2019届湖南省长郡中学高三下学期第一次模拟考试数学(理)试题(解析版)

1、第1 1页共 1919 页2019 届湖南省长郡中学高三下学期第一次模拟考试数学(理)试题一、单选题1 1 .已知集合北=1 1 沐J：，三：1 1 片：- - - ? ? -:必同解,又bjbj 都不为 0 0（= = 1,21,2）,所以知書所以“”是关于的不等式与同解”的必要不充分条件故选：B.B.【点睛】本题考查了充分必要条件的判断，判断一个命题为假只需举一个反例即可5 5 .某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（4m25n25tiA A .4m第3 3页共 1919 页A.切亠1?店B.姿亠1沙C. 30 +百石D . 28 + 65【答案】C C【解析】通过三视图复原的几何

2、体的形状，利用三视图的数据求出各棱长，从而求出各面的面积，相加即可 【详解】解：三视图复原的几何体是底面为直角边长为4 4 和 5 5 的直角三角形，一个侧面垂直底面的等腰三角形，高为4 4，底边长为 5 5,如图所以： ： .- I ；：，.：.-： I ：!，V-:-I ：左边侧面为等腰三角形，底边为.，高为所以nA三棱锥的表面积g 飞沽-vQ 汁【点睛】本题考查了三视图与几何体的关系，空间几何体表面积的求法，考查了空间想象能力与计算能力 6 6 .阅读如图所示的程序框图，若输入的，则该算法的功能是（）第4 4页共 1919 页A A 计算数列的前 1010 项和B B.计算数列的前 9

3、9 项和C C 计算数列的前 1010 项和D D 计算数列的前 9 9 项和【答案】A A【解析】从赋值开始，逐步分析写出程序运行的每一步，便可得到程序框图表示的算法的功能 【详解】解：开始赋值：，；执行7十：-，；判断 不成立，执行.丨二.丨二；判断 |不成立，执行:I I1 1 I I1 1 = = 4 4判断| 不成立，执行，=；判断 成立，输出F.十十- - :?.算法结束所以该算法的功能是计算数列的前 1010 项和故选：A.A.【点睛】本题考查了程序框图中的循环结构，循环次数较多时，一般写出前几次循环找出规律. .7 7 .如图是函数f(x)=Asi n( 2x+)兰二|图像的一

4、部分，对不同的x1,x2a,b，第5 5页共 1919 页 2丿若f Xi= f X2，有f N X2= 3，则正确的是()第6 6页共 1919 页【答案】C【解析】试题分析：根据题意可知A =2,2a 2b = :,从而有a2结合题中条件，可知为 x2=a b =2f (x1x22sin2() = 2sin(点F )=sin二,3结合的范围，求得2_ nn所以f(x) =2sin(2 x)，结合函数的性质，可知C是正确的，故选C.33【考点】根据图像求函数解析式，正弦函数的性质.X2Y28 8.如图所示，直线为双曲线：/-；二的一条渐近线， 是双曲线 的左、右焦点，关于直线 的对称点为 ，

5、且 是以 为圆心，以半焦距 为半径的圆上C C. 2 2 D D. 3 3【答案】比三宣，又点在圆(x-uF十上，儿(牛一J+(_ =A A f%在一寻匸上是c c f X在春上是增函数B B.f X在，5上是减函数G 6丿D D.f X在，5上是增函数3 6【解设焦点关于渐近线T =的对称点为，则cy第7 7页共 1919 页=- ，-，故选C.9 9.已知定义在上的偶函数b = fC円)，買k I 1巒2),则 Jb,的大小关系是()【答案】A A【解析】 先由偶函数求出，然后分析出函数在 上单调递增，判断出以/ - L !且都属于|，然后可比较大小. .【详解】解：由定义在上的偶函数 i

6、!.li!.，可得和=寺；即，解得所以 IIII ? ?；. . ：当1|时，-单调递增，:单调递减，所以在上单调递增因为 ，、丿匚：.：.,L L1 11八1所以:七、L 斗暑，且都属于.所以W ：i i即卩.故选：A.A.【点睛】本题考查了函数单调性与奇偶性的综合运用，考查了学生分析解决问题的能力，属于中档题 1010 已知从 1 1 开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为1 1，第二行为 3 3, 5 5,第三行为 7 7, 9 9, 1111,第四行为 1313, 1515, 1717, 1919，如图所示，在宝塔形数表中位于第 行, 第列的数记为 ，比如，:y-扛，若:沈 n

7、，贝 U U( )I35110713 15 17 N292725 23 21* a e a a A A 7272B B. 7171C C 6666D D 6565【答案】B B【解析】 先分析出奇数 20192019 为第 10101010 个奇数，按照蛇形排列，第1 1 行到第 行末共有i(l I- i)个奇数，试值可以分析出第10101010 个奇数位于第 4545 行，从右到左第2020 列，从而得出答案. .- (其中为自然对数的底数)，记第8 8页共 1919 页【详解】解：奇数 20192019 为第 10101010 个奇数,_. _ . + + ,i(l I i)按照蛇形排列，

8、第 1 1 行到第 行末共有个奇数，/XJ/则第 1 1 行到第 4444 行末共有 990990 个奇数,第1行到第45行末共有1035个奇数，则2019位于第45行；而第45行是从右到左依次递增，且共有45个奇数；故2019位于第45行，从右到左第20列，贝叭=| -故选B.【点睛】本题考查了等差数列的前n项和，数与式中的归纳推理，属于中等题.1111.已知函数丄=3 二一二，l-若存在.，使得关于 的方程抚W V =迖有解，其中为自然对数的底数则实数的取值范围是（）A A.+）B.（-oo,0）C C .D D.（ 0“Up）【答案】D【解析】 分析：由题得II、l J:,令i I Tr

9、. rfc利用导数性质能求出实数的取值范围.详解：由2aJu（x） v（x）=羞，得x + aC2x + 2m-4ex） ln（x十m）-rDd =0,得JJ一d d i i : :即一】_ _ I I 八 J J 小令则咼：、I：，I / -1H：显然 是函数 的唯一零点，易得.二一 /=：，.，即1 E（-却）U苗 +J.故选D.点睛：本题考查实数的取值范围的求法解题时要认真审题，注意导数性质、构造法的合理运用.，属中档题，二、填空题1212 .已知 为抛物线：宀-让的焦点， 为其准线与 轴的交点，过 的直线交抛物线于 两点，第9 9页共 1919 页为线段.的中点，且丄二，则沁=（）A

10、A . 6 6B B.C C. 8 8D D . 9 9【答案】A【解析】设直线，联立抛物线方程得韦达定理， 求出点坐标，由.-列方程解出，然后可求出 L L丄【详解】解：根据题意可知直线的斜率是存在的，抛物线的焦点坐标是，设直线、一 .:将直线与抛物线方程联立：.，化简得 a !:. I I：1 1zo2k-4得 X 一根据、丨 ，得:.丨 J JI I解得.，所以丨 V V 丨-： 二 .-:-二 | 二故选 A.A.【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，抛物线焦点弦的性质，属于中档题1313 已知向量，向量恥的夹角是?，耳，=2 2, ,则血等于_. .【答案】2 2_ _0 0 二

11、兰【解析】试题分析：由题意，得，:，向量 a,ca,c 的夹角-,则由； = = ,得菲总二则;故填 2 2 【考点】1 1 平面向量的数量积；2.2.平面向量的模.x0,x0,y y 0T1414.设耳丫满足约束条件 x-yx-y -L-L ,则-即的最小值为x-yx-y 3,0,x0,V0 0解：先画出约束条件所代表的平面区域，如图中阴影x x + + y3y3：然后画出目标函数如图中过原点虚线所示第1111页共 1919 页平移目标函数，在点.处取得最小值由.，解得所以目标函数最小值为1 - - =故答案为：i .曲线y =x2所围成的封闭区域面积为32【答案】323n的展开式中各项的系

12、数之和为81813n=81x-的展开式的通项公式为：Tr厂C4r2rx42,I X丿令4 - 2r = 0,解得r =2,展开式中常数项为a二C4222二24;二直线y =4x与曲线y =x2围成的封闭区域面积为:42213432S)dx心 - W 盲故答案为:323 【点睛】本题考查了简单线性规划问题，平移目标函数时由目标函数故向上移越移越小. .中前系数小于 0 0，1515 .若x -I x的展开式中各项的系数之和为8181,且常数项为a，则直线yax与【解析】试题分析：x2I x丿第1212页共 1919 页【考点】二项式定理，定积分1616 .已知点几、二二均在表面积为、.的球面上，

13、其中I I 平面ABCABC，厶BAC = 3八AC= 駄応，则三棱锥 P-ARCP-ARC 的体积的最大值为 _ .【答案】【解析】分析：先求出球的半径，再求出三棱锥.I.I：的体积的表达式，最后求函数的最大值. .详解：设球的半径为 R,R,所以=小：.工 匸设 AB=x,AB=x,则 、：.、,由余弦定理得 K-K- ：-： ；. . - - ：设底面 ABCABC 的外接圆的半径为 r,r,则-所以 PA=.所以三棱锥丨.川：的体积0a=b=c0 时取等.(3).(3)函数的思想是高中数学的重要思想，一般是先求出函数的 表达式，再求函数的定义域，再求函数的最值 三、解答题1717在VA

14、BC中，三边a,b,c所对应的角分别是 A,B,CA,B,C . .已知a,b,c成等比数列. .(1)若丄 - 乙3，求角B的值；tanA tanC 3(2)若VABC外接圆的面积为4二，求VABC面积的取值范围. .【答案】(1 1) - ; (2 2) 0303、3 3 . .【解析】(1 1)化简二-乙色，可得SinA C =-3，由a,b,c成等比数tanA tanC 3si nAsi nC3列，用正弦定理进行边角转化为sin2B二sinAsinC，又sin A C二sinB，可解出第1313页共 1919 页bsinB,从而求出角B； (2 2)由VABC外接圆的面积可求出外接圆半

15、径，且2R,si nB1i i二cosB，当且仅当a = c时取等号，又/ B为VABC的内角，二0：B _ ,23K由正弦定理2R，得 b=4sinB. .si nB1 12 3二VABC的面积SABCacsinBb2sinB =8sin3B2 2 Tt 0 B -3【点睛】本题考查了三角函数式的化简，正余弦定理在解三角形中的应用，三角形面积的最值问题，属于中档题 1818如图 1 1,直角梯形中，中，分别为边和 上的点，且m：-.将四边形沿.折起成如图 2 2 的位置，ADAD = = ARAR得 b =4sinB,SABC-1acsinB =8sin3B,再由余弦定理可求出2cosB的范

16、围，得B的范围，从而求出SAABC的范围. .【详解：(1 1)1 1-+-tanA tanCcosA cosCsin A C2 -3si nA si nCsin Asi nC3又a,b,c成等比数列，得b2=ac，由正弦定理有sin2B =sinAsinC, A C -二- B，二sin A C二sinB，得到IB，即sin B3,sin2B 32由b2= ac知，b不是最大边，二B. .3(2 2) /VABC外接圆的面积为4二，二VABC的外接圆的半径R= = 2 2 ,由余弦定理2 2 2b a c - 2accosB,得cosBa2c2b22ac又b2二ac，SA ABC03.3 第

17、1414页共 1919 页mi朋(1)求证：J?J?平面J ；(2)求平面I I 与平面 I I所成锐角的余弦值. .【答案】(1 1)见解析；(2 2)仁【解析】 试题分析：(1)取 DEDE 中点 G G,连接 FG,AGFG,AG ,，_平面，只需证平 面 AFGAFG /平面 CBDCBD，又FGz平面AFG，JG 二平面丄一,故只需证/平面CBDCBD ,_/ 平面 CBDCBD 即可；(2 2)要求平面与平面 .所成锐角的余弦值，需找两平面的法向量，取 .中点为H H，连接 DHDH，可证 二十匚,故以.中点 H H 为原点，.为 轴建立如图所- BC 0*示的空间直角坐标系，易知

18、瓯是平面 QEQE 的一个法向量，由BD = Q可得平面 BCDBCD 的一个法向量为，然后由空间两向量夹角公式去求平面u与平面 LL-LL-所成锐角的余弦值。试题解析：(1 1)证明：取 DEDE 中点 G G,连接 FG,AGFG,AG, CG.CG.因为 CFCF _ _ DG,DG,所以 FGFG / CD.CD. 因为 CGCG AB,AB, ,所以 AGAG / BC.BC.所以平面 AFGAFG /平面 CBDCBD , 所以 AFAF /平面 CBD.CBD.(2 2)解：取.中点为 H H，连接 DH.DH.丄二上匸亠-工， 二-,_一一工，干三丄_ .以.中点 H H 为原

19、点，.为 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则化二，,u所以的中点坐标为込亍因为二二二，所以-易知 是平面的一个法向量，：.叮JJ-设平面 LULU 的一个法向量为7 亠 1第1515页共 1919 页一 *3733 n2BC =（x xh hy yz z）- -纭,亍）=+ + yzyz = = 0 0由 而=- - （1212 诟）hxhx 十却 + y/3zy/3z = = 0 0令；=.则；=、，：-：，: - ./.z.I- */ / t t m m m m 2 2 0+2*0+2* * Q Q 运, ,ImlHImlH八計?所以面与面 LlLl所成角的余弦值为. .【考点】（1 1）

20、空间线面平行、面面平行、线面垂直判定定理的应用；（2 2）空间两平面夹角的定义、平面法向量的定义的应用；（3 3）空间向量的基本运算。佃为了迎接 20192019 年全国文明城市评比，某市文明办对市民进行了一次文明创建知识的网络问卷调查 每一位市民有且仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参加问卷调查的 10001000 人的得分（满分：100100 分）数据，统计结果如下表所示：组别30.40)40T50)50,60)60.70)70.80)80.90)I90J00频数25251501502002002502502252251001005050（1 1） 由频数分布表可以认为，此次问卷调查的得

21、分服从正态分布 L L 一上 I I ,近似为 这 1001000 0人得分的平均值（同一组数据用该组区间的中点值作为代表） ，请利用正态分布 的知识求 m mU（2 2）在（1 1）的条件下，文明办为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：（i i） 得分不低于.的可以获赠 2 2 次随机话费，得分低于的可以获赠 1 1 次随机话费；（iiii） 每次获赠的随机话费和对应的概率为：获赠的随机话费（单位：元）20204040概率现市民小王要参加此次问卷调查，记(单位：元)为该市民参加问卷调查获赠的话费，求.的分布列及数学期望.附：，三第1616页共 1919 页若，则: !,-.： 2 ：,一

22、一_1313得60分的情况为两次机会，一次40元一次20元，概率- - ,1111得80分的其概况为两次机会，都是40元,概率为，所以变量 X X 的分布列为X X2020404060608080第1717页共 1919 页P P35：目 一亠、，.?1J4I 75所以其期望为【点睛】该题考查的是有关概率的问题，涉及到的知识点有平均数的求法，正态分布的性质，离 散型随机变量的分布列，属于中档题目2020 .已知椭圆 厂：丨暑1-，的离心率其左、右顶点分别为点，且点关于直线=、对称的点在直线. =：上. .(1) 求椭圆的方程；(2)若点 在椭圆门上，点 在圆门：叮忙1 丁上，且都在第一象限，.

23、 轴，若直线I.-.I.-. -I-I 与轴的交点分别为.，判断-是否为定值，若是定值，求出 该定值；若不是定值，说明理由. .【答案】(1 1)二 + ?= - ； (2 2) 1.1.【解析】(1 1)点二：盅”关于直线；=对称的点在直线上,代入可求出，又- : .： -： - ,可解出 ，然后得出椭圆方程；(2 2)设，匚:，求出点的坐标，联立直线与椭圆方程，由韦达定理求出関坐标，从而得到的方程，求出点 的坐标，设，求出厂化简得 匚=：所以Y 卜二=工 u，工:亠 T-J1CT-J1C = = 为定值. .【详解】解：(1 1 )点 关于直线丁二黑对称的点在直线：上，-|；-;,解得 0

24、)0),令m，解得. .|y = k(x+ 2)、联立：.，化简得：，丄_ 广 匚山.第1818页共 1919 页直线 的斜率= =. .2k3t LML 的方程:;匚，,令-解得 ，. .设勺Ox,、/，则NC =(-英M*2k -yj, =(-旳隔yJ.,.-。=2k +1 r r4kf、7T-.疋 F; = ,.、二，即2: :.,：亠-Jic =为定值 【点睛】本题考查了椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，椭圆中的定值问题，解析几何中的夹角类问题可尝试用平面向量解决nx2121 .已知函数f x =mx + n(1) 若m =0, n =1，求函数f x的最小值；(2) 若m .0,n

25、.0，f x在0：上的最小值为 1 1,求-的最大值.n1【答案】(1 1)1; (2 2). .2【解析】 试题分析：(1 1)运用导数知识进行求解；(2 2)借助题设条件运用导数和分类整合的数学思想求解 试题解析：(1 1)m =0,n =1时，f x二e x，则f x二-e1，f x -0则x一0， f x在：,0 1单调递减，0,=上单调递增,f xmin=f 01=1，即函数f x的最小值为 1 1.第1919页共 1919 页(2 2)由题意：f x =eX，令t =m0则f X二ex,f 0 =1，mxxntx+1n第2020页共 1919 页x2x2f x _ 0 = e _

26、tx 1，令h x = e - tx 1，则h0=0,h x=ex-2t tx 1 , h 0 = 12t.当1 -2t : 0时，则 h0 = 1 -2t : 0,因为x上时h x：一 ：,二X。- 0使得 xEi0,x0时 hx : 0, -h x在0,x。上单调递减，又因为h 0 =0,在0, xg上h x : 0，即f x : 0, 则f x在0,x0上单调递减，即0,Xo时，f x :：f 0 =1，不合题意.11-2t_0时，即t，则h 0 =1-2t_0,又因为 hx =ex-2t _e-2t =1-2t _0,- hx在x0,xo上单调递增，又h0=1-2t_0,x0,时 hx

27、 _0,即h x在x l.0=上单调递增，又因为h 0 =0,x0,：时h x -0，即 x 0,：时f x -0,f x在x0：上单调递增，又因为f 0 -1,所以f X斷=f 0 =1，满足题意，m1综上所述，的最大值为丄.n2【考点】导数在研究函数的最值中的运用.【易错点晴】函数是高中数学的核心内容，也是高考必考的重要考点 运用导数这一工具研究函数的单调性和极值最值等问题是高考的基本题型 解答这类问题时，一定要先求导再对求导后的导函数的解析式进行变形(因式分解或配方)，其目的是搞清求导后所得到的导函数的值的符号 ，以便确定其单调性，这是解答这类问题容易忽视的 本题第二问的求解过程则先预见函数f(x)在区间0,上单调递增，再运用分析转化的思维f x - -e12tx 1ex（tx +1）ex（tx + 1）2第2121页共 1919 页2222 .以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点的直角坐标为若直线 的极