2020届内蒙古鄂尔多斯市高考模拟考试(4月)数学(理)试题(解析版)

1、第1 1页共 2222 页3 3.已知向量a2)贝r r b br r a a且2020 届内家古鄂尔多斯市咼考模拟考试(4 月)数学(理)试题、单选题【详解】1AI Bx| x 1. .2故选：A【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合交集的概念和运算，属于基础题2 2.若复数 z z 满足z (2i)(1 i)(i是虚数单位)，则|z|()【答案】B B【解析】利用复数乘法运算化简 z z，由此求得Z. .【详解】依题意Z 2 i 2i i23 i，所以|z品i410.故选：B B【点睛】本小题主要考查复数的乘法运算，考查复数模的计算，属于基础题已知集合x|(x 3)(x 1)

2、0，B1则AI B()2x|x|x3x|【答【解解一元二次不等式求得集合A，由此求得AIB. .由(x 3)( x1)0解得3 x 1,所以A x|1，所以A A .远B B.10D D.、 51第2 2页共 2222 页a a (1,2)(1,2),b (4,1)，且 a a b b，所以1 4210解得故选：A A【点睛】本小题主要考查向量垂直的坐标表示，属于基础题【详解】A A 选项，若m P,mP,n/nil则P或与相交；故 A A 错；B B 选项，若m/n,m，则n,又n,是两个不重合的平面,则P,故 B B 正确；C C 选项，若mn,m，则n或n/或n与相交，又n, , 是两个

3、不重合的平面，则P或与相交；故C C 错；D D 选项，若mn,m P，则n或n/或n与相交，又n, ,是两个不重合的平面，则P或与相交；故 D D 错；故选 B B【点睛】A A . 若m Pm P,n/n/B B.若m/n,mn，则C C . 若mn,mn，则D D . 若mn,m P,n，则4.已知m, n是两条不重合的直线,【答案】B B，则P【答【解根据向量垂直的坐标表示列方程，解方程求得的值. .【详由于向量是两个不重合的平面，下列命题正确的是【解析】 根据空间中线线、线面位置关系, 逐项判断即可得出结果1第3 3页共 2222 页线线相关的命题，熟记线线、线面位置关系，即可求解，

4、属于常 考题型 5 5下图是民航部门统计的某年春运期间，六个城市售出的往返机票的平均价格（单位本题主要考查与线面、第4 4页共 2222 页元），以及相比于上一年同期价格变化幅度的数据统计图,A A 深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高B B .天津的往返机票平均价格变化最大C C .上海和广州的往返机票平均价格基本相当D D .相比于上一年同期，其中四个城市的往返机票平均价格在增加【答案】D D【解析】根据条形图可折线图所包含的数据对选项逐一分析，由此得出叙述不正确的选项 【详解】对于 A A 选项，根据折线图可知深圳的变化幅度最小，根据条形图可知北京的平均价格最高，所以 A A 选项叙述

5、正确 对于 B B 选项，根据折线图可知天津的往返机票平均价格变化最大，所以B B 选项叙述正确 对于 C C 选项，根据条形图可知上海和广州的往返机票平均价格基本相当，所以C C 选项叙述正确 对于 D D 选项，根据折线图可知相比于上一年同期，除了深圳外，另外五个城市的往返机票平均价格在增加，故 D D 选项叙述错误 故选：D D【点睛】本小题主要考查根据条形图和折线图进行数据分析，属于基础题6 6 .设Sn为等差数列an的前n项和，若a33,S77，则Sn的最小值为（）A A.12B B.1515C C.16D D.18【答案】C C【解析】 根据已知条件求得等差数列an的通项公式，判断

6、出Sn最小时n的值，由此以下叙述不正确的是（）-I城苗甘三愛呂忸辛 Ltcisw第5 5页共 2222 页求得Sn的最小值 第6 6页共 2222 页【详解】a-i 2d 3依题意，解得a-7, d 2，所以an2n 9. .由an2n 90解7a121d79得n，所以前n项和中，前4项的和最小，且S44a16d 281216. .2故选：C C【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式和前n项和公式的基本量计算，考查等差数列前n项和最值的求法，属于基础题 . .7 7 下图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成,个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC、直角边AB、

7、AC,已知以直角边348A A - -B B. C C 1 1D D - -555【答案】D DAC 1【解析】根据以直角边AC、AB为直径的半圆的面积之比求得，即tan的AB 2值，由此求得sin和cos的值，进而求得所求表达式的值 【详解】由于直角边AC、AB为直径的半圆的面积之比为1,所以4AC 1AB 2，即tan1212十，24c128所以sinj5，cos壽，所以cos2sin 2_52555.故选：D D【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查二倍角公式，属于基础题，则cos2sin 2()1AC、AB为直径的半圆的面积之比为 一，记ABC第7 7页共 2222 页物

8、线C的一个交点，若uuruuu3FB，则|BF |8 8 已知抛物线C : y26x的焦点为F，准线为I,A是I上一点，B是直线AF与抛B B. 3 3【答案】D D【解析】根据抛物线的定义求得|AF| 6，由此求得|BF|的长. .【详解】 过B作BC l,垂足为C，设I与x轴的交点为D. .根据抛物线的定义可知BF BC. .由于FA 3FB，所以AB 2BC，所以CAB ,所以AF 2 FD 6,所以61BF3AF 2.故选：D D【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题. .9 9在我国传统文化 五行”中，有金、木、水、火、土 ”五个物质类别，在五者之

9、间，有一种相生”的关系，具体是：金生水、水生木、木生火、火生土、土生金 从五行中任取两个，这二者具有相生关系的概率是（）第8 8页共 2222 页A A . 0.20.2B B. 0.50.5C C. 0.40.4D D . 0.80.8第9 9页共 2222 页【答案】B B【解析】 利用列举法，结合古典概型概率计算公式，计算出所求概率【详解】从五行中任取两个，所有可能的方法为：金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土，共10种，其中由相生关系的有金水、木水、木火、火土、金土,51共5种，所以所求的概率为0.5. .10 2故选：B B【点睛】 本小题主要考查古典概型的计算

10、，属于基础题10函数ynxj的图象大致是（【解析】根据函数图象上的特殊点，判断出正确选项【详解】11时，y1,所以 D D 选项错误. .1In11时，y -110,所以 A A 选项错误. .1 In1111c1 1y-时，y1,12,c 1,1，所以 C C 选项错误2 2? ?InIn 2In e一222 2所以正确的函数图象为 B.B.故选：B B【点睛】 本小题主要考查函数图象的判断，属于基础题A A .-1B B.D D.第1010页共 2222 页2xiiii.已知双曲线c：ra2yb2i(a0,b0）的焦距为 2c2c,过左焦点Fi作斜率为 i i 的直线交双曲线C的右支于点P

11、,若线段PFi的中点在圆O:x2y2c2上，则该双曲线的离心率为（）A A . . 2 2B B.2.2c c.2 iD D.2.2i【答案】C C【解析】设线段PFi的中点为A，判断出A点的位置，结合双曲线的定义，求得双曲 线的离心率. .【详解】设线段PFi的中点为A，由于直线FiP的斜率是1，而圆0 : x2y2c2，所以A 0,c由于0是线段F1F2的中点，所以|PF22OA 2c，而PFi2 AFi2 J2c 2j2c，根据双曲线的定义可知| PFi| PF22a，即-c 222c 2c 2a，即2 i. .a 2丁2 2故选：C C【点睛】本小题主要考查双曲线的定义和离心率的求法，

12、考查直线和圆的位置关系，考查数形结第1111页共 2222 页合的数学思想方法，属于中档题 . .第1212页共 2222 页c ,12 log1x,-1212 .已知函数f (x)282x,1 x 2，若f(a) f(b)(ab），则ab的最小值为（ ）参考数据：ln220.69,ln 20.48B B.4log?、3【答案】A A【解析】首先fx的单调性，由此判断出1，由f (a)2f（b）求得a,b的关系式 利用导数求得log2ab的最小值,由此求得ab的最小值 【详解】c ,12 log1x,-由于函数f (x)282x,1x21，所以fx在丄,1上递减，在81,21,2 上递增. .

13、1由于f (a) f (b)(a b),f -82 log I1285, f 2224，令2log1x 4 ?211 a解得x，所以441 b，且log-1a2b2，化简得log2a 2 2b，所以log2ab log2a log2b2blog2b， 构造函数g x 2 2xlog2x 1x2 ln 2ln 21x2. .构造函xln 21 xln 2 2x2ln 20,所以区间1,2上递减，而h 121 2ln 20.48 0.04 0，8ln22 1 8 0.482.840，所以存在x01,2，使h X。0 所以1,xo上大于零，在x0,2上小于零. .所以g x在区间1,x0上递增,在区

14、间x0,2上递减. .而g 10,g 22 22log221，所以g x在区间1,2上的最11小值为1，也即log2ab的最小值为1，所以ab的最小值为2?第1313页共 2222 页【详解】第 9 9 页共 2222 页故选：A A本小题主要考查利用导数研究函数的最值，考查分段函数的图像与性质，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题 二、填空题1313 .某种牛肉干每袋的质量 m(kg)m(kg)服从正态分布，质检部门的检测数据显示：该正态分2布为N 2,P(1.9剟m 2.1) 0.98. .某旅游团游客共购买这种牛肉干100100 袋，估计其中质量低于1.9kg的袋数大约是 _袋. .【

15、答案】1 1【解析】根据正态分布对称性，求得质量低于1.9kg的袋数的估计值. .【详解】1o 98由于2，所以P m 1.920.01,所以100袋牛肉干中，质量低于1.9kg的袋数大约是100 0.011袋. .故答案为：1【点睛】本小题主要考查正态分布对称性的应用，属于基础题. .x1414 .已知函数f(x) cosx log221 ax(a R)为偶函数，则a _. .1【答案】丄2【详解】第 9 9 页共 2222 页【解析】根据偶函数的定义列方程，化简求得a的值. .由于f x为偶函数，所以f xx，第1616页共 2222 页cos x log22x1 ax cosx log2

16、2x1ax,1 2a 0,a1故答案为：12【点睛】 本小题主要考查根据函数的奇偶性求参数，考查运算求解能力，属于中档题 1515 已知A B、C、P是同一球面上的四个点，其中PA平面ABC,VABC是正三角形，PA AB 3，则该球的表面积为【答案】21【解析】求得等边三角形ABC的外接圆半径，利用勾股定理求得三棱锥P ABCD外接球的半径，进而求得外接球的表面积【详解】1设。1是等边三角形的外心，则球心O在其正上方PA处. .设QCr，由正弦定理得cosx log22x1 ax cosx log22x1ax，log22x1lOg22x1 2ax 0,2x12ax2x1 2x0，即log2

17、21 2x2ax 0,即2x12xlog22x12ax 0，即log222axx 2ax 1 2a x 0，所以2rsmsm_ _ ；2息3 所以得三棱锥32ABCD外接球的半径20。12O1C21PA2积为4 R24，所以外接球的表面932O1C由于f x为偶函数，所以f xx，第1717页共 2222 页故答案为：21p第1818页共 2222 页【点睛】本小题主要考查几何体外接球表面积的计算，属于基础题三、双空题1616 设函数f(x)x22x，点An( n, f(n) n N,A为坐标原点，向量uu uuujrUJULTUUUUUU rUTranAoAAALAn 1An，设i (1,0

18、)，且n是 a a.与i的夹角，记&为数列【详解】依题意，且A在第一象限,n为锐角. .所以urUUULTanA0A1LUULTAA2LUUUUJLTAlAnJUJUJ2n严cosn,班 所以UJanr iUJ ranin所以tannsin1 cos2coscos1 cos22COS所以tan23tann的前n项和，贝y tan3_；Sn _2 2n2 2n n2 2求得 a an的坐标，由此求得COSntann,进而利用错位相减求和法求得Sn. .p第1919页共 2222 页2第2020页共 2222 页【点睛】属于中档题 四、解答题1717 .交通部门调查在高速公路上的平均车速情

19、况，随机抽查了6060 名家庭轿车驾驶员，统计其中有 4040 名男性驾驶员，其中平均车速超过90km/ h的有 3030 人，不超过90km/ h的有 1010 人；在其余 2020 名女性驾驶员中，平均车速超过90km/h的有 5 5 人，不超过90km / h的有 1515 人. .(1 1)完成下面的2 2列联表，并据此判断是否有99.9%的把握认为，家庭轿车平均车速超过90km / h与驾驶员的性别有关；平均车速超过90km / h的人数平均车速不超过90km/h的人数合计男性驾驶员女性驾驶员合计布列和数学期望参考公式：K2n(ad bc)2其中n abed(a b)(e d)(a

20、e)(b d)临界值表:所以Sn故答案为:222 J2-I2Sn2231，两式相减得2n(2).(2).2121 r2本小题主要考查向量线性运算,考查同角三角函数的基本关系式,考查错位相减(2(2)根据这些3 3 辆家庭轿车，记这 3 3 辆车中，驾驶员为女性且平均车速不超过90km/ h的人数为，假定抽取的结果相互独立，求的分4第2121页共 2222 页P( 0)C302764P(1)C32764P(2)C964P K2-k00.0500.0500.0250.0250.0100.0100.0050.0050.0010.001k03.8413.8415.0245.0246.6356.6357

21、.8797.87910.82810.828【答案】（1 1）填表见解析；有99.9%的把握认为，平均车速超过90km/h与性别有关（2 2）详见解析【解析】（1）根据题目所给数据填写2 2列联表，计算出K2的值，由此判断出有99.9%的把握认为，平均车速超过90km/ h与性别有关. .（2 2）利用二项分布的知识计算出分布列和数学期望【详解】（1 1）平均车速超过90km/h的人数平均车速不超过90km/ h的人数合计男性驾驶员303010104040女性驾驶员5 515152020合计353525256060因为K260 (30 15 5 10)240 20 35 2513.71 10.8

22、28，所以有99.9%的把握认为，平均车速超过90km/h与性别有关(2)服从B 3,15，即B 3,16046 16713.71，0第2222页共 2222 页P( 3)所以的分布列如下0 01 12 23 3272791P646464642727913的期望E( )0123 -64646464 4【点睛】本小题主要考查2 2列联表独立性检验，考查二项分布分布列和数学期望，属于中档题 1818.设VABC的内角A, B,C的对边分别为a,b,c，已知2bcosB acosC ccosA. .(1) 求B;(2) 若VABC为锐角三角形，求-的取值范围 a1【答案】(1 1)B (2 2),2

23、32【解析】(1 1)利用正弦定理化简已知条件，由此求得cosB的值，进而求得B的大小. .(2 2)利用正弦定理和两角差的正弦公式，求得c的表达式，进而求得 -的取值范围 aa【详解】(1 1)由题设知，2sin BcosB sin AcosC sinCcosA,即2sin BcosB sin(A C),所以2sin BcosB sin B,1即cosB，又Q 0 B2所以 B B -.-.33cos A si nA2 2(2 2)由题设知，csin Csin 120 Aasin Asin Asin A即c、3 11a2 ta nA264第2323页共 2222 页又VABC为锐角三角形，所

24、以30 A 90，即tan A -13所以o3，即1-112,ta nA2 2 ta nA 2c1所以一的取值范围是,2. .a2【点睛】本小题主要考查利用正弦定理解三角形，考查利用角的范围，求边的比值的取值范围，属于中档题 1919已知六面体ABCDEF如图所示，BE平面ABCD，BE/AFBE/AF ,AD/BC ,BCBC 1 1，(1)求证：直线BF/平面MAC;(2)求二面角A MC D的正弦值. .【解析】(1 1)连接BD，设BD AC O，连接M0 通过证明MO/BF，证得直线BF/平面MAC. .(2)建立空间直角坐标系，利用平面MAC和平面MCD的法向量，计算出二面角A M

25、C D的正弦值 【详解】(1)连接BD,设BD AC O，连接MO,CD 5,AB AFAD2,M是棱FD上的点，且满足FMMD因为AD II BC，所以BOCDOA，所以DOOBADBC在VFBD中，因为MDMFDOOB，【答案】(1 1)证明见解析(2 2)31818第2424页共 2222 页所以MO P BF，且MO平面MAC, 故BF/平面MAC. .(2 2)因为AD/BC,AB 2, BCBC 1 1 ,AD 2,CD 5，所以AB AD,因为BE P AF,BE平面ABCD，所以AF平面ABCD,所以AF AB,AF AD,取AB所在直线为x轴，取AD所在直线为y轴，取AF所在

26、直线为 z z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，D(0,2,0),E(2,0,3),F(0,0,2)12，由已知可得B(2,0,0),C(2,1,0),luur所以DF(0, 2,2),因为型MDujuur 2 uur所以DM DF 3所以点M的坐标为0,-,-3 3iuuuuur所以AC (2,1,0)，AM0,-,-，设m (x,y,z)为平面MAC的法向量,3 3vuuv m0则vmAC0所以m2x y 024，令x 1，解得y 2，z 1，y -z 033(1,2,1)，即m(1, 2,1)为平面MAC的一个法向量1-1-3 3同理可求得平面MCD的一个法向量为n (1,2,2)LT

27、 r 142所以cos m,nV6 313*6第2525页共 2222 页第2626页共 2222 页所以二面角A MC D的正弦值为，31818【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查二面角的求法， 考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题 2020 在直角坐标系xOy中，长为 3 3 的线段的两端点AB分别在x轴、y轴上滑动，点P为线段AB上的点，且满足I AP| 2|PB|. .记点P的轨迹为曲线E. .(1(1)求曲线 E E 的方程;请说明理由. .MN的斜率存在时，设出直线MN的方程，求得0到直线MN的距离d. .联立直线MN的方程和曲线E的方程，写出根与系数关系，结合 揣ON

28、m以及d为定值，求得m的值. .当直线MN的斜率不存在时，验证d,m. .由此得到存在常数m 0,2yf5且定值 d d 3 3 . .5【详解】(1(1)解析：(1 1 )设P(x, y),A x0,0,B 0,y由题可得(2(2)若点 M M、uuuuN为曲线E上uuirONm，判断是否存在常数m使得点0到直线MN的距离为定值？若存在，求出常数的值和这个定值；若不存在,【答案】(1 1)2y42x 1(2 2)存在；常数m 0,定值【解析】(1 1) 设出uuu uuuP, A, B的坐标，利用AP2PB以及AB 3，求得曲线E的方程. .(2(2)当直线第2727页共 2222 页uuu

29、APuuu2PB第2828页共 2222 页又Q|AB| 3，即x0y09 ,2y2消去xo,yo得：x 14(2 2)当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为 y y kxkx b b设M为， ,N X2,y2丄uuuu LULT口由OM ON=m可得：X1X2yiy2m即k25d24m k24k21当直线MN的斜率不存在时，设直线方程为x Xy 2 y。2x，解得yX)3xy。XiX22kbk24x1x2b224k24yiy2kx12b kx2b k x-|X2kb x1x2b2X-|X2yy5b24k24k245b24 k21m k245b2k21k24m4 _k21d为定值时，m 0

30、，此时d2；55且符合由点O到MN的距离为定值可得d-畀(d为常数)即d2b2k21y kx bQy2y21得:k24 x22kbx b24 04k2b24 k2b24第2929页共 2222 页由题可得5n24 m，m 0时，n玉5，经检验，符合条件5综上可知，存在常数m 0，且定值d三55【点睛】本小题主要考查轨迹方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查运算求解能力，考查椭圆中的定值问题，属于难题 2121 已知函数f(x) eaxsinx. .(1) 若 f f (x)(x)在0,二 上单调递增，求实数a的取值范围；6(2) 若 a a 1 1，对x 0,，恒有f(x), bx成立，求

31、实数b的最小值 2【答案】(1 1) ,3,)(2 2)2e至【解析】(1 1)求得fx，根据已知条件得到f(X)0在0,恒成立，由此得到6asinx cosx 0在0,恒成立，利用分离常数法求得a的取值范围. .6(2 2)构造函数设g(x) f (x) bx，利用求二阶导数的方法，结合g x0恒成立,求得b的取值范围，由此求得b的最小值. .【详解】(1 1)f (x)axae sin xeaxcosx eax(asin xcosx)因为 f f (x)(x)在0 -J上单调递增，所以f(x)0在0 -J恒成立，66即asinx cosx0在0,恒成立，6当x0时，上式成立，a Rcosx

32、11当x0,，有a，需a6si nxtanxtanxmax而0 x ,0tanx3,13,1-3，故a3第3030页共 2222 页63tanxtanx第3131页共 2222 页综上，实数a的取值范围是.3,)(2 2)设g(x) f(x) bx exsinx bx,x 0,3，则xg (x) e (sin x cosx) b,令h(x) ex(si nx cosx) b,h (x) ex(2cos x) 0,h(x)在0,-单调递增，也就是所以g (x)1 b,e2b当1 b 0即b 1时，g(x) g(0)0，不符合；当e2b 0即b e2时，g(x) g(0) 0，符合eb 0 b e当1b 0e b即1be?时根据零点存在定理，x0,?使2-e2b 0，得一e2b e2，符合22 2 综上得，b2e2，实数b的最小值为2e2【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线g(x)在单调递增，g X。0,有x 0,x0时，g (x)0，g(x)在o,x单调递减，xx0,i时,g(x) 0，g(x)在x0,2单调递增,g(0)0成立，故只需gi0即可，有2222 .在直角坐标系xOy中，曲线G的参数方程为y si