2020届辽宁省大连二十四中高三第一次模拟测试数学(理)试题(解析版)

1、XC. 3第 1 页共 20 页2020届辽宁省大连二十四中高三第一次模拟测试数学(理)试题、单选题3, N = 1 , 3, 5，则满足 MUX = N 的集合 X 的个数为()【答案】即得 z.【详解】a R为纯虚数,2i.故选:【点睛】 本题考查复数的分类，属于基础题3.下列四个结论中正确的个数是? 2x 3；1(4)X 1”是X 2”的充分不必要条件B. 21 若集合 M =1 ,【解X可以是5 , 1,5 ,3,5 , 1,3,5共 4 个，选 D.2 复数a R为纯虚数，则z()【答B. 2iC. 2i【解复数为纯虚数，则实部为0,虚部不为 0,求出a,0，解得01.2(1)对于命

2、题p: x0R使得x21则p: x R都有x210;(2)已知X : N(2,2)，则P(X2)0.5(3)已知回归2,样本点的中心为(4,5),则回归直线方程为第2页共 20 页【答案】C【解析】由题意，（1）中，根据全称命题与存在性命题的关系，即可判定是正确的；（2）中，根据正态分布曲线的性质，即可判定是正确的；（3）中，由回归直线方程的性质和直线的点斜式方程，即可判定是正确；（4 ）中，基本不等式和充要条件的判定方法，即可判定.【详解】由题意，（1）中，根据全称命题与存在性命题的关系，可知命题p : X。R使得X01 0，则p：X R都有X21 0,是错误的；2（2） 中，已知X N 2

3、,，正态分布曲线的性质，可知其对称轴的方程为x 2,所以P（X 2）0.5是正确的；（3） 中，回归直线的斜率的估计值是 2，样本点的中心为（4,5）,由回归直线方程的性质和直线的点斜式方程，可得回归直线方程为? 2x 3是正确；（4）中，当x 1时，可得x12 x12成立，当x丄2时，只需满足x 0,X , Xx1所以x 1”是x2”成立的充分不必要条件.X【点睛】本题主要考查了命题的真假判定及应用，其中解答中熟记含有量词的否定、正态分布曲线的性质、回归直线方程的性质，以及基本不等式的应用等知识点的应用，逐项判定是 解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.4.公差不为零的

4、等差数列 an中，a1+a2+a5=13，且 a1、a2、a5成等比数列，则数列an 的公差等于（ ）A . 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】 设数列的公差为d,d 0.由 a!a2a513 ,3,a2,a5成等比数列，列关于a1,d的方程组，即求公差d.【详解】设数列的公差为d,d 0,第3页共 20 页Q a1a2a513, 3a15d 13.第4页共 20 页2Qai,a2, a5成等比数列，6 dai4d，解可得d 2.故选：B.【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，属于基础题5 从装有除颜色外完全相同的3 个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取 5 次，设摸得

5、白球数为X，已知E(X) 3，则D(X)()8642A .-B.C.D.-5555【答案】 B【解析】 由题意知，3亠X B(5,)，由EX53农33，知X B(5-)，由此m 3m 35能求出D(X)【详解】3由题意知，X B(5,),m 33EX 53，解得m 2,m 3XB(5,5336D(X) 5(1)555故选：B 【点睛】 本题考查离散型随机变量的方差的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意二项分布的灵活运用.uuiv2 uuvuuv uuv1 uuivABC中，ANNC,P是BN上一点，若AP tAB-AC，则实336 .如图，在第5页共 20 页B.【答案】C【解析】由题意，可

6、根据向量运算法则得到 量分解的唯一性得出关于 t 的方程，求出 t 的值.【详解】由题意及图,uuuuuuuuu uuuuuuuuuuuu uuuuuuuuuAPABBPABmBNAB mANABmAN1 m AB,uuu2 uuuruuiT2 unruuu2uUTuuu又,ANNC，所以ANAC,- AP i mAC(1-m)AB，355本题考查平面向量基本定理，根据分解的唯一性得到所求参数的方程是解答本题的关 键，本题属于基础题.7.已知函数f x、3sin2x 2cos2x 1，将f x的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的1,纵坐标保持不变；再把所得图象向上平移1个单位长度，得到函数2y

7、 g x的图象，若g g x29,则XiX2的值可能为()53uuu2UULuuu一，亠APmAC(1 - m)AB，从而由向5A.B.C.D .-4423【答案】C【解析】 利用二倍角公式与辅助角公式将函数y f x的解析式化简，然后利用图象5 -6m得解*1 1-3mm变换规律得出函数y g x的解析式为g x2sin 4x1，可得函数6y g x的值域为1,3，结合条件g x1g x29，可得出g x,、g X2均为函数y g x的最大值，于是得出% X2为函数yg x最小正周期的整数倍，由睛占第6页共 20 页此可得出正确选项【详解】第7页共 20 页函数f xx3sin 2x 2co

8、s2x 1、3sin 2x cos2x 2sin 2x1将函数y f x的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的一倍，得2y 2sin 4x的图象；6再把所得图象向上平移1个单位，得函数yg x 2sin 4x1的图象，易知函6数y g x的值域为1,3.若g捲gx?9,则g为3且gX23，均为函数yg x的最大值，由4x 2kk Z，解得xkk Z；6262其中人、X2是三角函数y g x最高点的横坐标，xiX2的值为函数y g x的最小正周期T的整数倍，且T务 ? 故选 c.【点睛】本题考查三角函数图象变换，同时也考查了正弦型函数与周期相关的问题，解题的关键在于确定g Xi、g X2均为函数y

9、 g x的最大值，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题8.数列an，满足对任意的 n N+,均有 an+an+i+an+2为定值 若 a7=2, a9=3, a98=4, 则数列an的前 100 项的和 Sioo=()A. 132B. 299C. 68D . 99【答案】B【解析】由anan 1an 2为定值，可得an 3an，贝 y a 是以 3 为周期的数列，求出a1,a2, a3，即求S100.【详解】an是以 3 为周期的数列,对任意的nN+，均有anan 1an 2为定值,an 1an 2an 3anan 1an 20,故an 3an，第8页共 20 页故aia72, a2a98

10、4, a3a?3,33 2 4 32 299.故选：B.【点睛】本题考查周期数列求和，属于中档题9 在直角坐标系中，已知 A (1, 0), B (4, 0),若直线 x+my - 1=0 上存在点 P,使得|PA|=2|PB|,则正实数 m 的最小值是()i、3一A -B. 3CD . 、333【答案】D【解析】设点P 1 my,y，由PA 2 PB，得关于y的方程由题意，该方程有解，则0,求出正实数 m 的取值范围，即求正实数 m 的最小值.【详解】由题意，设点P 1 my, y.2 2Q PA 2 PB , PA 4 PB,2222即1 my 1 y 4 1 my 4 y,整理得m21

11、y28my 12 0,则8m $ 4 m21 12 0，解得m . 3或mQ m 0, m 3, mmin、3.故选：D.【点睛】本题考查直线与方程，考查平面内两点间距离公式，属于中档题10三棱柱ABC A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，BAA1CAA160，则Sooaia2a333 a-ia2a3aioo第9页共 20 页异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为()第10页共 20 页【答案】B【详解】本题正确选项：B【点睛】转化为向量夹角的求解问题A JB.,6C.乜4,32x11.已知双曲线a1(a0,b0），过原点作一条倾斜角为n卫直线分别交双曲3UULV【解析】设AAvuuvc,

12、ABa,Ac b,根据向量线性运算法则可表示出uuuv uuuiAB,和BG;uuv UJLM I uutv分别求解出AB,BG和AB,，LULL/BG，根据向量夹角的求解方法求得UUJV1/cos AB, BG，即可得所求角的余弦值设棱长为 1，AAc，ABvuuu/a，AC由题意得：a b1，b c2ILIVv vUUUf ILIV Q AB ac，BG BC1v v 1，a c 22vv vBB,b a cIUULUNvvvvvAR BC1acbacLUv又AB1V2 Tv v v2 a2a c c本题考查异面直线所成角的求解,关键是能够通过向量的线性运算、数量积运算将问题2即异面直线A

13、B1与BC1所成角的余弦值为:第11页共 20 页线左、右两支 P, Q 两点，以线段 PQ 为直径的圆过右焦点 F，则双曲线离心率为()A 、.2 1B.,31C 2D 5【答案】B【解析】求得直线PQ的方程，联立直线的方程和双曲线的方程，求得P,Q两点坐标【详解】设P xi,yi,Q X2,y2,依题意直线PQ的方程为y . 3x，代入双曲线方程并化简得【点睛】力，属于中档题【答案】B【解析】 先构造函数，再利用函数奇偶性与单调性化简不等式，解得结果【详解】的关系，根据FQFP列方程，化简后求得离心率x2a2b2J2 233厂3，故2 Jca b洛x0 X2门2,y1y23x1x222，设

14、焦点坐标为F c,0b23a2uuvUUIV0，即FP FQxc, y1X2c, y2b46a2b23a40，两边除以a4得-a，由于以PQ为直径的圆经过点0,即即4xiX22c 0，即0，解得3 2.3.4 2、3、31，故选B.本小题主要考查直线和双曲线的交点,考查圆的直径有关的几何性质,考查运算求解能12 .已知函数f X在R上都存在导函数f x，对于任意的实数都有f( x)f(x)2xe,当x 0时，f (x)f (x)0,若eaf (2a1) f(a 1)，则实数a的取值范围是A.0,23B.2,03C.0,)D.(,042 2第12页共 20 页令g(x) exf(x)，则当x 0

15、时，g (x) ex f (x) f (x)0， 又g( x) exf( x) exf(x)g(x)，所以g(x)为偶函数，从而eaf 2a 1 f a 1等价于2 a 1a 1e f (2a 1) e f(a 1),g(2a 1) g(a 1),22因此g( |2a 1|) g( |a 1|), 12a 1|a 1|,3a2a 0a 0.选3B.【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性求解不等式，考查综合分析求解能力，属中档题.二、填空题13.已知函数 f (x)=axlnx - bx( a, b R)在点(e, f( e)处的切线方程为 y=3x-e,贝 V a+b=_ .【答案】0【解析】

16、由题意f e 2e, fe3，列方程组可求a,b，即求a b.【详解】在点e, f e处的切线方程为y 3x e,f e 2e,代入f xaxlnx bx得a b 2.又Q f x a 1 In x b, f e 2a b 3.联立解得：a 1,b1.a b 0.故答案为：0.【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题.14.设 Si 为数列an的前 n 项和，若 an0, a1=1，且 23=an(an+t ),nN，贝 U S10=_【答案】55【解析】由2a12S-|a1a1t求出t1.由2Snanan1，可得2Sn 1an 1an 11,两式相减，可得数列an是以 1 为首项，1 为公

17、差的等差数列， 即求S0.第13页共 20 页【详解】由题意，当 n=1 时，2印2S aia t,Q 3i 1, 2 1 t, t 1当n 2时，由2Sna. % 1,可得2Si1an 1an 11,两式相减，可得2ananan1an 1an 11整理得anan 1anan 110,Q anan 10,anan 11 0,即anan 11,二数列an是以 1 为首项， 1为公差的等差数列,10 9S0101 -155.2故答案为：55.【点睛】本题考查求数列的前n项和，属于基础题.15.已知抛物线 C: y2=4x 的焦点为 F，准线为 I, P 为 C 上一点，PQ 垂直 I 于点 Q,M

18、 ,N 分别为 PQ,PF 的中点，MN 与 x 轴相交于点 R,若/ NRF =60。，则|FR |等于_【答案】2【解析】由题意知：FH|2,PF PQ,MN/QF,PQ/OR.由/ NRF=60可得PQF为等边三角形，MF 丄 PQ,可得 F 为 HR 的中点，即求| FR.【详解】不妨设点 P 在第一象限，如图所示，连接MF , QF.Q4第14页共 20 页-1QF 2；5第15页共 20 页抛物线 C : y2=4x 的焦点为 F，准线为 I, P 为 C 上一点 FH 2,PF PQ.TM, N 分别为 PQ, PF 的中点，MN /QF, PQ 垂直 I 于点 Q, PQ/OR

19、,/ PF PQ，/ NRF=60 , PQF为等边三角形， MF 丄 PQ ,易知四边形MQHF和四边形MQFR都是平行四边形， F 为 HR 的中点，FR FH 2,故答案为：2.【点睛】本题主要考查抛物线的定义，属于基础题16.已知一个四面体ABCD的每个顶点都在表面积为9的球0的表面上，且AB CD a,AC AD BC BD75，则a_.【答案】2.2【解析】由题意可得，该四面体的四个顶点位于一个长方体的四个顶点上,结合a 0解得：a2 2.点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.解题时要认真分 析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适 的截面图

20、，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长2x2 2y a2yz25，据此可得：2x2xz25则球的表面积：S 4 R21022210 ay z22a9,设长方体的长宽高为x,y,z，由题意可得：第16页共 20 页等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对 角线长等于球的直径三、解答题17 如图，在ABC中，AB BC,ABC 1200,AB 3,ABC的角平分线与AC交于点D,BD 1.C_ -*J /A - 4(I)求si nA ；（n）由（I）可知cosA,进而得sinC,在BCD中，由正弦定理得BC,所以1的面积S BD BC sin CBD即

21、可得解.2试题解析：(I)在ABD中，由余弦定理得AD2AB2BD22AB BD cos ABD 9 12 3 1 -72，所以AD 7，由正弦定理得-BDAD，所以sinA sin ABD.八BD sin ABD o in A、3.21sillAAD2,714.(n)由(I)可知cosA.1sin Al2斤在ABC中，sinC sin1200A.3513212 2/7 2 2/77在BCD中，由正弦定理得ABBC所以BCABsi nA3si nCsinAsi nC2所以BCD的面积S-BD BCsinCBD-133. 322228【答案】（I ）、21；（n）3一3【解析】BDsi nA由余

22、弦定理得AD ,7，由正弦定理得BCD（n）求BCD的面积.第17页共 20 页18 .如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为矩形，侧面PAB底面ABCD,H为棱AB的中点，E为棱DC上任意一点，且不与D点、C点重合.AB 2, AD PA 1，PH , 2【详解】1(1)由于H为AB中点，AH AB 1.2又PH 2故PH2AP2AH2，所以VPAH为直角三角形且PAH 90,即PA AB.又因为PA面PAB，面PAB面ABCD AB，面PAB面ABCD,故AP面ABCD,又PA面PAE,所以面PAE面ABCD.(2)由(1)知AP面ABCD，又四边形ABCD为矩形，则AP, AD,

23、AB两两垂 直.一LOTUUUUUU以A为坐标原点，AD为x轴正方向，AB为y轴正方向，AP为 z 轴正方向，建立空 间直角坐标系.(1)求证：平面APE平面ABCD；(2)是否存在点E使得平面APE与平面PHC所成的角的余弦值为6?若存在，求3出点E的位置；若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)存在，E为DC中点【解析】(1)证明AP面ABCD，即证明平面APE平面ABCD; (2)以A为坐标原点，AD为x轴正方向,AB为y轴正方向，AP为 z 轴正方向，建立空间直角坐1J_.34211-，所以E为第18页共 20 页则A(0,0,0),P(0,0,1),H(0,1,0),C(

24、1,2,0)，设E1,2 ,0 ,0,1,UJUU0, 1,1 , HC 1, 1, 0,IT设平面APE的法向量为m x, y, z,uu则平面APE的一个法向量为m 2 ,10,ir同理可得平面PHC的一个法向量为n 1,11,设平面APE与平面PHC所成角为所以点E为DC中点.【点睛】知识的理解掌握水平19 某超市在节日期间进行有奖促销，规定凡在该超市购物满 400 元的顾客，均可获得一次摸奖机会摸奖规则如下：奖盒中放有除颜色不同外其余完全相同的4 个球(红、黄、黑、白)顾客不放回的每次摸出 1 个球，若摸到黑球则摸奖停止，否则就继续摸 球按规定摸到红球奖励 20 元，摸到白球或黄球奖励

25、 10 元，摸到黑球不奖励(1) 求 1 名顾客摸球 2 次摸奖停止的概率；(2)记 X 为 1 名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量X 的分布列和数学期望1【答案】(1) ； (2) 20.4【解析】(1) 1 名顾客摸球 2 次摸奖停止，说明第一次是从红球、黄球、白球中摸一球，第二次摸的是黑球，即求概率；(2)X的可能取值为：0, 10, 20, 30, 40 .分别求出X取各个值时的概率，即可求 出分布列和数学期望【详解】uuuuui则AP 0,0,1 ,AEUJIT1, 2 , 0 ,PH1yrnu贝2X令oy0 2 z Xo o uAUAvm vm贿则则由题意可得cosuurITm1

26、m1n_,3 . 421本题主考查空间二面角的应用,意在考查学生对这些第19页共 20 页(1) 1 名顾客摸球 2 次摸奖停止，说明第一次是从红球、黄球、白球中摸一球，第二次摸的是黑球，C C 1所以 1 名顾客摸球 2 次摸奖停止的概率P1-.C：c34第20页共 20 页(2)X的可能取值为：0, 10, 20, 30, 40.P x 0C；11,P xC4410c2c11 -,P6x 20C4C3c2c11c1111 1C4C3c4c3c26P x 30c；c2c；c；C16,Px 401C4C3C24随机变量X 的分布列为：X010203040P11111f664数学期望E x011

27、0120 -30140-20.46664【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列和数学期望，属于中档题2 2X y20 .已知椭圆 牙1 a b 0，点A 1,0 ,B 0,1，点P满足a bOP(其中O为坐标原点)，点B, P在椭圆C上.(1)求椭圆C的标准方程;(2)设椭圆的右焦点为F，若不经过点F的直线l : y kx m k 0, m 0与椭圆C交于M ,N两点 但与圆x2y21相切.VMNF的周长是否为定值？若是，求出定 值；若不是，请说明理由.2【答案】(1)乡y21(2)是，22【解析】(1)设P x,y,根据条件可求出P的坐标，再利用B, P在椭圆上，代入椭圆 方程求出a,

28、b即可；(2)设M 为, ,N X2,y2 %0, X20运用勾股定理和点满足椭圆方程，求出MQ,|NQ，再利用焦半径公式表示出|MF,NF|,进而求出周长为定值.【详解】uuu . 2 uuuOA -OB2第21页共 20 页即(1,0)子(0,1)(X,y),则xi,y2，即P2因为B,P均在C上,代入得12ay21;(2)由(1)得F(1,0),e2 ,a 2设切点为Q, M xi, yi1b212b2,解得a2 2，作出示意图，,N X2, y2Xi0,X20,2,b21,所以椭圆C的方程为则|MQ|2|OM |2|OQ|2X2同理NQ即|MQ| -yX,| NQ |2 2于2,所以|

29、MN|(X1X2),又MFa ex-.NF2X2,2则VMNF的周长MN|MF | |NF| -XiX2X2所以周长为定值22【点睛】第22页共 20 页标准方程的求解，椭圆中的定值问题，考查焦半径公式的运用，考查逻辑推理能力和运算 求解能力，难度较难.In x ax 1 xx2 2(2)若函数 f ( x)有两个不同的零点 Xi, x2( xiX2),证明：一L J2.X2x【答案】(1) a 1 ; (2)证明见解析【解析】(1)求出fx，判断函数f x的单调性，求出函数f x的最大值，即求a的范围;况讨论，构造函数，利用放缩法和基本不等式证明结论.一0,1 ,X21,若冷1,2，则2 x

30、20,1,令g xf Xf 2 xIn x 1XX1In x：In 2 xIn xg X222X2 xXg X在0,1上单调递增，g xf 2X1fXf x2(1)由f XIn x ax 1X令fX0, x 1.当0X1时，fx 0-【详解】In x11In xa，得f x2XXX当X1时，fx 0-f x在0,1上单调递增，在 1,上单调递减，f X “f 1 a 1.maxQ对任意x0, f x 0恒成立，a 10, a 1(2)证明：由(1)可知,21 .已知函数(1)若对任意 x 0, f (x)0 恒成立，求实数 a 的取值范围;(2)由(1)可知，捲0,1必1,对X2分X21,2和

31、X22,两种情x在0,1上上单调第23页共 20 页In 2 x 1亍2In2XInx 11022XXg 10,f Xf 2 x第24页共 20 页Q Xi0,1 , 2 xi1,又X21,f x在 1,上单调递减,X1X2,X1X22.右x22,X22显然成立.综上,X1X22.2又乞X22x1x-x2X222X1*X12X2cx2X2X1以上两式左右两端分别相加,X2X2X122所以乞2X2X1【点睛】2X12X2X，即2%X22X2X1本题考查利用导数解决不等式恒成立问题，利用导数证明不等式，属于难题22 .在平面直角坐标系 xOy 中，以 0 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为2sin 2acos a 0；直线 l 的参数方程为；阪（t 为参数）.直线 l 与曲线.2tC 分别交于 M, N 两点.(1)写出曲线 C 的直角坐标方程和直线的普通方程;(2)若点 P 的极坐标为2,PMPN5 2，求a的值.【答案】（1）x2 21 a210；（ 2）2.【解析】 （1）由2sin2acos得22 sin2a cos，求出曲线C的直角坐标方程由直线I的参数方程消去参数t，即求直线I的普通方程;x（2）将直线l的参数方程化为标准式2 2