取得最小值，此时，(AF EF)2AE2(2印(刀2 2込2宁 屮 故答案为:【点睛】 本题考查空间中线面垂直、线面角、余弦定理等知识的交会，考查空间相象能力和运算求解能力，将空间中线段和的最值问题，转化成平面问题，对转化与化归思想的考查要 求较高，属于难题三

20、、解答题X1717 .设函数f x e 1.(1) 若曲线y f x与 x x 轴的交点为 A A，求曲线y f x在点 A A 处的切线方程；(2) 证明：f x x.【答案】(1 1)y x；( 2 2)详见解析. .【解析】(1 1)令y 0，可求得函数与 x x 轴的交点 A A，对f x ex1求导，代入点A的横坐标可得切线斜率，然后根据点斜式可写出切线方程；(2 2)构造函数g x f x x exx 1，然后求出g(x)的最小值，不等式可证【详解】在Rt PAB中，cos APBAPPBC0SAPC C0S APB 4、2 2 2 1233第1515页共 1818 页()解：令f

21、 X ex 1 0，得x 0,所以 A A 的坐标为o,o因为f x ex，所以f 01,故曲线y f x在点 A A 处的切线方程为y xxx(2 2)证明：设函数g x f x x e x 1,g x e 1,令g x 0,得x 0；令g x 0,得x 0所以9xming00,从而g x 0,即f x x【点睛】本题主要考查求函数在某点的切线方程以及用导数证明不等式1818 .已知四棱锥P ABCD的直观图如图所示，其中AB,AP,AD两两垂直,AB AD AP 2，且底面ABCD为平行四边形(2 2)如图，网格纸上小正方形的边长为1 1,粗线画出的是该四棱锥的正视图与俯视图,请在网格纸上

22、用粗线画出该四棱锥的侧视图，并求四棱锥P ABCD的体积【答案】(1 1)证明见解析(2 2)83 3【解析】(1 1)根据PA AB,PA AD得到PA平面ABCD，得到证明(2 2)直接画出侧视图，利用体积公式直接计算得到答案【详解】(1) 因为AB, AP,AD两两垂直，所以PA AB,PA AD. .因为AB AD A，所以PA平面ABCD. .因为BD平面ABC，所以PA BD. .(2) 该四棱锥的侧视图如图所示：(1)证明：PA第1616页共 1818 页128P ABCD的体积为222. .33本题考查了三视图的应用，体积的计算，意在考查学生的计算能力和空间想象能力，属于基础题

23、. .,宀-,、匚acosA19.在VABC中，角 A A，B B，C C 所对的边分别为a，b，c，已知2b ccosC(1(1)求角 A A 的大小;(2)求2sin B sin C的取值范围.【答案】(1 1)A； (2 2)3【解析】(1 1)根据正弦定理以及sin (A C) si nB，逐步化简，可求得角 A A ；(2(2)角 B B 用角 C C 表示，逐步化简，得结果为、3cosC，确定角 C C 的范围，便能求得 答案，注意一点，cosC 0. .【详解】解：(1 1 )由一cosA，结合正弦定理可得snAcosA2b c cosC2sin B sinC cosC即sin

24、AcosC 2cosAsinB cosAsinC,即sin AcosC cosAs inC 2cos As in B,即sin A C 2cos Asi nB,所以sin B 2cos AsinB,即sin B 2cosAsin B.1因为B 0,，所以sin B 0,所以cosA -.2又A 0,，所以A -.3(2 2)【点第1717页共 1818 页【答案】(1 1)证明见解析；(2 2)三9020【解析】(1 1)连接 CGCG，并延长 CGCG 与BD相交于点O，连接OA，可证得EG/AO， 从而得证;(2(2)过点O在BCD中作OF BD，与DC相交于点 F F，可得FOA 120

25、，以点O为坐标原点，OB所在直线为x轴，OF所在直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，分别求平面urABC的法向量m x, y, z和平面ACD的一个法向量为r1r r 3 2n X1, y1,Z1，再求得cos m,n；- =V4 V10即可得解. .【详解】(1 1)证明：连接 CGCG，并延长 CGCG 与BD相交于点O，连接OA,2sin Bsin C2sin2C3sinC 2J31 .cos C sisinC、3cosC因为C0,2，所以cosC2,1，又cosC0,所以cosC,02U 0,1所以2sin B sinC的取值范围是Uo,、3.【点本题主2020如图，在三棱锥A

26、BCD中，BD BC, BD BC 2, ABAD . 5，二面角2EA，点G为BCD的重心. .二0，进而利用同角三角函数关系20第1818页共 1818 页因为点G为BCD的重心，所以CG 2GO,第1919页共 1818 页在CAO中，有CE CG2,EA GO所以EG/AO,则AO平面ABD,GE平面ABD,所以GE /平面ABD;(2)解：过点O在BCD中作OFBD，与DC相交于点F，因为DBBC，AB AD，贝V FOA为二面角ABD C的平面角，则FOA 1200。x轴,OFOF 所在直线为y轴，建立如图所示的空间2,AB AD.5,FOA1200，则A 0, 1,巧,B 1,0

27、,0C 1,2,0,D1,0,0UJU所以AB-uuu1,1,3 ,BC0,2,0uuir,AD一uuir1,1,DC 2,2,0ir记平面ABC的法向量mx,y,z,v uuv-m AB x y、3z则vuuuvm BC 2y 0ir令z 1，得到平面ABC的一个法向量m3,0,1,设平面ACD的一个法向量为nX1,y1, Z1vuuu/冲nAD则vuuv nDC X1y1、 、3z12x12y10得到平面ABC的一个法向量n 3, 3,2,cos m,n：1020，以点O为坐标原点，OB所在直线为【点睛】本题主要考查了线面平行的证明及求解二面角，利用空间直角坐标系正确写点坐标是解题的关键，

28、属于中档题4444122121已知数列an满足aia2a3ann(4n 1).32(1 1)证明：数列an为等差数列；(2)设bna2(1 n)，求数列bn的前n项和Tn.n 12【答案】(1 1)证明见解析；(2 2)Tnn 1 3 n +. .【解析】(1 1 )令n 1，计算可得首项，再将n换为n 1，相减可得a；2n 1，由等 差数列的定义即可得到结论；(2 2)求得bna；(1 3n) (2n 1) (2n 1) 3n，设(2n 1) 3n的前n项和为 & , 运用数列的分组求和、错位相减法求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，计算可 得所求和.【详解】1(1 1)证明：数

29、列a.满足a：a；a34a：n(4n21),3当n 1时，a4 11 3 1，即a；1,3444412n-2时，a1a2a3a. 13(n 1)(4(n 1) 1),3一444412又 da2asan3 n(4 n 1),3两式相减可得a4(4n21)】(n 1)(4(n 1)21) (2n 1)2,33a；0，即有a；2n 1，对n 1也成立，2则数列an为首项为 1 1，公差为 2 2 的等差数列；设二面角B AC D的平面角为，则sin即二面角B AC2D的正弦值为(2 2)bnan2(1 3n) (2n 1) (2n 1) 3n,设(2n 1) 3n的前n项和为& ,则Sn1 3 3 325 33(2n 1) 3n,第 1616 页共 1818 页第2222页共 1818 页3Sn1 323 335 34(2n相减可得2Sn3 2(32339(1 3n 1)n 13 2(2n 1) 3,1 3化简可得Sn3 (n 1) 3n 1,1则前n项和Tnn(1 2n 1) 3【点