2020-2021学年新教材必修第一册第四章指数函数与对数函数单元测试

1、围是（ ）章末质量检测（四）指数函数与对数函数一、单项选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的）1.设 a= log20.3, b=30.2, c = 0.30.2,则 a, b, c 的大小关系是（）A.acb B. abcC. cab D. bca2. 方程 Iog3x= 5 x 的根所在的区间为()A . (0,1) B . (1,2)C.(2,3) D.(3,4) x2+1,xw1,3.若函数 f(x)=则 f(f(10)=()lg x, x1,A . lg 101 B. 2C. 1 D. 04.某品牌电脑投放市场的第一

2、个月销售 100 台，第二个月销售 200 台，第三个月销售400 台，第四个月销售 790 台，则下列函数模型中能较好反映销售量y 与投放市场月数 x 之间的关系的是（）A . y= 100 x B. y= 50 x2 50 x+ 100C.y=50X2x5.当 a1 时，A . (0,1) B. 7A . abc B . bacC.O, J1D 9,7.已知函数 f(x) = x3+ x,g(x)= Iog2x+x,h（x）= 2x+ x 的零点分别为a, b, c,则(6.已知 f(x) =D . y= 100log2x+ 100y = ax的图象与 y= logax 的图象是()log

3、ax, x 1,围是（ ）C . cab D . bca|log2x| 0 x2 ,A (0,1) B (0,2)C. (1,2) D. (2,4)二、多项选择题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的四个选项中, 有多项符合题目要求全部选对的得5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分)9.若 ab0,0c1,则()a bA . IogcacC. acbcD . logc(a + b)010 .已知函数 f(x)= x2 2x+ a 有两个零点 X1, x2，以下结论正确的是()A . a b ,12 .定义运算 a b =设函数 f(x) = 1 2x,则下列命

4、题正确的有()b ab ,A.f(x)的值域为1,+s)B . f(x)的值域为(0,1C. 不等式 f(x+ 1)f(2x)成立的范围是(a,0)D. 不等式 f(x+ 1)0,心113.已知函数f(x)=2x, x0 且 a* 1)在2, 0上的值域是1,0.若函数 g(x)=ax+m 3 的图象不经过第一象限，则m 的取值范围为 _.16 .已知函数 f(x)= 3|x+a|(a R)满足 f(x)= f(2 x)，则实数 a 的值为_;若 f(x)在m,+a)上单调递增，则实数 m 的最小值等于 _.(本题第一空 2 分，第二空 3 分)四、解答题(本题共 6 小题，共 70 分.解答

5、时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17 . (10 分)求下列各式的值：12(1)3log34+ 2log92 Iog39；18. (12 分)已知函数 f(x) = Iog4(4x 1).(1)求函数 f(x)的定义域；1若 x 2，2，求 f(x)的值域.219. (12 分)已知函数 f(x) = a 2(a R)(1) 判断函数 f(x)在 R 上的单调性，并用单调函数的定义证明；(2) 是否存在实数 a 使函数 f(x)为奇函数？若存在，求出 a 的值；若不存在，请说明理由.20. (12 分)某心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其注意力指数 p 与

6、听课时间 t 之间的关系满足如图所示的曲线.当t (0,14时，曲线是二次函数图象的一部分，当 t 14,40时，曲线是函数 y= loga(t 5) + 83(a0 且 a 工 1)图象的一部分.根 据专家研究，当注意力指数p 大于等于 80 时听课效果最佳.21.(12 分)已知定义域为 R 的单调函数 f(x)是奇函数，当 x0 时，f(x)= 3 2x. 求 f(x)的解析(2)( - 1)0+ 2+1 27143+ ( .;8)3.x式；若对任意的 t R，不等式 f(t2 2t) + f(2t2 k)0 时，设 g(x)= lg(a 10 x 2a)，若函数 f(x)与 g(x)的

7、图象有且只有一个公共点, 求实数 a的取值范围.章末质量检测（四）指数函数与对数函数1.解析：a = log20.330= 1, c = 0.3.20,二 bca.答案：D2 一道数学难题，讲解需要22 分钟，问老师能否经过合理安排在学生听课效果最佳时讲完？请说明理由.2.解析：构造函数 f(x) = x+ log3X 5,则该函数在(0,+*)上 为增函数.所以函数 f(x) = x+ log3X 5 至多只有一个零点.vf(1)= 40, f(2) =log32 30, f(3) = 10.由零点存在 性定理知，方程log3x= 5x 的根所在区间为(3,4).答案：D3.解析： f(10

8、)= lg 10= 1, f(f(10) = f(1) = 2.答案：B4.解析:对于 A 中的函数，当 x=3 或 4 时，误差较大.对于 B中的函数，当 x= 1,2,3 时，误差为 0,x = 4 时，误差为 90,误差较大.对 于C 中的函数，当 x= 1,2,3 时，误差为 0, x= 4 时，误差为 10,误 差很小.对于 D 中的函数，当 x= 4 时，据函数式得到的结果为 300, 与实际值 790相差很远.综上，只有 C 中的函数误差最小，故选 C.答案：C15.解析：va1,二 y= a-x= -x在 R 上递减，且过(0,1), y= logxa在(0,+乂)上递增，且过

9、(1,0),故 A 正确.答案：A3a 10,6.解析：1 1 由题意知 3a 1 + 4a0,解得 7wa.0a0, c0，二 cab.答案：B|log2x| 0 x2 ,不妨设 abc,则 |log2a|= |log2b|,即 log2a= log2b,则 log2(ab)= 0,所以 ab= 1,又由图可知 2c4,则 abc=c (2,4).答案：D9.解析：A 中，因为 0cb0 得 logcavlogcb，故 A 正确；B 中，因为 0cb0，得 cab0,0c1，所以 acbc，故 C 正确；D 项，取 c= ?,增长率为 2, A 选项正确； 对于 B 选项， 浮萍第 1 个月

10、增加的面积为 31-30=2(m2)，第 2 个月增加的面积为 32-31= 6(m2), 2 工 6, B 选项 错误；对于C 选项，第 4 个月时，浮萍的面积为 34= 8180, C 选项错误；对于 D 选项，由题意可得 3ti= 2,3t2= 4,3t3= 8,v42= 2X8,(3t2)2= 3tiX3t2，即 32t2= 3ti+t3,所以，2t2= ti+13, D 选项正确. 答案：AD2xx0 ,若不等式 f(x+ 1)f(2x)成立，由函数图象有当 2xx + 1 0 即 x 1 时成立，2x0,当即一 1x0,所以不等式 f(x + 1)f(2x)成立时，x0.故选 AC

11、.答案：AC1 1 1 1 113解析：f4=log24= 2,又f(一2)=2一2=4，f f4=4.1答案：1qn +1函数的解析式为 y= 3对于 A 选项，由2 可得浮萍每月的12.解析：由函数 f(x) = 12-x,有 f(x) =2一 x10 且 az1)在-2,0上的值域是-1,0.当 a1 时，f(x)= loga( x+ 1)单调递减，f 2 = loga3= 0,二无解；f 0 = loga1 = 1,当 0a1 时，f(x) = loga( x+1)单调递增，f 2 = loga3= 1,f 0 = loga1 = 0,1vg(x)= 3x+m3 的图象不经过第一象限，

12、12192二 g(0)=3m 3 1,由(1)知 f(x)= 3x1|=31x, x 1, m 的最小值为 1.答案：111 解得 a=3.17.解析：(1)原式=4+log35log39 = 4 + 2 = 4；41343 1(2)原式=1+ 36 3+ ?2 3= 1 + 4 + 4= 2.18. 解析：(1)vf(x)= Iog4(4x 1), 4x 10 解得 x0,故函数 f(x)的定义域为(0,+x).(2)令 t= 4x 1,- x 舟舟，2 t 1,15,y= Iog4t 0 , Iog415, f(x) 0, log415,即函数 f(x)的值域为0, log415.19 .

13、解析：(1)函数在 R 上递增，证明如下：函数 f(x)的定义域为R，对任意 X1, x2 R，设 X1VX2,2 2X1+ 2 2 2x2 2则 f(x f(X2)=2x1+ 1 2X2+ 12 2X1 2X22X1+ 1 2X2+ 1 .Ty= 2X是 R 上的增函数，且 X1X2,-2x1 2x20,- f(x) f(X2)0.即 f(X1)Vf(X2),函数 f(x)为 R 上的增函数.(2)若函数 f(x)为奇函数，贝卩 f(0)= a 1 = 0, a= 1.2艺一 1当 a= 1 时，f(x) = 1- =-.5-x 11 2X f( x) = f(x),2x+ 11+ 2X公+

14、 12X+ 1此时 f(x)为奇函数，满足题意，a = 1.20. 解析：(1)当 t (0,14时，设 p = f(t)= c(t 12)2+ 82(c80,解得：12 2 2t 80,解得 5t22.所以，教师能够合理安排时间讲完题目.21.解析：(1)丁定义域为 R 的函数 f(x)是奇函数，二 f(0)= 0.x当 x0，二 f( x)=亍2I又丁函数 f(x)是奇函数，二 f( x) = f(x), f(x) = 3+ 2-X.x3 2x, x0,综上所述，f(x)=0, x= 0,x cxc3 + 2x, xf(0) = 0,且 f(x)为 R 上的单调函数，二函数 f(x)在 R

15、 上单调递减.由 f(t2 2t) + f(2t2 k)0 得 f(t2 2t)k 2t2.即 3t2 2t k0 对任意 t R 恒成立，1 1 = 4+ 12k0,解得 k2.整理得(a 1)102x 2a 10 x 1 = 0.令 t = 10 x(t2)，则方程(a 1)t2 2at 1 = 0 在(2，+乂)有且只有一个实根.1当 a= 1 时，t=一 2，不满足题意，舍去.当 a1 时，设方程对应的二次函数为 u(t) = (a 1)t2 2at 1.a抛物线开口向上，对称轴 t=0,且 u(0) = 10.a 1只需 u(2)0,则方程只有一个大于 2 的根. 而 u(2) = 51时满足题意.a当 1a0 时，抛物线开口向下，对称轴 t=0,且 u(0)=a 1(1)试求 p= f(t)的函数关系式；1a+ b= 2,贝 S logc(a + b) =log22= 10? a1.故 A