2019届陕西省西安交大附中高三下学期第二次模拟考试数学(理)试题(解析版)

1、第1 1页共 2020 页2019 届陕西省西安交大附中高三下学期第二次模拟考试数学（理）试题一、单选题1 1已知全集 U=RU=R，则正确表示集合 M=M= 1 1, 0 0, 11和 N=N= x x |x|x +x=0+x=0关系的韦恩【答案】B B【解析】试题分析：先化简集合 N N,得 N=N= - 1 1, 00，再看集合 M M，可发现集合 N N 是 M M 的真子集，对照韦恩（VeVe nnnn）图即可选出答案.解：由 N=x|xN=x|x2+x=0+x=0,得 N=N= - 1 1, 00. M=M= - 1 1, 0 0, 11, N?N? M M , ,故选 B B.【

2、考点】VennVenn 图表达集合的关系及运算.v 22.设复数zXvi（X，v是实数）满足z 3 2ii5，则=的值为（【答案】D D【详解】由题意z32ii 3 3i x yi,-x 3,y3,v23 25x1314 3- 4B.【解由复数运算化简 z z，根据复数相等的定义求得x, y，然后计算.（VennVenn）图是（）故选：D.D.第 2 2 页共 2020 页故选：D.D.第3 3页共 2020 页【详解】2 212 1 2cos 23【点本题考查复数的运算，考查复数相等的概念属于基础题.【答案】A A时，函数无意又在 I II.；【考点】1.1.函数的奇偶性;2.2.函数的单调

3、性；3.3.函数的图象. .rra1,bB B.-6【答【解根据向量数量积的性质把模转化为数量积运算.(a b)2r2r r r2a 2a b b【解析】试题分析:为奇函数且C C 4 4 .若向量a，b满足2且a与b的夹角为一，则3故选：D.D.第 2 2 页共 2020 页【点睛】 本题考查求向量的模，解题关键是利用数量积的性质把模转化为数量积的运算.5 5.执行如图所示的程序框，若p=0.8p=0.8,则输出的 n=(n=(B B. 6 6D D . 1010【答【解模拟程【详程序运行，变量值依次为：n 1,S0,满足循环条件,1,n 2,满足循环条件;2S 0.75, n 3，满足循环

4、条件；S 0.875,n 4，不满足循环条件，输出n 4.故选：A.A.【点本题考查程序判断循环条件得出结论.6 6 .已知a,b,c为VABC的三个内角A,B,C的对边,向量 m m .3.3, i i,n n ( (cosA,sinA)cosA,sinA) 若m n，且acosBbcosA csinC，则角【答案】C C【解析】由m n求出A,由acosBbcosA csi nC结合正弦定理可求得C,最后可第5 5页共 2020 页得B【详解】TA是三角形内角,acosB bcosA csi nC，由正弦定理得sin AcosB sin BcosA sin2C,2 2sin(A B) si

5、n Csi nC si n2C,C是三角形内角,B - 6 6故选：C.C.【点睛】本题考查向量垂直的坐标表示，考查两角和的余弦与正弦公式，考查正弦定理、诱导公式，在解三角形问题中，如果出现关于边a,b,c的齐次式时常常用正弦定理化边为角.2x7 7 设a 1，则双曲线a【答案】B B【解析】【详解】选 B.B.【考点】双曲线的几何性质 【方法点晴】单的几何性质的应用，函数的单调性及函数的最值等知识点的综合考查, 生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算、转化与化归思想的应用，本题的解得1 1中把双曲线的离心率转化为1的函数，利用函数的单调性是解答的关键，试题有一定的a a难度，属于中档题

6、A A ( &,2)B B.C C (2,5)D D (2八5)m n，m n、,3cosA sin Acos Asin A)2cos(sinC1，C?，2y(a 1)21的离心率 e e 的取值范围是（）由题意得，双曲线的离心率2c2e2()2a2 2a (a 1)2a(11 1因为1是减函数，所以当a aa 1时，01，所以2e25，所以,2 e 5，故本题主要考查其中解答中涉及到双曲线的标准方程及简着重考查了学第6 6页共 2020 页8 8 下图中的图案是我国古代建筑中的一种装饰图案，形若铜钱，寓意富贵吉祥在圆9 9已知正四棱锥S ABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中

7、点，则AE, SD所成的角的余弦值为（）A A 2 2B B. 1 1C C 0 0D D -1-1【答案】A A内随机取一点，则该点取自阴影区域内（阴影部分由四条四分之一圆弧围的概率是B B.【答案】C C【解析】令圆的半径为 1 1，贝UP空S一2-1，故选C。【答案】C C【解析】 试题分析：设AC、BD的交点为0,连接EO，则AE0为AE,SD所成的角或其补角；设正四棱锥的棱长为a,E02如。A孚，所以cos AEOAE20A2E022AE 0A(J*2_12一22(a) ( a)2_2_2(于a)(如故 C C 为正确答案.【考点】异面直线所成的角.1010.已知不等式xsinx c

8、osx a对任意x0,恒成立， 贝U整数a的最小值为（()第7 7页共 2020 页【解析】弓I入函数，禾U用导数求得函数的最大值，从而得到a的范围第8 8页共 2020 页【详解】设f (x) xsinx cosx，贝y f (x) sin x xcosx sin x xcosx,x时，f f (x)(x)取得极大值也是最大值f()2 2 2不等式xsinx cosx a对任意x 0,恒成立，则a，其中最小的整数是 2.2.2故选：A.A.【点睛】本题考查不等式恒成立问题，解题关键是引入函数，用导数研究函数的单调性得最大值.49Sn25，则n【答案】C C常数数列，从而易得an，然后再用裂项

9、相消法求粤的前n项和.n【详解】n 1数列an是常数数列.n故选：C.C.【点睛】2(111-)2(221)L2(1 1) 2(11)2nn n 1n 1n 12n49ZB得，n49.n 125Sn由Sn当 OxOx时2 2 时，f (x)0, f f (x)(x)递增，当x2时，f (x)0, f f (x)(x)递减,1111 .在数列an中,ai1,an2n2-nan 1an 2 .记Sn为数列三的前n项和，若nA A . 2525B B. 4848D D . 5050【解析】已知ann2n21am变形为1annn 11,构造新数列an是n2n2an 1，n 1n 1 annan2n a

10、nn 1 n2n(n 1)2(丄n本题考查由递考查裂项相消法求数列的和. 解题关键是构造第9 9页共 2020 页新数列an是一个常数数列，从而得通项公式an，再由通项公式确定求和方法.n5第1010页共 2020 页44x21212.已知函数 f f (x x) = ( k k +) lnxlnx +, k k 44 , + 8)，曲线 y y = f f ( x x) 上kB B. (16,+8)5C C .【5，+ 8)5D D . 16,+8)5【答案】即可求 X X 什 X X2的取值范围.【详解】k k 0 0)由题意，可得 ff( X Xi) =f=f ( X X2) ( X X

11、i, X X2 0 0，且 X XIX),k4k电4即k4- 1 1 = =k-21,2X2X1X1X2化简得 4 4 (X(X1+X+X2)= =4、 (k+k+ )X X1X X2,kHxX22而 X X1X X2V(一-),24、/x1X2、24 4 (x xi+X+X2)v( k+k+ )(一-),k 216即 X Xi+X+X24对 k k 44, + +8)恒成立,k k令 g g (k k) =k+-=k+-,k4 k 2 k 2则 g g( (k k) =1=1 -= = 0 0 对 k k 44 , + +8)恒成立,k2k2 g g ( k k) g (4 4) =5=5,

12、16w,总存在两点M M (x xi, y yi), N N ( X X2, y y2).使曲线 y y= f f (x x)在 M M , N N 两点处的切线互相平行，则X X1+ X X2的取值范围为【解利用过N N 点处的切线互相平行,建立方程，结合基本不等式，再求最值,k由题得 f f (x(x)= =4 4 -1=1=-x2XX2.4x k xk, (x x0 0,16第1111页共 2020 页516X X1+X+X2,第1212页共 2020 页故 X Xi+X+X2的取值范围为（，+m m）. .5故答案为 B B【点睛】本题运用导数可以解决曲线的切线问题，函数的单调性、极值

13、与最值，正确求导是我们解题的关键，属于中档题 二、填空题项的系数是解题关键 【答案】 5 51313 .若a (2sinx cosx)dx，贝 V V 6.X.X的展开式中常数项为【答240240【解先根据定积分再根据6展开式的通项公式， 令X的指数为 0 0 ,即可求得答案 【详(2sinXcosx)dx ( 2cosx0sinx) |o6展开式的通项公式为Tr 1c6 -3r646 r( 1)rc6xT64二的展开式中，常数项是46x4(1)4C；=240故答案为 240.240.【点本题考查定积利用二项展开式的通项公式求展开式中某x1414 .设x,y满足约束条件2xxy2y 1,y1,

14、则z 3x 2y最小值为0,第1313页共 2020 页【解析】 作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移该直线可得最优解.【详解】作出可行域，如图四边形OABC内部(含边界)，作直线I：3x 2y 0，向上平移直线|,z 3x 2y减小，|过点B( 1,1)时，z 3x 2y取得最小值 5 5 .故答案为：5 5 .【点睛】本题考查简单的线性规划，解题关键是作出可行域1515 近日，据三秦都市报消息称陕西新高考方案初稿已经形成，新高考从20192019 年秋季入学的新高一学生开始执行“3+33+3 模式，即除语文、数学、外语三科为必考科目外，还要在物理、化学、生物、历史、地理、政治六科中选择

15、三科作为选考科目 已知某生的高考志愿定为北京大学环境科学专业，按照 20182018 年北大高考招生选考科目要求物理、化学必选，为该生安排课表(上午四节、下午四节，每门课每天至少一节课)，现该生某天最后两节为自习课， 且数学不排下午第一节， 语文、外语不相邻(上午第四节和下 午第一节不算相邻)，则该生该天课表不同的排法有 _ 种 【答案】17761776【解析】选修有 4 4 种，排课按照语文、外语排上午和下等分两类：第一类两门都在上午，第二类一门在上午一门在下午，分类求出后乘以4 4 即得.【详解】从生物、历史、地理、政治各任选1 1 科，有 4 4 种选法，然后分两类：(1) 语文、外语排

16、上午，从(1,3),(1,4),(2,4)中任选一个排，有。厶北3启108；(2)语文、外语一门排上午，一门排下午：有2(C4A；C3A：)336,共有4 (108 336)1776种.故答案为：1776.1776.第1414页共 2020 页【点睛】本题考查排列组合的应用，解题时对特殊元素特殊位置优先考虑.掌握分类讨论思想是解题的关键.1616 四棱锥S ABCD中，底面ABCD是边长为 2 2 的正方形，侧面SAD是以SD为斜第1515页共 2020 页边的等腰直角三角形，若四棱锥S ABCD的体积取值范围为外接球表面积的取值范围是R r21, S 4 R24 (1 cos点睛：解决与球有

17、关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径； 对于球的内接几何体的问题， 注 意球心到各个顶点的距离相等， 解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、 小圆的半径 和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径 三、解答题1717.在 ABC中，内角 代B,C所对的边分别为a,b,c. .已知 a a b b ,a 5,c6,sinB35（I）求b和sin A的值;n(n)求sin(2A -)的值. .8，则该四棱锥3【答2,203【解四棱锥 S S ABCDABCD 中，可得:AD SA ADABAD平面SAB平面SAB平面ABC

18、D，过S作SOAB于0,则 SOSO平面ABCD,设SAB,1故Vs ABCDSABCDSO38 . sin,3所以sin 1 cos2在SAB中,SA AB2，则有,SB2、71cos，所以SAB的外接圆半径SBr2si nCOs，将该四棱锥补成一个以sinSAB为一个底面的直三棱柱，得1），所以S丝，20 .3【答案】（I ）bEsin A=T13(n )7-226外接球的半径第1616页共 2020 页4【解析】试题分析：利用正弦定理 角转边”得出边的关系 a 2b，再根据余弦第1717页共 2020 页定理求出 cosA,进而得到si nA,由 a 2b 转化为 sin A 2s in

19、 B ,求出 sin B ,进而求出 cosB ,从而求出2B的三角函数值，利用两角差的正弦公式求出结果34试题解析：(I )解：在VABC中，因为a b，故由sinB，可得cosB 由55已知及余弦定理，有b22 2a c2accosB13，所以b . 13由正弦定理ab，得sinAasinB3.13si nAsin Bb13所以，b的值为.13，sinA的值为313. .13【考点】正弦定理、余弦定理、解三角形【名师点睛】利用正弦定理进行边转角”寻求角的关系，利用 角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值 利用正、余弦定理解三角形问题是高

20、考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积 公式，结合正、余弦定理解题1818.如图，在直三棱柱ABC ABG中，平面A BC侧面 A A1ABBABB1.(I)求证：AB BC；(n)若直线 ACAC 与平面 A A1BCBC 所成的角为 0，二面角 A A1-BC-A-BC-A 的大小为 為 试判断 0【答案】(I )证明见解析.(n)，证明见解析.【解析】【详解】(n)解：由(I)及ac，得cosA，所以sin2 A132sin AcosA1213，2cos2A 1 2sin A故sin 2Ansin2Acosncos2Asinn447 226与$的大小关第 i i1818页共 2

21、020 页(I )证明：如右图，过点 A A 在平面 AIABBI内作 ADAD 丄 A AiB B 于 D D，则由平面 AIBC 丄侧面 A AiABBABBi，且平面 A AiBCBCl侧面 A AiABBABBi=A=AiB B，得ADAD 丄平面 A AiBCBC，又 BCBC 平面 A AiBCBC，所以 ADAD 丄 BCBC .因为三棱柱 ABCABC A AiB BiC Ci是直三棱柱，则 AAAAi丄底面 ABCABC，所以 AAAAi丄 BCBC.又 AAAAiIAD=AAD=A，从而 BCBC 丄侧面 A AiABBABBi,又 ABAB 侧面 AIABBI，故 ABA

22、B 丄 BCBC.(H )解法 i i :连接 CDCD，则由(I )知ACD是直线 ACAC 与平面 AIBC 所成的角，ABA是二面角 A Ai BCBCA A 的平面角，即ACD , ABA,ADAD于是在Rt ADC中，sin ,在Rt ADB中sin ACAB 由AB AC，得Sin sin，又0,所以2解法 2 2:由(i i)知，以点B为坐标原点，以BC、BA、BBi所在的直线分x轴、y轴、则B(0,0,0), A(0,c,0),C( , b2c2,0,0), Ai(0,c,a)，于是 I I . . i i I I . . . .一一i i . . .设平面的一个法向量为n n

23、 (x,y,z)(x,y,z)，贝 U U第1919页共 2020 页由：得 r可取n (0, a,c)，于是应叵 g ：石 f与n的夹角 为锐角，则 与 互为余角.即sin sin，又0,所以2第(1 1)问证明线线垂直，一般先证线面垂直，再由线面垂直得线线垂直；第(用传统方法一般来说要先作垂直，进而得直角三角形.若用向量方法，关键在求法向量.1919 某校为进行爱国主义教育，在全校组织了一次有关钓鱼岛历史知识的竞赛.现有甲、乙两队参加钓鱼岛知识竞赛，每队3 3 人，规定每人回答一个问题，答对为本队赢得1 12分，答错得 0 0 分假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中 3 3 人答对的概率分

24、别为32 2 2 2 1 12, ,2,-,-，且各人回答正确与否相互之间没有影响，用E表示甲队的总得分.3 3 3 3 2 2(I)求随机变量 E 的分布列和数学期望；(H)用二表示 甲、乙两个队总得分之和等于3 3”这一事件，用丄表示甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求*-【答案】(1 1)E 2, (2 2)-H二2【解析】试题分析：由于甲队中每人答对的概率均为2，三人中答对人数可能为 0 0 人或31 1 人或 2 2 人或 3 3 人，所以 可取值为 0 0, 1 1, 2 2, 3 3;显然 服从二项分布B(3,2)，根据32二项分布的数学期望公式得：E 323第二步用Ak表示

25、甲队得k分”这一事件，用Bk表示 乙队得k分”，虫表示 甲、乙两个 队总得分之和等于 3 3”，矗表示 甲队总得分大于乙队总得分 ”，则AB事件含有A3B0和A2B1，由于事件A3B0,A2B1为互斥事件，而事件A3与 B B。独立，事件 A A?与B1独立,所以sin0= cos/?=w L4C _uc|fC|bJ7rBAVSA_ c所以sin于是由cacb.a2c22 2)问若第2020页共 2020 页所以P(AB) PS3B0) P(ABJ P(A3)P(B。)P(A2)P(BI)求出概率值试题解析：(I )根据题设可知，甲队中每人答对的概率均为E 3223(n)用Ak表示甲队得k分”

26、这一事件，用Bk表示乙队得k分”由于事件A3B0,A2B1为互斥事件, 故有P(AB)P(A3BOA2BJP(A3BO) P(A2BI)由题设可知，事件A3与 B B。独立,事件A与Bi独立，则P(AB)P(A3BO)P(A2BJP(A3)P(BO)P(A2)P(BJ(3)3G3322) c；(1 323231Ci2)2C23?)34243；【考点】离散性随机变量的概率分布列与数学期望，互斥事件和独立事件的概率；2020设椭圆中心在坐标原点，A(2,0,B(0,)是它的两个顶点，直线与ABAB 相交于点 D D，与椭圆相交于 E E、F F 两点.,uuuuuir亠+(I) 若ED 6DF，求

27、k的值；(H)求四边形AEBF面积的最大值.2-，因此的分布列为3P(k)C3k(i)k(3)3k0,1,2,3，因为3,|，所以【答案】(I )解：依题设得椭圆的方程为X2直线AB, EF的方程分别为x 2y 2,y kx(k 0).如图，设D(Xo,kxo), E(X!,kxi),F(X2,kx?)，其中X!X2,第2121页共 2020 页1k -时，上式取等号所以S的最大值为2 2-【解析】 试题分析：(I )由题意易得椭圆方程，直线AB的方程，再设n gUUUULr FD(Xokx), E(为，kxj, F区尺2),石必满足方程，把ED 6DF用坐标表示出来得X0X16(X2X0),

28、又点D在直线AB上，则X02kx02,根据以上关系式可解得k的值；(n)先求点 E E、F F 到 ABAB 的距离，再求AB，则可得面积1S一AB (h h2)，然后利用不等式求面积的最大值. .22试题解析：(I I)依题意，得椭圆的方程为y21, 1 1 分4直线AB,EF的方程分别为x 2y 2, y kx(k 0),2 2 分 如图设D(X0kx0), E(X1,kxJF(X2,kx2)，其中X!X2,且知X2满足方程(1 4k2)X24，故X224k2亠UUU UUU .由ED 6DF知XoXi6(X2X0)，得X01(6X2Xi)5X2107、厂4k2由D在AB上知X02kx02

29、，得x-1 2k所以21 2k71 4k102，2化简得XoXi6(X2Xo)，解得k或k3)根据点到直线的距离公式和 式知，点23E,F到AB的距离分别为hX 2kx 22(1 2k.1 4k2).5(1 4k2)X22kx222(1 2k 71 4k2)9分. 5(1 4k2)-9分又|AB221. 5，所以四边形AEBF的面积为1S2AB(hh2)2?5?；142)1 4k24k l1 4k22 2，当E,F，即当第2222页共 2020 页忆忆亠堆-2|_2Q+2把+Q1+4存)掩掩三三-存存- * *- r r -，马+2鶴-2|_ 2(1+1k -丁1亠斗皆)2X22121 已知函

30、数f (x) In (1 x)1 x(I)(I)求函数 f(x)f(x)的单调区间；x x , , X X2满足方程二-:厂-二且故一|-,LILILJLJ 1. .” 二由;知xoX16(X2xo)，得： . 10- - -，2由点D在直线AB上知，xo2kxo2得-_，1亠扎化简得解得k 8或k(II(II)根据点到直线的距离公式和式知，点E E、F F 到 ABAB 的距离分别为又f，所以四边形 AEBFAEBF的面积为01佃1111 分当,匸丁. .|即当二 时，上式取举耳等号，所以 S S 的最大值为【考点】1 1、椭圆的性质;2 2、直线与椭圆相交的综合应用;3 3、不等式. .1

31、( (n ) )若不等式(1)n an第2323页共 2020 页e对任意的n N*都成立(其中 e e 是自然对数的底数)的最大值. .第2424页共 2020 页最小值这可利用导数知识求解.【详解】函数 f(x)f(x)的定义域是(1,),f(x)2I n(1x)2 2x 2x 2(1 x)l n(1 x) x 2x1x(1 x)22 ?(1 x)2设g(x)2(1 x)l n(1、2小x) x 2x,则g(x)2ln(1 x) 2x,令h(x)2In(1x)2x，则h(x)222x,1 x1 x1 1 x x 0 0 时，h(x)0,h(x)在(1,0)上为增函数,x 0时，h(x)0,

32、h(x)在(1,0)上为减函数,二h(x)在x 0处取得极大值，而h(0)0,g(x)0(x0)，函数g(x)在(1,)上为减函数.于是当 1 1 x x 0 0 时，g(x) g(0)0，当x 0时，g(x) g(0)当 1 1 x x 0 0 时，f(x)0, f f (x)(x)为增函数,当x 0时，f(x)0, f(x)f(x)为减函数, 故函数 f f (x)(x)的增区间为(1,0)，减区间为(0,).111(II(II)不等式(1)n ae等价于不等式(n a)ln(1) 1，由1一nnn1ln(1 1) n【答案】(I I)增区间(1,0)，减区间(0,)； (I I)1.【解

33、析】(I I)求导数f (x)，由于f(x)分母为正，因此对分子(设其为导，以确定正负，g(x)仍不能确定其零点、极值、正负，因此再一次求导,g (x)的最值与单调性，从而可确定g(x)的单调性与零点，最终可确定间;(II(II)分离常数，得1T ln(1 -)nn,为此求出函数g(x)1ln(1 x)g(x)再求可确定出f f (x)(x)的单调区1在(0,1上的x1可得:第2525页共 2020 页设G(x)1ln(11,xx) x(0,1,则G(x)112(1 x)ln (1 x)2x(12x)ln (1 x)2x2x (1 x)ln(1X)由(1 1)知ln2(12xx)1 x0，即2(1 x)ln (1 x)x20 G(x)0,x (0,1，于是G(x)在(0,1上为减函数，1故函数G(x)在(0,1上的最小值为G(1) 1,In 21所以a的最大值为1.In 2【点睛】本题考查用导数研究函数的单调性、最值，用导数证明不等式，对于一个复杂的函数g(x)可能要对导数二次求导得g(x)，甚至g(x)还必须再求导后才能反过来确定f(x)f(x)的单调区间.2222.已知曲线cT匸1,直线l:x 2:(t