2020届江苏省南通市如东县高级中学高三上学期10月月考数学试题(解析版)

1、故答案为：x 0,有x2三0第 1 页共 21 页2020届江苏省南通市如东县高级中学高三上学期10月月考数学试题一、填空题1 1设集合P二1,2,3,4,Q =x-2 x2,x R，则P0Q =_. .【答案】(1,2 /【解析】利用集合的交集运算求解即可【详解】仲=1,2,3,4,Q=x-2x 0 ”的否定是_. .【答案】-Jx 0,有x2-0【解析】将全称量词改存在量词，再否定结论即可，都有”改为 有”，大于号改成小于等于号【详解】第2页共 21 页全称量词改存在，再否定结论，即-x：0,都有 x2- 0”的否定是：x：0,有x2乞0第3页共 21 页【点睛】 本题考查全称命题的否定，

2、全称改存在，再否定结论兀1n.tan( )，且0，则sin：=422本关系求出sin：【详解】ji tana +ta n 由tan( )4兀1-tana tan 4VTosin :10故答案为：一10【点睛】握四象限对应三角函数的正负值 5 5.若直线li:x 3y 0( (m 0) )与直线12:2x 6y -3 = 0的距离为,_10，则【答案】172【解析】 观察式子可知，两直线平行，再采用平行直线距离公式求解即可【详解】T直线11: x 3y m =0(m 0)与直线12:2x 6y -3 = 0平行，直线 J :【点睛】4 4 .已知【答1010【解先由正切的和角公式求出3Ttan：

3、，再根据 一一:：:：:0，利用同角三角函数基根据同角三角函数的基本关系，可求得本题考查正切同角三角函数的基本求法,解题关键是正确掌32x60可化为利用两直线平行的距离公式:m0 10，可求得m =孚或7，因为m022故答案为:172C1 C2第4页共 21 页本题考查两平行直线的距离求法，解题时需注意在一般式中，X, y的系数需化成一致，以免造成误解6 6 .已知函数 f(x)f(x) = sinsin(2x + ). .若 y y= f(xf(x 妨，0是偶函数，贝U 0=_ ,6 2【答案】-3【解析】【详解】利用偶函数定义求解.y=f(x 0)=sin J - :；i 是偶函数，所以一

4、 20+；=+kn,kZ,得0=.一才，k乙又 0v 0a，则实数 a a 的取值范围是 _ . .21解一a -1 a，当 a：0 时，解a，即可求出3a【详解】2当a_O时，由f a a得a -1 a，解得a：-3，又a _ 0,所以无解，当a：0时,31由fa a得一a，解得 a：-1，故填一：-1 .a【点睛】本题主要考查了分段函数，解不等式及分类讨论的思想，属于中档题x8 8 .定义在R上的奇函数 f(x)满足：当x 0时，f(x)=2019 log2019x,则在R上方程f(x)=0的实根个数为 _. .【答案】3【解析】将f(x)=2019 log20190转化成2010 -lo

5、g2019x，令g x=2019,h x = -log2019X Rog丄x,根据两函数图像交点，再结合奇函数性质求出零点个数2019即可【详解】x -1,x _ 0 37 7 .设函数f(x):x,x :：0【解析】根据题意，当a _0时,第5页共 21 页由f (x) =2019 log2019X = 0可得2010 = -log2019x，令g x =2010,h x二-log2019x -log丄x，分别画出两个函数图像，如图所示2019当大于零时，g X与h x有一个交点，根据奇函数的对称性，在3,0时还存在一个关于原点对称的交点，又因f(x)定义域xR，所以f 0 =0所以在R上方

6、程f(x)=0的实根个数为 3 个故答案为：3【点睛】本题考查函数零点个数的求解问题，函数与方程转化，数形结合的重要思想，通过构造 函数，转化成两函数交点问题，往往能将问题简化，这也是解决零点问题常用的基本方 法9 9若X，是不等式 2X2_X_30 成立的充分不必要条件，则实数m的范围是【答案】-1,-I 2【解析】先求得不等式的解集， 然后根据充分不必要条件列不等式组，解不等式组求得m的取值范围.【详解】33不等式可转化为x 12X-3乞0，解得x，由于1-1,m?是-仁x的22一f 31充分不必要条件，结合集合元素的互异性，得到m ! -1, .I 2【点睛】本小题主要考查一元二次不等式

7、的解法，考查充分不必要条件的概念，还考查了集合元素的互异性，属于基础题一元二次不等式的解法主要通过因式分解，求得一元二次不第6页共 21 页等式对应的一元二次方程的两个根，由此解出不等式的解集集合的三要素是：确定性、互异性以及无序性1010.已知直线I的方程是x y一6=0,代B是直线|上的两点，且：OAB是正三角形(0为坐标原点)，则A0AB外接圆的方程是 _ . .【答案】(x_2)2 (y 2)2=82【解析】 取 AB 中点 D，连结 0D，由已知得圆心在 0D 上，且半径为0D二鸟-，3由此能求出圆的方程【详解】如图所示：取 AB 中点 D，连结 0D，70AB是正三角形，.0D _

8、 AB，过0, D点的直线丄x y6二0一为y = x，联立得 D 点坐标为(3,3)，ly = x2则 0D =3、2，由已知得圆心在 0D 上，且半径为 一0D=2,2(重心性质)3圆心为(2,2)，圆的方程为(x-2)2 (y-2)2二8.故答案为：(x -2)2 (y -2)2=8.【点睛】本题考查三角形外接圆的方程的求法，正三角形是解题的关键，数形结合思想的合理运用更能辅助解题K K1111.在平面直角坐标系x0y中，若曲线y=ax( (a,b为常数) )过点P(1,4)，且该曲x线在点P处的切线与直线x + y+3 = 0垂直，则a+ 2b的值是_ . .【答案】5第7页共 21

9、页【解析】将点P(1,4)代入曲线求出关于a,b的关系式，再结合两直线垂直的条件和曲线在P点的导数求解即可【详解】第8页共 21 页bb将点P(1,4)代入曲线y二ax弋可得a b=4，曲线y = ax字 的导数为xx2byaTx,根据曲线在点P处的切线与直线x y3 = 0垂直，所以过曲线上点P的切线斜率为1 a b = 4a = 3k1“去1,联立a-2b=1得，b=1,则a 2b，故答案为：5【点睛】本题考查曲线在某点对应切线斜率的求法，两直线垂直时斜率的关系，是中档题型CA CB：-2对任意的0恒成立，则角A的取值范围为【答案】-,二IL4【解析】采用平面向量数量积公式， 以AB, A

10、C为基底，表示出CACB_-2的关系式,再利用不等式的关系进行求解即可I T TT T T2n AC fAB AC )兰一 2n AC AB AC 2，即2-4cos A 2_0恒成立，同时除以得：4cos A一 Z,；一三0, ：, 2 _2、.2，当且仅当=2时等号成立，所以cosA-2，2又因AE(0)，所以A故答案为：.| :兀【点睛】本题考查根据向量数量积公式求解参数问题，基本不等式求最值问题，是中档题1212.在三角形ABC中，AB=4,AC = ( 0),若【详第9页共 21 页x0时，厂(x)=3x2a，当 x0总时，厂(X)0/ S =1 2OA OB =111 2k1 -

11、2k=1(4 k14) _1(2 2 4) = 4,22| k2k 2k211当且仅当4k0，即k，取二”k2- Smin= 4，此时直线I的方程为 X -2y 4 =0 .【点睛】本题考查直线过定点的判断问题，直线与坐标轴围成三角形面积结合不等式求最值的问题，同时考查了解析几何中基本的运算能力1818 .如图，某市有一条东西走向的公路I I，现欲经过公路 l l 上的 O O 处铺设一条南北走向的公路 m m，在施工过程中发现 O O 处的正北方向 1 1 百米的 A A 处有一汉代古迹，为了保护 古迹，该市委决定以 A A 为圆心，1 1 百米为半径设立一个圆形保护区，为了连通公路I I,

12、m m，欲再新建一条公路 PQPQ，点 P P, Q Q 分别在公路 I I, m m 上(点 P P, Q Q 分别在点 O O 的正 东、正北方向)，且要求 PQPQ 与圆 A A 相切. .1 1当点 P P 距 O O 处 2 2 百米时，求 OQOQ 的长;2 2当公路 PQPQ 的长最短时，求 OQOQ 的长. .第16页共 21 页【答案】(1)8(2)3532【解析】 试题分析：(1 )根据题意，建立直角坐标系，然后利用直线与圆的相切列出关 于关于q 的方程解之即可；(2) 利用截距式方程给出直线的方程，然后利用直线与圆相切找到两个待定系数间的 关系，再利用勾股定理将 PQ 表

13、示成关于 q 的函数，利用函数的单调性求其最值即可 试题解析：如图，以 0为原点、直线 I, m 分别为 x, y 轴建立平面直角坐标系.设 P( p, 0)，Q( 0, q)且 PQ 与圆 A 相切于点 B，连结 AB，以 1 百米为单位长度，则 圆 A 的方程为-卜匕_丁 ：丄(1)由题意可设直线 PQ 的方程为一 一一2 ?(2)设直线 PQ 的方程为一p g即二二二 ;-.在 PtAPOQ 中，-:-A因为 PQ 与圆 A 相切,因为 PQ 与圆 A 相切,第17页共 21 页令?.g-2则-，即 f(q)在(二土迺)上单调递减;所以 f(q)在_ -时取得最小值，故当公路 PQ 的长

14、最短时，0Q 的长为一百米.士8答：(1)当点 P 距 0 处 2 百米时，0Q 的长为 百米；(2)当公路 PQ 的长最短时，0Q【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；直线和圆的方程的应用X 1佃已知a R，函数 f xj=e -ax 的图象与x轴相切.(1) 求实数 a a 的值；(2) 求 f (x)的单调区间；(3) 当x 1时，恒有f(x) .m(x-1)lnx，求实数m的取值范围. 1【答案】(1 )a=1 ( 2)单调递减区间为(皿,1)，单调递增区间为(1,畑).(3)(皿,丄【解析】(1 )根据题意，设切点为(x,0)，求出函数的导数表达式，根据图像特征，可f(xj =0

15、,得，解方程即可求得实数af(X。)=0,(2) 由(1)得f x二ex-1,再令导数为 0,根据导数正负判断函数增减性即可(3) 当x 1时，恒有f(x) m(x -1)l nx等价于 g(x)二 f (x) -m(x -1)ln x 0，当x 1时恒成立，再利用g (x)二ex=m(lnx)1来研究函数的单调性，由于一阶导数无法直接判断正负，故需求解二阶导数，由于参数m的存在，还需对参数进行分类讨论,进一步验证函数f x的恒成立问题即可【详解】解: (1)xi=e-a，设切点为(x,0),时，.一，即 f(q)在上单调递增第18页共 21 页貯二即忙一心0,解得严化)=0,e0-a=0,a

16、=1, (2) fx)=exA-1,当xc1时，f(X)c0;当x1时,f(X)A0.故f x的单调递减区间为(-：,1)，单调递增区间为(1, ：).(3) 令 g(x) = f (x) m(x -1)ln x ,x 1.x 111则g (x) =ex，m(ln x-1-1，令h( x) = g( x)，则 h (x)二 exm(2),xx x111(i)若m ，因为当x 1时，ex1,m(2) 0 = 0，且当x(1,x!)时，h(x)v0,所以h(x)即g (x)在(1,为)上单调递减，又因为g=0，所以当x (1,x1)时，g(X)：0, 从而g(X)在(1,x1)上单调递减, 而g(

17、1) =0，所以当x (1,x1)时，g(x)：0，即f(x) m(x -1)ln x不成立1综上所述m的取值范围是(亠2【点睛】本题考查根据导数和函数表达式求解参数，根据导数求解函数单调区间，根据函数在定区间恒成立利用导数求解参数取值范围问题，前两小问比较基础，最后一问难度偏大， 其中二阶导数的应用容易自乱阵脚，建议涉及二阶导数时，配合草图加以理解，同时参数m的范围判断至关重要，一般是通过试值法确定特殊点，本题中当x=1时是一个特殊值，以此对m进行分类讨论，此法可在同类型题中借鉴依题意,第19页共 21 页2020 .已知函数 f f (x)(x) = xlnxxlnx x x.(1) 设

18、g(x)g(x) = f f (x)(x) + |x|x a|a|, a a R R. e e 为自然对数的底数.21当a3时，判断函数 g(x)g(x)零点的个数；e2x1,e时，求函数 g(xg(x) )的最小值.(2) 设 O Ovm mvn nv1 1,求证：f n 0m +1【答案】(1)g(x)有且仅有两个零点.a e. (2)证明见解析22【解析】(1将a3代入 g(x)= f (x) + |x a|,化简得 g(x) = xlnx+飞，再根据导数ee1正负判断在极值点处函数值的正负，结合极值点两侧值加以论证即可，可取x = -4 , x=1e验证求解(2)由于参数的不确定性，需

19、根据1,e将参数a分成 a 0,于是 h(x)在(0 , 1)单调递x +1(1+x2)增，因 0vmvnv1,所以 h(m)vh(n),从而有1 (i) 当 aw时，g (x)= xlnx x+ x a = xlnx a,efn 牟m +1f n h n riln n-1 In +1 丿，再设x)=lnn-1, xn +1 0，通过导数来验证0(x)增减性，进一步通过增减性求得最值，即可求证不等式成立【详解：(1)当a2甘22时，g(x) = xlnx x+ |x+ 丐 |= xlnx+ 亏 ,eeeg(x)= 1 + lnx,当 0vxv1时,e因此 g(x)在(0,1g (x)v0；当

20、x 时，g(x)0；e11、 、)上单调递减，在(-，+上单调递增,电一 t-240,g(1)=1+v0,e e ee ee3e3g(1)=毛0，e所以g(x)有且仅有两个零点.第20页共 21 页1因为 x-, e, g (x)= 1 + lnx0旦成立，e第21页共 21 页因此o(x)在(0,+s上单调递增，2因为 0vnv1，所以n)v怕)=0，即 Inn 1 2v0,n2+1 2m 2因此fn2nllnn-1 0m +1 In +1 丿即原不等式得证.1所以 g(x)在-,e上单调递增，所以此时g(x)的最小值为e(ii )当 ae 时，g(x) = xlnx x+ a x= xln

21、x 2x+ a,g(-) = - ae e1因为 x-, e, g(x)= Inx1W0旦成立，e1所以 g(x)在-,e上单调递减，所以此时g(x)的最小值为e1(iii )当 一vave 时，e1山-，贝Ug(x) = xlnx x+ a x= xlnx 2x+ a,eax 0,于是 h(x)在(0, 1)单调递增,又 Ovmvnv1，所以 h(m)vh(n),从而有f n2mm21:：f n i亠h n二n In n -1设躯)=lnn-1化,x04xx 1 x2(x2-1)2x 1x2第22页共 21 页【点睛】本题考查通过导数研究不含参函数零点个数问题,通过导数研究含参函数单调区间的

22、问第23页共 21 页题，通过构造数列和放缩法结合导数求证不等式恒成立问题，属于难题x _32121设P：实数x满足X?_4ax +3a?0)，q：实数x满足 0若Px 2是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围.【答案】:a乞2【解析】(1)观察命题p对应的式子x2-4ax 3a2：0，可由因式分解法求得x_3tia ex 3a，再解分式不等式 -0得2cx兰3，设A = Txacxc3aj,x-2B = Cx 2：x岂3 ?，由P是q的必要不充分条件可判断 BuA，根据范围进行判断即可【详解】解：设A=xax,B=x2cx兰3,P是q的必要不充分条件，则 B u A ；0 : a乞2则，所

23、以实数a的取值范围是1：a乞2.3a 3【点睛】本题考查一元二次不等式与分式不等式的解法，根据包含关系求解参数范围问题，属于中档题求解值域即可【详解】解：f x = sinx、3 cosx )cosx =s in xcosx + 3 cos2x= -sin2x辽cos2x乜二sin2 2 24二3二由0沁诗得，3仏,孑，一云“弓汁2222 .已知函数f x = 2sin( nnx cos x.若0 _ x ，求函数32f x的值域. .【解将sin- 展开，再结合第24页共 21 页【点睛】: 3s2x3，即函数f x的值域为0,1第25页共 21 页本题考查根据二倍角公式进行三角函数的化简求

24、值，求解给定区间三角函数值域的问题，是基础题型2323.二次函数y = x2 bx（b = 0）图像与x轴交于0,A两点，交直线I :y =x于0,B两点，经过三点0,A,B作圆C.（1 1）求证：当b变化时，圆C的圆心在一条定直线上；（2 2）求证：圆C经过除原点外的一个定点.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】（。联立y = x2 bx,y =0,求得点A -b,0，联立y = x2，bx与y =x求得点B 1 - b,1 -b，设圆 C 的方程为x2y2Dx E 0,根据A, B点到圆心距离相等求得圆心坐标 xo与 yo的联系，消参即可求得定直线（2）由（1）知，设圆 C 过

25、定点（m, n）,则 m2+n2+bm+ （b - 2） n=0,整理成关于 b的一次函数形式，根据恒成立问题联立方程求解即可【详解】解：(1)在方程y =x2 bx中令y =0,y =x，易得A -b,0 ,B 1-b,1-b设圆 C 的方程为x2y2DxE 0: 2b bD = Of D = b则22?,J1 b) +(1_b ) +(1_b)D+(1b)E=O l.E = b_22 2故经过三点 O,A,B 的圆 C 的方程为 x +y +bx+ ( b - 2) y=0,设圆 C 的圆心坐标为（x, y）,这说明当 b 变化时，（1）中的圆 C 的圆心在定直线 y=x+1 上(2)设圆

26、 C 过定点(m, n),则 m2+ n2+bm+ (b- 2) n=0,整理得(m+n) b+m2+ n2- 2n=0,m n = 0！m - -1 Xm = 022=或m n-2n=0 n=1 n = 0故当 b 变化时，（1）中的圆 C 经过除原点外的一个定点坐标为（-1, 1）.【点睛】本题考查根据函数图像求解交点问题，根据圆的定义和消参法求证圆心过定直线问题,恒成立问题的转化，是中档题则怡一弭一乎，y0=X0+1,它对任意 b工0亘成立,2第26页共 21 页12x2424.已知函数f(x)=(a-gox. .(a R)(1 1 若 f (x)在区间(0, ：)上单调递减，求实数a的取值范围；(2 2)若在区间(0,：)上，函数 f(x)的图象恒在曲线y=2aex下方，求a的取值范围.1 1【答案】(1) a0 (2)a-丄，丄2 2【解析】(1)根据函数在(0, ：-)上单调递减转化为f (x)乞0