2020届河南省焦作市高三上学期第二次模拟考试数学(理)试题(解析版)

1、【答案】C C第 1 1 页共 2323 页2020 届河南省焦作市高三上学期第二次模拟考试数学（理）试题一、单选题1 1.已知集合A 1,1,3,5,B 0,1,3,4,6，则AUB()A A.1,3B B.1C C.1,0,1,1,3,4,5,6D D.1,0,1,3,4,5,6【答案】【详解】故选：D.D.【点睛】2 2 设复数z 1 iA A .22【答案】A A【解根据并集的定义可求出集合AU B. .依题意,AUB1,1,3,5 U 0,1,3,4,61,0,134,5,6. .本题考考查计算能力，属于基础题【解析】利用复数的四则运算法则将复数z z 表示为一般形式，然后利用复数的

2、模长公式可计算出z. .【详依题意z 1 i2i 13i 122i,1故z2222故选：A.A.【点本题考查复数模的计算，同时也考查了复数的四则运算，考查计算能力，属于基础题3 3.已知向量m 3,0,n3,0,q mq n，则q为（ ）【答案】C C第 1 1 页共 2323 页B B.5第3 3页共 2323 页r ui u i ir u r u【解析】由题意可知n m，由qm qn得出qm qm，可得出rurLTr uqmqm 0,由此可得出q|m，进而得解. .【详解】r(Jr irr rrurrir由题意可知nm，由q mq n得出q mqm,rLTriffr2U2r , ur_Tq

3、 m q m 0,即qm，因此，q m|(303. .故选：C.C.【点睛】本题考查向量模长的计算，同时也考查了向量垂直的等价条件的应用，解题的关键就是得出nm，考查计算能力，属于基础题. .4 4 近年来，随着4G网络的普及和智能手机的更新换代，各种方便的app相继出世，其功能也是五花八门 某大学为了调查在校大学生使用app的主要用途，随机抽取了56290名大学生进行调查，各主要用途与对应人数的结果统计如图所示，现有如下说法:1可以估计使用app主要听音乐的大学生人数多于主要看社区、新闻、资讯的大学生人数；2可以估计不足10%的大学生使用app主要玩游戏；13可以估计使用app主要找人聊天的

4、大学生超过总数的4其中正确的个数为()_1石5成人M斤匚4 4切fiJLK * WM * StiH.Hi対 _ 玩囹理L百网1 nww.闍片厂c她听?V乐I丿址I找朗近的人I皿*_战比同璇建的人【答案】C C大小比较，可判断的正误；计算使用app主要玩游戏的大学生所占的比例，可判断的正误；计算使用app主要找人聊天的大学生所占的比例，可判断的正误 综合得出B B.1C C 2D D 3【解析】根据利用app主要听音乐的人数和使用app主要看社区、新闻、资讯的人数作第4 4页共 2323 页结论 【详解】 使用app主要听音乐的人数为5380，使用app主要看社区、新闻、资讯的人数为4450,

5、所以正确；8130使用app主要玩游戏的人数为8130，而调查的总人数为56290,0.14，故56290超过10%的大学生使用app主要玩游戏，所以 错误；165401使用app主要找人聊天的大学生人数为16540，因为，所以正确 56290 4故选：C.C.【点睛】本题考查统计中相关命题真假的判断，计算出相应的频数与频率是关键，考查数据处理能力，属于基础题. .5 5.记等差数列an的前n项和为Sn，若S8ai14，则（)A A.a2a$2B B.a2a84C C.a2a72D D.a?a74【答案】 B B【解析】 由S8a114可得出a2a3a4aa6a7a814，再利用等差数列的基本

6、性质可得出结果【详解】依题意，S8a1a2a3a4a5a6a7a814，故7-a2一邑14，即2a2a84. .故选：B.B.【点睛】本题考查等差数列基本性质的应用，考查计算能力，属于基础题1 16 6 .已知实数a、b、c满足a 43,匕 p 石，c log550，则（）A A.cabB B.a c bC C.c b aD D. a a b b c c【答案】A A【解析】利用幕函数的单调性得出a、b、2三个数的大小关系，利用对数函数的单调 性得出c与2的大小关系，由此可得出a、b、c的大小关系. .【详解】1 1111幕函数yx6在0,上为增函数，且106431666462，即b a 2;

7、第5 5页共 2323 页对数函数y log5X在0,上为增函数，c log550 log5252. .因此，c a b. .故选：A.A.【点睛】结合中间值法来比较，考查推理能力，属于中等题U 1,，关于原点对称,x 1x 1x 1x 1f xlgdlg -lg -lg - f x，该函数为偶x 1x 1x 1x 1函数，x 1x 122心上,x1当x 2时,u- 11，则f x lg,x 1x 1x 1x 1x 1内层函数u在区间2,本题考查指数式和对数式的大小比较,般利用指数函数、对数函数和幕函数的单调性7 7 下列函数中，既是偶函数又在2,上单调递减的是（ex1x 4x,x 0C C

8、f x2x 4x,x 0,x 1B B f xlg -x 1D D f xln 1Vx21【答案】B B【解析】分析每个选项中函数的奇偶性及各函数在区间2,上的单调性，由此可得出正确选项【详解】对于 A A 选项，函数e一1的定义域为R,ex1xxe1xexe11xexe1xexe11xef x，该函数为奇函数,对于ex1-，该函数在区间2,上单调递增;B B 选项，解不等式1， 该函数的定上为减函数，外层函数y lg u为增函数,)第6 6页共 2323 页x 1第7 7页共 2323 页故选：B.B.【点睛】法是解答的关键，考查推理能力，属于中等题8 8 已知长方体ABCD AB1G1GD

9、1的表面积为208,AB BC AA118，则该长方体的外接球的表面积为（）A A 116B B.106C C.56D D.53【答案】A AABBCAA 18【解析】由题意得出，由这两个等式计算出AB BCBC AAAB AA1042 2 2所以，函数f xIgq在2,上单调递减;x24x x 0的图象如下图所对于 D D 选项,函数f x In 1 x2,1 U 1,，x In2x 1 In该函数为偶函数 内层函数u1. x21在2,上单调递增，外层函数y In u也为增函数,所以，函数f x In 1x212,上单调递增 本题考查函数单调性与奇偶性的判断,熟悉函数奇偶性的定义以及单调性的

10、一些判断方对于 C C 选项，作出函数f x第8 8页共 2323 页AB BC AA，可求出长方体外接球的半径，再利用球体表面积公式可计算出结第9 9页共 2323 页所以，双曲线C的离心率为e【详解】依题意，AB BC AA118,AB BC BC AA,AB AA,104,所以，2 2 2 2AB2BC2AATAB BCAA,2 AB BC BCAA,ABAA,116,故外接球半径rAB BC AA29,2因此，所求长方体的外接球表面积S 4r2116. .故选：A.A.【点睛】本题考查长方体外接球表面积的计算，解题的关键就是利用长方体的棱长来表示外接球的半径，考查计算能力，属于中等题

11、2 29 9 .记双曲线C:21a 0,b 0的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲a2b22线C的渐近线I上，点P、P关于x轴对称 若PF1PF2,4k1kpFkpF2，其中kpF.、k kpF2、k1分别表示直线PF1、PF2、丨的斜率，则双曲线C的离心率为（）A A .B B.3C C.5D D.2 52 2【答案】A A【解析】设直线PF2的斜率为k，根据P F1PF2以及P F1与PF1关于x轴对称，可14b2得出kPF1,由此可得出 丁1，由此可计算出双曲线C的离心率. .ka【详解】不妨设直线PF2的斜率为k,由题易知k 0，且直线P F1与PF1关于x轴对称，kPF1kPF1

12、,1 1因为P F1PF2，所以直线P F1的斜率为 -，即kPFkPF丄，k11kb2kPF1IPF2可得4akPF，!由4k121，即a第1010页共 2323 页故选：A.A.【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，涉及到直线斜率的应用，在计算时要注意将垂直、对称等关系转化为直线斜率之间的关系来求解，考查计算能力，属于中等题1010 .已知数列8n满足81482783L3n 2 8n4n，则82838384L821822()【答案】C C【解析】利用3n 2 an的前n项和求出数列3n 2 an的通项公式，可计算出an,然后利用裂项法可求出a?a38384L 821822的值. .【详解】Q

13、 a4a2783L3n 2 8n4n. .当n1时，a4 4 ；当n2时，由8i482783L3n 2 8n4n,可得 日4a2783L3n58n 14 n 1,两式相减，可得3n 2 an4，故an3n 24因为814也适合上式，所以8n3n2. .161611依题意，8n 18n 23n 1 3n43 3n1 3n 4故, 16 1111111116 1 1582838384L821822L3 47710 10 1361643 4644故选：C.C.【点睛】 本题考查利用Sn求an，同时也考查了裂项求和法，考查计算能力，属于中等题5 - 00A3一4B.第1111页共 2323 页【详解】

14、n或一（舍去） 62故选：D.D.【点睛】 本题考查利用正弦型函数的对称性求参数，考查计算能力，属于中等题21212.已知抛物线C : x 2py p 0的焦点F到准线I的距离为2,直线li、2与抛物p若y MN上，则当MFN取到最大值时，MP()2A A .14B B. 1616C C.18D D.201111.已知函数f x 2sin xcos xcos若f X3f x,ff2A A.5B.-1232cos2x 1 sin,0,02【答案】D D【解析】利用三角恒等变换思想化简函数y f x的解析式为f x sin 2 x由f-x f x可知函数x的一条对称轴方程为x6，可得出的表达式，再

15、结合条0可求出的值. .依题意sin 2 xcoscos2 xsinsin 2因为f，所以x6为函数图象的一条对称轴,因为fsinsin 5，又0所以26k6，. .0，所以sinsin 2，结合可得2,得，解得线C分别交于N和M、P两点，其中直线uuirI2过点F,MRuuurRN，R xR,yR第1212页共 2323 页【答案】B B第1313页共 2323 页【解析】先求出p的值，得出抛物线C的方程为X24y，设M Xi,yi,N,P x3, y3，由抛物线的定义以及中点坐标公式得出MF NF 2 MN，然后在MNF中利用余弦定理可求出cos MFN的最小值，由等号成立的条件可知MNF

16、为等边三角形，可设直线12的方程为 y y .3x1.3x1，将该直线方程与抛物线方程联立，利【详解】依题意，可知p 2，设M捲，比，N x2, y2，P x3, y3，由余弦定理可得故选：B.B.【点睛】本题考查利用抛物线的定义求焦点弦长，涉及韦达定理的应用, 角的最值的计算，综合性较强，计算量大，属于难题二、填空题151313.2x2 的展开式中，含x4项的系数为_ . .x【答案】80用韦达定理和抛物线定义可求出MP. .由抛物线定义可得yiy22因为yRMNMFMNNF. .1,所以MFNF2 MN. .cos MFNMF2NF2MN23MFNF16 MFNF|2|MF | |NF|3

17、MF|NF|48 MFNF|当且仅当MFNF时等号成立,MFN的最大值为此时MFN为等边三角形,不妨直线MP的方程为 y y . . 3x3x1 1，联立x24y,3x 1消去 y y 得x24. 3x 40，故x x 4 3，y1y一3 X1X314，故MP16. .同时也考查了抛物线中第1414页共 2323 页【解析】 求出二项展开式的通项，利用x的指数为4，求出参数的值，再将参数的值代入通项可得出结果 3173第1515页共 2323 页【详2x2的展开式通项为Tk,C；k 5k 10 3k52 x，令10 3k 4，得k 2，因此，2x2-的展开式中，含x4项的系数为C；2380.

18、.x故答案为：80. .【点本题考查利用二项式定理求展开式中指定项的系数，考查计算能力，属于基础题y 2x 11414 设实数x、y满足3x 2 3y，则z 2x y的最大值为z 2x y，观察直线在y轴上截距最大时对应的最优解，代入目标函数计算可得出结果【详解】作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示2xy过点C时，直线Z 2x y在y轴上的截距最大，此时,Z Z 取得最大值,联立y3x2x3y，解得533，故 z z 的最大值为z严2max第1616页共 2323 页故答案为:【点睛】第1717页共 2323 页本题考查线性规划问题， 考查线性目标函数的最值问题，一般利用平移直线法

19、找出最优解，考查数形结合思想的应用，属于中等题 1515 已知长方体ABCD AQCQ的体积为32,AB 2BC 4,E平面ABB*,若点E到直线AA1的距离与到直线CD的距离相等，则DIE的最小值为 _. .【答案】4【解析】根据长方体的体积得出AA 4，然后以D为原点，DA、DC、DD!所在 直线分别为x、y、z z 轴建立空间直角坐标系，设点E 2,y,z，根据已知条件得出y . 4 z2，然后利用空间中两点间的距离公式结合二次函数的基本性质可求出的最小值. .【详解】因为长方体ABCD ABQQ,的体积为VABCD AB1CQ132,AB 2BC 4，所以AAi4. .以D为原点，DA

20、、DC、所在直线分别为x、y、z z 轴建立如图所示 的空间直角坐标系, 设E 2,y,z，则点E到直线AA的距离为y，点E到直线CD的距离为一4 z2，故yJ4 z2 为4. .故答案为：4. .C/Z菱FFr-7【点睛】本题考查空间中两点间距离最值的计算,属于中等题. .而D!0,0,4,故D,E.2z28z 244，故D的最小值涉及到空间直角坐标系的应用， 考查计算能力,第1818页共 2323 页el nx,0 x m1616 .已知函数f xe2，若函数g x,x mxf x m仅有1个零点，则实数m的取值范围为【答案】0,e【解析】令g x0,得出-ef xef x令h xe-，将

21、问题转化为直线mye与函数y h x的图象有且仅有1个交点, 然后对m与 e e 的大小进行分类讨论，利用数形结合思想得出关于实数m的等式或不等式，即可求出实数m的取值范围.【详解】令g x 0，则f xm，得f xm人,令h x - e上In x,0 xf xmeee,x mx则问题转化为直线ym一与函数ey h x的图象有且仅有1个交点，当m e时，ym 1e，此时函数y h x的图象与直线m ,y只有1个公共点ee,1,符合题意；m e则In m，如下图所示,e时，01，若函数yeh x的图象与直线只有1个公共点,e第1919页共 2323 页e mm第2020页共 2323 页【点睛】

22、本题考查利用函数的零点个数求参数的取值范围，解题的关键就是对m与 e e 的大小关系进行分类讨论，并利用数形结合思想得出不等关系，考查分析问题和解决问题的能力， 属于难题. .三、解答题1717.已知ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,sin A B、2si nA,uuur uuuub 5,AC 3MC，ABM 2 CBM. .(1) 求ABC的大小；(2) 求ABC的面积 35【答案】(1 1); (2 2). .42uuir uuuuSBMCCM 1【解析】(1 1)设CBM，由AC 3MC可得出-，再由m显然一ee成立，下面解不等式mIn构造函数In xm In m，即 一e

23、 m1 In x人 ，令x得x e. .e时,e时，F x 0. .所以，函数yF x在x e处取得最大值，即F xmax所以，当m 0且m e时，不等式也巴m-恒成立，此时,e当m e时，e1,若函数y h x的图象与直线mm ,有1个交点，则有In m，ee即故答案为:0 m e. .0,e. .m综上所述,第2121页共 2323 页SBMAAM2第2222页共 2323 页SBMCCM1sin A B.2 si nA，结合正弦定理得出AB . 2BC，代入 - 可SBMAAM2求出cos的值，进而可求得ABC的值;(2(2)在ABC中，利用余弦定理可求出 a a 的值，然后利用三角形的

24、面积公式可求出该 三角形的面积【详解】uur(1)因为ACULUU3MC，所以点M在线段AC上，且AM2CM，故注SBMACMAM记CBM则SBMC- BC BM2sin，SBMA1AB BM sin2. .2因为sin A2 si nA，即si nC ,2s in A，即AB、2BC，结合式，得BMCSBMABC BM sin2BC BM2sin cosi2、2 cos1，可得cos因为0,，所以7，所以ABC34；(2)在ABC中，由余弦定理可得b2a22accos ABC，即25 a22ax2a解得a2故SABC1 . acs inABC1 a、2a.3 sin -52242【点睛】同时

25、也考查了三角形面积的计算，涉及共线向量的应用，考查计算能力，属于中等题1818 随着经济的发展，轿车已成为人们上班代步的一种重要工具周开车从家到公司的时间之和统计如图所示. . 现将某人三年以来2c第2323页共 2323 页（1 1） 求此人这三年以来每周开车从家到公司的时间之和在6.5,7.5（时）内的频率;（2 2）求此人这三年以来每周开车从家到公司的时间之和的平均数（每组取该组的中间值作代表）；（3 3）以频率估计概率，记此人在接下来的四周内每周开车从家到公司的时间之和在4.5,6.5（时）内的周数为X，求X的分布列以及数学期望 【答案】（1 1）0.35；（ 2 2）7 7 ；（ 3

26、 3）分布列见解析；数学期望5【解析】（1）用1减去频率直方图中位于区间3.5,6.5和7.5,10.5的矩形的面积之和可得出结果；（2 2）将各区间的中点值乘以对应的频率，再将所得的积全部相加即可得出所求平均数；3（3）由题意可知X：B4,10，利用二项分布可得出随机变量X的概率分布列，并利用二项分布的均值可计算出随机变量X的数学期望【详解】（1 1）依题意，此人这三年以来每周开车从家到公司的时间之和在（2 2）所求平均数为6.5,7.5（时）内的频率为1 0.03 0.1 0.2 0.190.09 0.04 0.35；x 4 0.03（3 3）依题意,P X 10.199 0.09 10

27、0.047（时）；472401101000022小23713232C410105000第2424页共 2323 页故X的分布列为X0 01234P240110291323189811000025005000250010000故E X 4 6. .105【点睛】本题考查频率分布直方图中频率和平均数的计算，同时也考查了二项分布的概率分布列和数学期望的计算，考查计算能力，属于中等题1919 .如图，五面体ABCDEF中，AE2EF，平面DAE平面ABFE，平面 CBFCBF平面ABFE,DAE DEA CFB CBF EAB FBA 45,(2 2)求直线DP与平面ACF所成角的正弦值. .【答案】

28、(1 1)证明见解析；(2 2)3=38. .19【解析】(1 1)分别取AE、BF的中点M、N，连接DM、CN、MP、MN，证明 出DMCF，可得出DM/平面CBF，证明出MP/FB，可得出MP/平面CBF, 利用面面平行的判定定理可得出平面DMP/平面CBF,由此可得出DP/平面CBF;(2 2)以P为原点，AB、PE所在直线分别为x轴、y轴，以过点P且垂直于平面ABFE的直线为 z z 轴建立空间直角坐标系P xyz，设AD DE 1，利用空间向量法可计算 出直线DP与平面ACF所成角的正弦值. .71018925008110 10000第2525页共 2323 页【详解】(1 1)如图

29、，分别取AE、BF的中点M、N，连接DM、CN、MP、MN. .第2626页共 2323 页所以AMP是以AP为斜边的等腰直角三角形，所以MPA 45,而FBA 45,则MP/FB. .因为MP平面CBF，FB平面CBF，所以MP/平面CBF. .因为MPI DM M，所以平面DMP/平面CBF. .因为DP平面DMP，所以DP/平面CBF；（2 2）如图，连接PE,以P为原点，AB、PE所在直线分别为x轴、y轴，以过点P且垂直于平面ABFE的直线为 z z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设ADDE 1，易知DMAE，且AM因为平面DAE平面ABFE，平面DAE I所以DM平面ABFE. .

30、同理CN平面ABFE，所以DM /CN. .因为DM平面CBF，CN平面CBF，因为AE.2EF，EABFBA 45o，因为AM，由余弦定理得2MP2AMAM2MP2AP2，所以AMP 90o，AE,DM平面DAE,故DM /平面CBF. .11 -AB. .32 AM APcos45由题可知AD DE,ADE 90o. .平面ABFE所以AP2AP22第2727页共 2323 页【点睛】本题考查直线与平面平行的证明，同时也考查了利用空间向量法计算直线与平面所成角 的正弦值，考查推理能力与计算能力，属于中等题2 22020已知点M、N分别是椭圆C：-仝1的上、下顶点，以MN为直径作圆C,164

31、直线I与椭圆C交于M、P两点，与圆C交于M、Q两点 (1) 若直线I的倾斜角为45，求OPQ(O为坐标原点)的面积；(2) 若点R xR,0、S xS,0分别在直线NP、NQ上，且PR PS, 求直线I的斜率 【答案】(1 1)6; (2 2)55或55. .51010【解析】(1 1)将直线I的方程与椭圆的方程联立，求出点P的坐标，计算出点Q的横坐设ADDE1，则A 1,0,0，C|g21,1,0,P 0,0,0,易知1 . 2uuuruuux,y,z为平面AFC的一个法向量，则ujuvAFUJIV2xy 0.2z 02，则y 4，z 3.2，即n 2,4,3 2. .uuu1 12,22，

32、设直线DP与平面ACF所成的角为2故sinuuu rPD nuuur rPD n3，即直线DP与平面ACF所成角的正弦值为3. 3819第2828页共 2323 页标，利用三角形的面积公式可计算出OPQ的面积;第2929页共 2323 页(2(2)设直线1的方程为y kx 2 k 0，与椭圆的方程联立，求出点p p 的坐标，进PS可知直线PR、PS的斜率互为相反数，利用斜率公式可得出关于k的方程，解出即可 【详解】【点睛】算能力，属于中等题 x m f x(2)若m2，求证：关x的不等式 -2 1 ex在1,0上恒成立 x【答案】(1 1)函数y f x在1,0上单调递减，理由见解析；(2 2

33、)证明见解析. .而可求点S的坐标，由PR(1)依题意，可知M 0,2，N 0,直线l: y2. .y x 2联立x2y2，消去y可得5x216416x0，故XP将P点横坐标代入直线I的方程可得yP易知XQ2，故OPQ的面积S1OQ(2(2)设直线I : y kx，联立y2x16kx 22乞144k2x216kx 0,设P x,y，依题意x16k1 4k28k21 4k2. .因为MQ NQ，所以kNQ1kMQ1，故NQ：yk则点S2k,0. .PR PS，则kPSkPR，即2 8k21 4k2亠2k1 4k2眩2221 4kk16k1 4k2l的斜率为進或5510本题考同时也考查了利用距离相

34、等求直线的斜率,考查计2121 .已知函数f x In x 1,x 1,0. .x m(1(1)若m 1，判断函数f x的单调性并说明理由;解得k旦，即直线10 x第3030页共 2323 页所以故当故即证1,0时,2时，xIn 1InIn由（1 1）可知,In0，所以即In 1 xIn1,0上单调递增,x 0. .x m In2xex. .2x，x2x在1,0 xInx 2 In1,0. .2 In上单调递增 所以，当x1,0时,In2x p 00，即In 1所以，当x1,0时,In2x x 2【解析】（i i）求出函数y f x的导数，分析导数f x在区间1,0上的符号，即可得出结论;2x

35、 x 2x 2 In 1 x，将不等式转化为x 2h x，利用单调性证明即可. .x 2【详解】（2）将所证不等式变形为xln 1 x m In 12x 1ex，证明出In 1 x x 0，于是将不等式转化为证明xIn 12xex，通过证明出然后构造函数(1(1)函数y f x在1,0上单调递减，理由如下:依题意f x In x 11,0，则f1Fl(2)即证1,0时，f x要证x mx InIn 10,故函数，即证x2x 11,0In上单调递减;x 1 mx2xInx，则g第3131页共 2323 页2 xx 2xx e小设h xex，则h x20. .x 2x 2所以y h x在1,0上单调递增，所以h x h 01，所以原不等式成立 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性， 同时也考查了利用导数证明函数不等式， 本题的 难点在于利用分析法， 通过构造函数逐步找到不等式成立的充分条件，对逻辑性思维要求较高，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题x a 3t2222 已知平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为“八(t为参数) 以原点y 1 4tO为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为忆，且直线1与曲线C交于P、Q两点