2020届浙江省高三上学期百校联考数学试题(解析版)

1、【答案】D D第 1 1 页共 2121 页2020 届浙江省高三上学期百校联考数学试题一、单选题1 1 已知集合A二x| y二x2-门,B Xx| -1剟X 2，则A B =()A.A.：X | -1 . X, 2B.B.X | 0剟X 1 /C.C.x|1剟X 2沙-心D.cD.cx|0剟X 2【答案】C C【解析】求函数的定义域求得集合A，再求得其与集合B的交集，由此得出正确选项【详解】由x2_0解得x空1或x _1，故AB |1乞x岂2(-V .故选：C.C.【点睛】本小题主要考查集合交集的概念及运算，考查函数定义域的求法，属于基础题 2 2.已知 i i 是虚数单位，若复数 z z

2、满足z(1+2i) =3 + 4i，贝yz =()A.A.、5B.2B.2C.C.2、5D.3D.3【答案】A A【解析】化简 z z 为a bi的形式，由此求得z，从而得出正确选项 【详解】3 4i 1 -2i 11 -2i 112.”i，故12i 1 -2i 555【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查复数模的概念和运算，属于基础题x 1 03 3 若 x x, y y 满足约束条件y -2, 0，则x y的最大值是()I2xy 2, 0依题意z二，勺1 +2i故选 A.A.故选：B.B.第 2 2 页共 2i2i 页【解析】 画出可行域，向上平移基准直线x y = 0到可行域边界位置

3、，由此求得目标函数的最大值【详解】画出可行域如下图所示，向上平移基准直线x 0到可行域边界B 2,2的位置，由此求得目标函数的最大值为2 2 = 4. .【点睛】本小题主要考查线性规划求目标函数的最值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题4 4. .已知平面：/和直线ii,I2，且a xI2，则“1二2”是“1且ii/俨的（）A.A.充分不必要条件B.B.必要不充分条件C.C.充要条件D.D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】将“f”与“J/且h/相互推导，根据能否推导的情况判断充分、必要条件【详解】当“1厂12”时，Ii可能在G或P内，不能推出“1/0且li/当“i/口且li/时,由于

4、01迁I2，故“f”所以“f”是fi/且li/的必要不充分条件A.-5A.-5B.1B.1C.2C.2D.4D.4第3 3页共 2121 页【点睛】 本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查空间直线、平面的位置关系，属于基础题5 5 若二项式 , ,x x2 2的展开式中各项的系数和为243243,则该展开式中含 x x 项的系数为（）A.1A.1B.5B.5C.10C.10D.20D.20【答案】C C的值，再利用二项式展开式的通项公式，求得含x项的系数. .【详解】对I：x2令x = 1得12n= 3n= 243,解得n = 5. .二项式| Jx亠2展开式的通fi55 3r 1 r r

5、r _=-T5 3项公式为C；x2(2x ) =2rC5x2 2，令一r =1，解得r =1，故展开式22中含 x x 项的系数为21C5=10. .故选：C.C.【点睛】本小题主要考查二项式展开式各项系数之和, 基础题. .6 6 .函数f（x）二xcosx的大致图象为（2令X =1,结合展开式中各项的系数和为X243列方程，由此求得n考查求二项式展开式指定项的系数，属于【解析】对【答案】A A第4 4页共 2121 页【解析】根据函数的奇偶性和函数图像上的特殊点，判断出正确选项第5 5页共 2121 页【详解】函数f x的定义域为R，且f _x =_x8seN = _f x，故函数为奇函数

6、， 图像关于原点对称，故排除 C,DC,D 两个选项 由于f 1 i=cose：: 0,故排除 B B 选项 所以 A A 选项正确 故选：A A【点睛】本小题主要考查函数图像的识别，考查函数的奇偶性，属于基础题 2 27 7已知双曲线C:笃-爲-1(a 0,b .0)，过其右焦点 F F 作渐近线的垂线，垂足为 B B,a b交y y轴于点 c c,交另一条渐近线于点A A,并且满足点 C C 位于 A A, B B 之间. .已知 O O 为原点,且OAa，则旦=()3，|FC|423A.A.- -B.B.C.-C.-534【答案】A A【解析】设出直线AB的方程,联立直线AB方程和渐近线

7、方程,由此求得A,B两点的5坐标，以及求得C点的坐标，根据OA = -a列方程，求得a, b,c的关系,3|FB |由此求得岚|【详解】由于双曲线渐近线为ba厂蔦x，不妨设直线AB的斜率为-,故直线AB的方程为ayx-c. .令x=0,b得C0,弗由ay x -cb解得by xaab， 由a.y x -bIby xLac解得Aa2c_ abc2,2 2a -b,a2-b，由|OA=|a得f 2、a c22a -b丿1一abc亍22252a9，化简得a2-4b24a2-b2= 0,解得或a 2K K-=2.=2.由于C位于A,B之间，故ab 1bas舍去，所以r2，即b=2a. .故第6 6页共

8、 2121 页第7 7页共 2121 页abb2b24a2|FB|yBc4|FC|ycacc2a2b2a24a2-5b故选： A.A.本小题主要考查双曲线的渐近线方程，考查直线和直线相交所得交点坐标的求法，考查双曲线的几何性质，考查运算求解能力，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题 8 8 .已知ABC内接于半径为 2 2 的LO，内角 A A,B B,C C 的角平分线分别与LO相交于ABCAD cos BE cos CF cos=2【答案】CCF cos 2 si nA，sin B，结合已知条件，求得 的值. .F F 三点，若sin A sin B sinC),A.1A.1B.2B.2

9、C.3C.3D.4D.4【解分别求得AAD cos 2=2 sin C sin B、BEBcos 2 si nA sin C、【点第8 8页共 2121 页【详解】第9 9页共 2121 页【点睛】 本小题主要考查正弦定理解三角形，考查三角形内角和定理，考查诱导公式、同角三角 函数的基本关系式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题 9 9.如图，在厶ABC中，AB =1,BC =2三，B =n，将ABC绕边 ABAB 翻转至ABP，4使面ABP_面 ABCABC,D D 是 BCBC 的中点，设 Q Q 是线段 PAPA 上的动点，则当 PCPC 与 DQDQ 所AD连接BD，在三角形AB

10、D中，由正弦定理得sinB，V4，故AD cosA= 4sin B +cos=4sin n2一2 2 2cor I I=4s in + cos -辽2f.BCB .CBCsinBsin cos cos s incos cos一I2222 .222(.2C2C .DJ .2B2Bsincossin B2 isincossinI22I22ADBc iC cos 2 si nA sin C、CF cos 2 si n A sin B，故2 2BAcos BE cos CF cos 4(sin A sin B sin C)，故，-4.2 2 2故选12 2丿sinC第1010页共 2121 页成角取得

11、最小值时，线段 AQAQ 的长度为（【答案】B B取得最大值，也即PC与DQ所成角取得最小值，求出AQ的长度. .【详解】由余弦定理得AP = AC = 8 1 -222= .5，_ _ 1+5-845 -COS BAC0，所以 BACBAC 为钝角 由于平面ABP _平面ABC，2 55且交线为AB，过P作BA的垂线，交BA的延长线于O，连接OC，则PO _平面OBC，所以OP _ OC，根据折叠前后ABC ABP的关系可知 OCOC人OBOB，故OB, OC,OP两两垂直 以O为空间直角坐标原点，OB,OC,OP分别为x, y,z轴建立空间直角坐标系如下图所示，在等腰直角三角形POB和PO

12、C中，OP = OC = OB = 2，OA二AB =1，故P 0,0,2 ,A 1,0,0 ,B 2,0,0 , C 0,2,0, ,D 1,1,0，设T T T TAQ二AP，且Q x, y,z，则x 1,y,z - - ,0,2，所以Q 1 - ，0,2 . .DQ二 - ，-1,2 ，PC二0,2, -2，设直线PC与直线DQ所成角为，令tM，1，则一【解析】建立空间直角坐标系，计算PC,DQA.A.迺，利用夹角公式COS列式，根据cos日， 贝y cos日=2424 1-乙 、521第1111页共 2121 页4,_155t811680t2551第1212页共 2121 页【点睛】本

13、小题主要考查利用空间向量求解空间异面直线所成角最值有关问题，考查空间想象能力，考查运算求解能力，属于中档题 1010.设无穷数列 玄满足印二p(p 0),32=q(q 0),订2、*ant =3an +(n N*),若aj为周期数列，则pq的值为()2I3n十J3 1010，当且仅当t81，即i=-时COST取得1680t5最大值，也即PC与DQ所成角取得最小值 此时厶95 5所以故选 B.B.第1313页共 2121 页1A.A.B.1B.1C.2C.2D.4D.42【答案】C C第1414页共 2121 页【解析】先求得an n-2的表达式，再根据周期确定32- 2 =0，即得pq的值.

14、.【详解】1an 2an 12- 2(an 1an_2)1n 1an ian2-(aia2-2)(：)2因为数列是周期数列，所以存在1n_1n - N亠,3n i3n 2 3i32- 2.a32- 2二(aa2- 2)().aa2- 2二0, pq二2故pq的值为2. .故选 C.C.【点睛】 本小题主要考查周期数列，考查分析与解决问题的能力，考查观察与思考的能力，属于基础题 、填空题的最大值为_ ,【答案】2 13【解析】先根据f -xi亠f x=0求得a的值，然后根据y=x-3在4,：上的单x调性，求得f x的最大值 【详解】由于函数f x为奇函数，故f -X f x =0，即_ x_+_

15、 x_4 4Ian 21i2、_2an +an丿+ *，1111.若函数f(x)二x(X 2)(x-a)为奇函数，则实数a a 的值为_，且当x4时，f(x)f(x)，即(4-2a )x2x 2 -x 2 x a x-a第1515页共 2121 页-x 2-x-a x 2 x-a4 -2a = 0,a = 2 所以f x二r44, r上单调递增，故x-x1 当 X X 一 4 4 时，f x4,注意到y = x -4在x -4xxx13，故当 x_4x_4 时，f x4-4廿，0Txx第1616页共 2121 页的最大值为1. .31故填：(1 1)2; (2 2). .3【点睛】本小题主要考

16、查已知函数的奇偶性求函数解析式，考查函数的单调性和最值的求法， 属于中档题 21212已知随机变量的分布列如下表，若E(3，则a a= =，D(“一匕0 01 12 2P Pa ab b16【答案】-29【解析】 根据分布列概率之和为1以及期望值列方程组，解方程组求得a,b的值，进而求得方差. .【详解】1i，故a ,b. .所以2315故填：(1 1) - ; (2 2)-.29【点睛】求解能力，属于基础题依题意a b6=1D=吒22133.36本小题主要考查分布列中概率的计算,考查分布列的期望和方差的有关计算，考查运算第1717页共 2121 页面积为_cm2. .1313 .已知某几何体

17、的三视图(单位:cmcm)如图所示则该几何体的体积为_ cm3，表第1818页共 2121 页正视團俯视图【答案】1001 2423 4【解析】 画出三视图对应的原图，由此计算出几何体的体积和表面积【详解】画出三视图对应的原图如下图所示几何体ABCD - J - FGHI，也即长方体ABCD - EGHI切掉一个三棱锥J - EFI. .故几何体的体积为1 136 6 33 4 4 =108-8 =100 cm3，表面积为32166 2 632 36 23 4 3 4 4 4 SJF|=124 SJFI，A在:-JFI中JI = IF = 5, JF =4,2，所以SJFI= 4 2.17 =

18、 2 . 34，故表面积为2124 SJFI-124 2 34 cm2. .侧视图故填：（1 1）100；（ 2 2）124 2,34. .第1919页共 2121 页本小题主要考查根据三视图还原为原图，考查几何体体积和表面积的计算，属于基础题. .第2020页共 2121 页2 21414.已知F1、F2分别为椭圆C:笃y2=1(a - b - 0)的左、右焦点，点F2关于直线a by=x对称的点Q在椭圆上，则椭圆的离心率为；若过Fi且斜率为k(k 0)的直线与椭圆相交于 ABAB 两点，且AF|H3RB，则 k k = =【答案】12【解析】根据对称性和中位线判断AQFiF?为等腰直角三角

19、形，根据椭圆的定义求得离心率. .设Ax1, y1,B x2,y2根据AF|= 3F|B得到yi-_3y2，设出直线AB的方程,联立直线AB的方程和椭圆方程，根据根与系数关系列方程，解方程求得k的值. .【详由于点F2关于直线y=x对称的点Q在椭圆上，由于y = x的倾斜角为n, ,画出图像如F图所示，由于0是坐标原点，根据对称性和中位线的知识可知.QF1F2为等腰直角三角形，且Q为短轴的端点，故离心率E =cosn2. .不妨设aElbucut,则椭a 42圆方程化为x2，2y2-2t2=0，设直线AB的方程为x=my-t m 0，代入椭圆方程并化简得m2 2 y2-2mty-12= = 0

20、 0. .设A x1,y1,B x2,y2，则2mt_t2T Ty1y22，y1y22. .由于AF3F1B，故-3y2. .解由m +2m +21组成的方程组得m=1,即1=1,k =1. .故填：(1 1)二2; (2 2)1. .2第2121页共 2121 页【点睛】本小题主要考查椭圆离心率的求法，考查直线和椭圆相交的交点坐标有关计算，考查方程的思想，考查化归与转化的数学思想方法，运算能力要求较强，属于中档题1515 某学校要安排 2 2 名高二的同学，2 2 名高一的同学和1名初三的同学去参加电视节目变形记，有五个乡村小镇 A A、B B、C C、D D , E E （每名同学选择一个

21、小镇）由于某种原因高二的同学不去小镇 A A,高一的同学不去小镇 B B,初三的同学不去小镇 D D 和 E E,则共 有 种不同的安排方法（用数字作）【答案】32【解析】按照初三学生去代B,C三个小镇分成3类，用分步计数原理计算出每一类的 方法数，然后相加，得到总的方法数【详解】如果初三学生去A，则高二学生选1人去B，另外三人去C, D,E，故方法数有13C2A -12种；如果初三学生去B，则高一学生选1人去A，另外三人去C, D,E，故方法数有C2A3-12种；如果初三学生去C，则高二学生选1人去B，高一学生选1人去A，另外两人去D, E, 故方法数有C2C；A；=8种. .故总的方法数有

22、1212 32种 故填：32. .第2222页共 2121 页【点睛】第2323页共 2121 页本小题主要考查分类加法计算原理，考查分步乘法计数原理， 考查排列数和组合数的计算，属于基础题. .此求得最终的取值范围【详解】故填：6,2. .IL5【点睛】本小题主要考查平面向量数量积的运算，考查平面向量模的运算，考查绝对值不等式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题2 21717在平面直角坐标系 xOyxOy 中，已知圆M :(x-a)2 (y a-3)2=4(aR). .过原点的动直线 I I 与圆 M M 交于 A A,B B 两点若以线段 ABAB 为直径的圆与以 M M 为圆心 M

23、0M0 为半径 的始终无公共点，则实数 a a 的取值范围是_. .(3 -祈)3+V7【答案】j j 亠,- |U|U严I2八2丿【解析】先求得圆M的圆心和半径 根据两个圆内含的条件列不等式，解不等式求得a的取值范围 【详解】1616 .已知向量a, b满足2幣=卩+3百=2，贝y a b的取值范围是6-5-6-5-Tb3 3+ +Ta由a 2b = a +3b=2=2得a2_4a b 4b2= 4a2+6a b 9b2=4=-2a b日= 4-db2，5b=2b a +/ +312b a a +3b二;rb2根据化简的结果化简所求，化简得=4，故0兰而5斗4由于0兰b兰一，故5第2424页

24、共 2121 页圆M的圆心为M a，3-a，半径帀=2.=2.设以线段AB为直径的圆的圆心为C,要使以线段AB为直径的圆与以M为圆心M0为半径的始终无公共点”，则两圆内含. .即第2525页共 2121 页MC| c OM CA，即MC|+J4_|MCOM恒成立，即(|MC| + $4|MC)OM，由基本不等式有max三、解答题1818 .已知函数f(x)=sin 2. 3 cos2- ,32（i）求f（ n的值;MC| +22MC| +4|MC|2=2，故MC|+j4MC |2兰2运,所以22 0，解得想方法，考查化归与转化的数学思想方法,考查恒成立问题的求解策略，属于中档题22a二本小题主

25、要考查直线和圆的位置关系,考查圆和圆的位置关系， 考查数形结合的数学思第2626页共 2121 页(2(2)求函数y=|f(x)的单调递增区间. .n 5n【答案】(1 1) 、3； (2 2)kn,kn,k Z._36【解析】(1 1)利用降次公式和辅助角公式化简f x， 由此求得fn的值. .(2 2)根据绝对值符号对三角函数单调性的影响列不等式，解不等式求得间 【详解】 解：(1 1)化简得心沁“込“中勺所以f(“牛忑in(2(2)由于y =2 sin x-l3 J【点睛】本小题主要考查三角函数降次公式和辅助角公式，考查三角函数单调区间的求法，考查特殊角的三角函数值，属于基础题 . .佃

26、.如图，在底面为菱形的四棱锥P-ABCDP-ABCD 中，平面PAD_平面 ABCDABCD ,PAD为2n等腰直角三角形，ZAPD，/BAD =，点 E E,F F 分别为 BCBC,PDPD 的中点，直23线 PCPC 与平面 AEFAEF 交于点 Q.Q.(1) 若平面PAB平面PCD二I，求证：ABL I. .(2) 求直线 AQAQ 与平面 PCDPCD 所成角的正弦值. .【答案】(1 1)证明见解析；(2 2)整6277【解析】(1 1)根据线面平行的判定定理证得AB/平面PCD，然后根据线面平行的性质定理证得AB/l. . (2 2)先根据 代E,Q,F四点共面，结合向量的线性

27、运算，求得y= f (x)的单调递增区nkn,k Z,2解得函数y = |f(x)的单调递增区间为knknIL3第2727页共 2121 页um 2 uunPQPC，也即求得Q位置 建立空间直角坐标系，利用直线AQ的方向向量和平面3第2828页共 2121 页PCD的法向量，求得线面角的正弦值【详解】(1(1)证明：因为AB/ CD,AB二平面 PCPC ,CD平面 PCDPCD , 所以AB/平面 PCD.PCD.又因为ABi平面 PABPAB,平面PAB平面PCD = I，所以AB= I. .(2 2)解：连接 PE.PE.uuu uuu uur uuu 1 urn因为AE =AC CE

28、=AC DA,2uur uir uuu uir 1 uir uuu所以PE - PA二PC -PA (PA - PD),2uir uuu uur uuu则PA = PD 2PE -2PCuuuuuuuir uuu uir uuu设PC=?；PQ，贝V PA=2PF 2PE -2 PQ. .因为 A A,E E,Q Q,F F 四点共面，3uuu 2 uui所以2 2-2K，解得，则PQ PC. .23取 ADAD 的中点 O O,连接 OCOC,OPOP,由题意可得 OCOC,ODOD,OPOP 两两垂直 如图，建立空间直角坐标系,设OD =1，则P(o,o,i),c(73,0,0),uuu

29、L所以PC =( .3,0, -1),本小题主要考查线面平行的判定定理和性质定理的运用，考查空间向量法求线面角的正D(0,1,0), A(0,A(0, -1,0).-1,0).PD =(0,1,-1). .uuu uui 2 uuu所以AQ二AP PC 3uuu r匕广小-aAQ n所以sin廿=-u-uur-3 - 46277设平面 PCDPCD 的一个法向量为；= =(x,y,z)(x,y,z),【点第2929页共 2121 页弦值，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题2020 已知各项为正数的数列 也门，其前 n n 项和为Sn,2 2S =2an1，且ai=1. .(1)求数列的

30、通项公式；(2) 若bn= 3na；，求数列 E 的前n项和Tn. .【答案】/八(n2n +W3n+-3(1)an二n. . ( 2 2)Tn:【解析】S, n =1t 1ty(1)利用an,证得数列nf是等差数列，由此求得an/的1昌-5n-2通项公式. .(2 2)利用错位相减求和法求得数列：bn/的前n项和Tn. .【详解】I22解: (1 1)由2渥ST =2an+1平方，得8Sn=(2an+1 ),所以8S佔=(2an*+1)，将以上两式相减,可得8an+ = (2an+1$(2an+1!2, 2 2则2an 1- i2an 10,所以2an 1 2an2an 1- 2an- 2

31、= 0,所以anan1，故 曲是首项为1,公差为1的等差数列，从而可得数列 订奁的通 项公式为a*二n. .(2 2)由题意可得bn =3na：二n23n,则Tn-1 32232Ln23n,3Tn-1 322233L(n -1)23nn23n 1,将以上两式相减，可得-2Tn =1 3 3 32L (2n-1) 3n- n23n1. .设Qn =1 33 32L(2n -1) 3n,则3Qn=1 323 33L (2n -3) 3n(2n -1) 3n 1,将以上两式相减，可得-2Qn=1 3 2 32L 2 3n-(2n-1) 3n d由此可得Q”= (n -1)X3+3，则=(宀+异+-3

32、.【点睛】6第3030页共 2121 页本小题主要考查利用递推关系式求数列的通项公式，考查错位相减求和法， 考查运算求解能力，属于中档题 2121.如图，过抛物线C:y = x2上的一点A 1,1作抛物线的切线，分别交 x x 轴于点 D D 交 y y 轴于点 B B,点 Q Q 在抛物线上，点 E E,F F 分别在线段 AQAQ,BQBQ 上，且满足-是Q,BF=匸Q，线段 QDQD 与EF交于点 P.P.1(1)(1) 当点 P P 在抛物线 C C 上，且 入二口二一时，求直线EF的方程;2(2)(2) 当J= 1时，求SAPAB: SAQAB的值. .【答案】(1)y=2x-43或

33、y=2x-4-. . (2 2)1:3. .6 6【解析】(1 1)先求得切线AB的方程，由此求得B, D两点的坐标，确定D是AB的中点 根据三角形重心坐标公式列式，求得P点的坐标，再根据点斜式求得EF的方程 (2 2)SAQEF利用一列方程，证得P是QAB的重心，由此求得SAPAB: SAQAB的值. .SAQAB【详解】解：(1 1)过抛物线上点 A A 的切线斜率为y =2xX=2，切线 ABAB 的方程为y = 2x 1,(1 )则 B B,D D 的坐标分别为(0, -1),0，故 D D 是线段 ABAB 的中点. .12丿Q_ _设P(x,y),Q xo,xo,E N，%,F X22,显然 P P 是厶ABQ的重心. .6第3131页共 2121 页因为EF/AB，所以kEF= 2,由重心坐标公式得Q +1 x0_v3 , 3xo =1、32，故P八3诬L p7住6丿J 66第3232页共 2121 页所以直线 EFEF 的方程为y=2x_43或y=2x_436 6(2(2)由解(1 1)知，ABAB 的方程为y=2x1,B(0,_1),Di1,。, D D 是线段 ABAB 的12丿中占I八、因为 QDQDABC的中线，所以SAOAB=2SAOAD=2SAG