8-4空间中的垂直关系

1、 8-4空间中的垂直关系一、选择题1平面垂直于平面(、为不重合的平面)成立的一个充分条件是()A存在一条直线l，l，lB存在一个平面，C存在一个平面，D存在一条直线l，l，l分析本题主要考查立体几何及简易逻辑的有关知识由充分条件的含义可知本题就是要从四个选项中寻求使平面平面成立的一个条件答案D解析对于选项A，l，l；对于选项B，；对于选项C，当，成立时，平面，的关系是不确定的；对于选项D，当l，l成立时，说明在内必存在一条直线m，满足m，从而有成立2(2011·浙江理，4)下列命题中错误的是()A如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面B如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存

2、在直线垂直于平面C如果平面平面，平面平面，l，那么l平面D如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面答案D解析本题主要考查空间中的线面、面面关系等基础知识对于A、内存在直线平行于与的交线，故内必存在直线平行于，正确；对于B，由于不垂直于，内一定不存在直线垂直于，否则，正确；对于C，由平面与平面垂直的性质知正确，故D不正确，选D.3(文)(教材改编题)“直线与平面内无数条直线垂直”是“直线与平面垂直的”()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分又不必要条件答案B解析由直线与平面垂直的定义知，为必要不充分条件(理)设平面，l，直线a，直线b，且a不与l垂直，b不与l垂直，则a与

3、b()A可能垂直，不可能平行B可能平行，不可能垂直C可能垂直，也可能平行D不可能垂直，也不可能平行答案B解析当al，bl时，ab.假设ab，如下图，过a上一点作cl，则c.bc.又ba，b，bl，与已知矛盾4在正四面体PABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论中不成立的是()ABC平面PDFBDF平面PAEC平面PDF平面ABCD平面PAE平面ABC答案C解析D、F分别为AB、CA中点，DFBC.BC面PDF，故A正确又PABC为正四面体，P在底面ABC内的射影O在AE上PO面ABC.PODF.又E为BC中点，AEBC，AEDF.又POAEO，DF面PAE，故B正确又PO

4、面PAE，PO面ABC，面PAE面ABC，故D正确四个结论中不成立的是C.5定点A和B都在平面内，定点P，PB，C是内异于A和B的动点，且PCAC.那么，动点C在平面内的轨迹是()A一条线段，但要去掉两个点B一个圆，但要去掉两个点C一个椭圆，但要去掉两个点D半圆，但要去掉两个点答案B解析连接BC，PB，ACPB.又PCAC，ACBC.C在以AB为直径的圆上除去A、B两点故选B.6(2012·北京海淀区期末)已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面下列命题中不正确的是()A若m，n，则mnB若mn，m，则nC若m，m，则D若m，m，则答案A解析选项A中，直线m与直线n也可能异面，因

5、此A不正确二、填空题7设x，y，z是空间不同的直线或平面，对于下列四种情形，使“xz且yzxy”为真命题的是_(只填序号)x，y，z均为直线；x，y是直线，z是平面；z是直线，x，y是平面；x，y，z均为平面答案解析中，x与y的位置关系可以为相交、平行或异面，故为假命题；由线面垂直的性质定理知，为真命题；中，x，y也可相交8在ABC中，ACB90°，AB8，ABC60°，PC平面ABC，PC4，M是AB上一个动点，则PM的最小值为_答案2解析如下图，PC平面ABC，MC面ABC，PCMC.故PM.又MC的最小值为2，PM的最小值为2.三、解答题9(文)(2011·

6、陕西文，16)如下图，在ABC中，ABC45°，BAC90°，AD是BC上的高，沿AD把ABD折起，使BDC90°.(1)证明：平面ADB平面BDC；(2)若BD1，求三棱锥DABC的表面积解析(1)折起前AD是BC边上的高当ABD折起后，ADDC，ADDB，又DBDCD，AD平面BDC，AD平面ABD，平面ABD平面BDC.(2)由(1)知，DADB，DBDC，DCDA，DBDADC1，ABBCCA，从而SDABSDBCSDCA×1×1，SABC×××sin60°，三棱锥DABC的表面积S×3

7、.(理)(2011·全国大纲卷理，19)如下图，四棱锥SABCD中，ABCD，BCCD，侧面SAB为等边三角形，ABBC2，CDSD1.(1)证明：SD平面SAB；(2)求AB与平面SBC所成的角的大小解析解法一：(1)取AB中点E，连接DE，则四边形BCDE为矩形，DECB2，连接SE，则SEAB，SE，又SD1，故ED2SE2SD2，所以DSE为直角即SDSE.由ABDE，ABSE，DESEE，得AB平面SDE，所以ABSD.SD与两条相交直线AB、SE都垂直所以SD平面SAB.(2)由AB平面SDE知，平面ABCD平面SDE.作SFDE，垂足为F，则SF平面ABCD，SF.作F

8、GBC，垂足为G，则FGDC1，连接SG，则SGBC.又BCFG，SGFGG，故BC平面SFG，平面SBC平面SFG.作FHSG，H为垂足，则FH平面SBC.FH，即F到平面SBC的距离为.由于EDBC，所以ED平面SBC，E到平面SBC的距离d也为.设AB与平面SBC所成的角为，则sin，arcsin.解法二：以C为坐标原点，射线CD为x轴正半轴，建立如下图所示的空间直角坐标系Cxyz.设D(1,0,0)，则A(2,2,0)、B(0,2,0)又设S(x，y，z)，则x>0，y>0，z>0.(1)(x2，y2，z)，(x，y2，z)，(x1，y，z)，由|得，故x1.由|1得

9、y2z21，又由|2得x2(y2)2z24，即y2z24y10，故y，z.于是S(1，)，(1，)，(1，)，(0，)，·0，·0.故DSAS，DSBS，又ASBSS，所以SD平面SAB.(2)设平面SBC的法向量a(m，n，p)，则a，a，a·0，a·0，又(1，)，(0,2,0)，故取p2得a(，0,2)，又(2,0,0)，cos，a.故AB与平面SBC所成的角为arcsin.一、选择题1如下图(1)所示，在正方形SG1G2G3中，E、F分别是边G1G2，G2G3的中点，D是EF中点，现沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个几何体(如下图(2)所示)

10、，使G1、G2、G3三点重合于点G，这样，下面结论成立的是()ASG平面EFGBSD平面EFGCGF平面SEF DGD平面SEF答案A解析(1)直接法在图(1)中，SG1G1E，SG3G3F，在图(2)中，SGGE，SGGF，SG平面EFG.(2)(排除法)GF即G3F不垂直于SF，可以否定C；GSD中，GSa(正方形边长)，GDa，SDa，SG2SD2GD2，SDG90°，从而否定B和D.2(文)a、b为不重合的直线，为不重合的平面，给出下列4个命题：a且abb；a且abb；a且abb；a且a.其中正确命题的个数为()A0 B1 C2 D3答案A解析b或b；b或b；a或a.(理)棱

11、长都为2的直平行六面体ABCDA1B1C1D1中，BAD60°，则对角线A1C与侧面DCC1D1所成角的正弦值为()A.B.C.D.答案C解析过点A1作直线A1MD1C1，交C1D1延长线于点M，可得A1M平面DD1C1C，A1CM就是直线A1C与面DD1C1C所成的角由于所有棱长均为2，及A1D1C1120°，得A1MA1D1sin60°，又A1C4，sinA1CM，故应选C.二、填空题3已知P是ABC所在平面外一点，O是点P在平面内的射影(1)若P到ABC的三个顶点的距离相等，则O是ABC的_(2)若平面PAB、PBC、PCA与平面所成的角相等，且O在ABC的

12、内部，则O是ABC的_(3)若PA、PB、PC两两垂直，则O是ABC的_答案(1)外心(2)内心(3)垂心4如下图所示，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足_时，平面MBD平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)答案DMPC(或BMPC)解析由定理知，BDPC.当DMPC(或BMPC)时，即有PC平面MBD，而PC平面PCD，平面MBD平面PCD.三、解答题5(文)(2011·新课标文，18)如下图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，DAB60°，AB2AD，PD底面ABCD.(1)证明：PABD；(

13、2)设PDAD1，求棱锥DPBC的高解析(1)证明：因为DAB60°，AB2AD，由余弦定理得BDAD.从而BD2AD2AB2，故BDAD.又PD底面ABCD，可得BDPD.所以BD平面PAD.又PA平面PAD，故PABD.(2)如下图，作DEPB，垂足为E，已知PD底面ABCD，则PDBC.由(1)知BDAD，又BCAD，所以BCBD.故BC平面PBD，BCDE.则DE平面PBC.由题设知PD1，则BD，PB2.根据DE·PBPD·BD，得DE.即棱锥DPBC的高为.(理)(2011·湖北文，18)如下图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2，

14、侧棱长为3，点E在侧棱AA1上，点F在侧棱BB1上，且AE2，BF.(1)求证：CFC1E；(2)求二面角ECFC1的大小解析解法一：(1)由已知可得CC13，CEC1F2，EF2AB2(AEBF)2，EFC1E，于是有EF2C1E2C1F2，CE2C1E2CC，所以C1EEF，C1ECE.又EFCEE，所以C1E平面CEF.又CF平面CEF，故CFC1E.(2)在CEF中，由(1)可得EFCF，CE2，于是有EF2CF2CE2，所以CFEF，又由(1)知CFC1E，且EFC1EE，所以CF平面C1EF.又C1F平面C1EF，故CFC1F.于是EFC1即为二面角ECFC1的平面角，由(1)知C

15、1EF是等腰直角三角形，所以EFC145°，即所求二面角ECFC1的大小为45°.解法二：建立如上图所示的空间直角坐标系，则由已知可得A(0,0,0)，B(，1,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,3)，E(0,0,2)，F(，1，)(1)(0，2，)，(，1，)，·0220，CFC1E.(2)(0，2,2)，设平面CEF的一个法向量为m(x，y，z)，由m，m，得即可取m(0，1)设侧面BC1的一个法向量为n，由n，n，及(，1,0)，(0,0,3)，可取n(1，0)设二面角FCFG的大小为，由于为锐角，所以cos，所以45°，即所求的二面角的大小为

16、45°.6.如下图，在四棱锥SABCD中，侧棱SASBSCSD，底面ABCD是菱形，AC与BD交于O点(1)求证：AC平面SBD；(2)若E为BC的中点，点P在侧面SCD内及其边界上运动，并保持PEAC，试写出动点P的轨迹，并证明你的结论分析本题考查了线线垂直和线面垂直关系的判定方法，旨在对推理论证能力、空间想象力和探究能力的考查第(1)问要证线面垂直，根据线面垂直的判定定理，只要证明直线和平面内两条相交直线垂直即可；第(2)问要探究保持线线垂直的动点的轨迹，只要找出与AC垂直且过E点的平面即可得到动点P的轨迹解析(1)底面ABCD是菱形，O为中心ACBD，又SASC，ACSO，而S

17、OBDO，AC平面SBD.(2)取棱SC的中点M，CD的中点N，连接MN，则动点P的轨迹即是线段MN.证明如下：连接EM、EN，E是BC的中点，M是SC的中点，EMSB，同理ENBD，AC平面SBD，ACSB，ACEM.同理ACEN，又EMENE，AC平面EMN，因此，当P点在线段MN上运动时，总有ACPE，P点不在线段MN上时，不可能有ACPE.点评由于考试说明中对立体几何部分整体要求的下降，故高考对立体几何考查的难度不会太高但在空间位置关系的证明上，还是会一如既往地重点考查，并且在方式上会寻求突破和创新，变传统证明为判断型、探究型问题，增加了难度，体现了能力立意，复习中需引起足够重视7如下图1，等腰梯形ABCD中，ADBC，ABAD，ABC60°，E是BC的中点将ABE沿AE折起后如下下图2，使平面ABE平面ADCE，设F是CD的中点，P是棱BC的中点(1)求证：AEBD；(2)求证：平面PEF平面AECD；(3)判断DE能否垂直于平面ABC，并说明理由解析：(1)证明：设AE中点为M，在等腰梯形ABCD中，ADBC，ABAD，ABC60