2019全国统一高考数学试卷(课标1)

1、精心整理2019 年全国统一高考数学试卷（新课标1）未命名一、单选题仁设z二蔦，则z=A.2B.,3C. 2D.12.已知集合U42,3,4,5,6,7?,A二23,4,5?,B23,6,7 1,贝BplCUAA.gB.1,7?C.：6,rD.1,6,7?i7:尹炉i,弋八3.已知a =log20.2,b=20.2,C=0.20.3，贝卩A.a : b :CB.a :C: bC.c：a：bD.b：c：a4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 互1（星10.618称为黄金分割比例），着22名的“断臂维纳斯”便是如此.此外，最美人体的头顶至咽喉的 _I一 一I

2、-长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 士.若某人满足上述两个黄2金分割比例，且腿长为105cm,头顶至脖子下端的长度为26 cm， 则其身高可能是A.165 cm B.175 cm C.185 cm D.190cm65.函数f（x）二snx二在n，n的图像大致为cos X十X6.某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1,精心整理2,，1 000,从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生 进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的 是A.8号学生B.200号学生C.616号学生D .815号学生7.tan255 =A. 2石B. 2+75C.2 V3D.2+7

3、38.已知非零向量a,b满足a| = 2t),且(a - b)丄b,贝 Sa与b的夹角为 “ 1丁f11A.nB.冗C.2nD.5n6133I69.如图是求2+ 12+2的程序框图，图中空白框中应填入Vs . / 11A.A二B.1A=2+-AC.A=1+2A1D.Ar2 210.双曲线C：X2y2=1(a 0,b -0)的一条渐近线的倾斜角为130a b则C的离心率为1 1A.2sin40B.2cos40C.D.sin 50cos50D11. ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知asinA1bbsinB=4csinC,cosA= 一，贝卩一=4cA.6B.5C.4D.3 12.

4、已知椭圆C的焦点为R(-1,0),FHO)，过F2的直线与C交于A,B两点若丨AF=2| F?B|,IAB| =| BF1，则C的方程为2 2 2 2 2Ax丄2,fxy x丄yA.y=1B.1C.123243二、填空题曲线y =3(x2+x)eX在点(0,0)处的切线方程为13.精心整理314.记S为等比数列an的前n项和若ai=i, S3=-，贝qS4=_.3n15.函数f(x)=sin(2x + q)-3cosx的最小值为_ .16.已知/ACB= 90P为平面ABC外一点，PC=2，点P到/ACB两边AC,BC的距离均为,3，那么P到平面ABC的距离为三、解答题17.某商场为提高服务质

5、量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到F面列联表:满意. f.JT1叫孑不满意男顾客4010女顾客3020(1)分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；(2)能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异?2P (K 冰)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828附:K2(1)若a3=4,求an的通项公式；(2)若a10,求使得S為！的n的取值范围.19.如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4,n(ad -be)2(a b)(c d)(a c)(b d)18.记Si为等差数列an的

6、前n项和，已知S9=a5.精心整理3精心整理AB=2,ZBAD=60,E,M,N分别是BC,BBi,AiD的中点.(1)证明：MN/平面CiDE;(2)求点C到平面CiDE的距离.20.已知函数f(x)=2sinxxcosxx,f (x)为f(x)的导数.(1) 证明：f(X)在区间(o,n存在唯一零点；(2) 若x0,n时，f(x)為x,求a的取值范围.21.已知点A,B关于坐标原点O对称，|AB 1=4,0M过点A, I B且与直线x+2=0相切.(1) 若A在直线x+y=0上，求OM的半径.11(2)是否存在定点P,使得当A运动时，|MA|MP为定值？并说明理由.22.选修4-4：坐标系

7、与参数方程数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标 系，直线l的极坐标方程为2Tcosr 3sin 11=0.(1)求C和I的直角坐标方程；(2)求C上的点到I距离的最小值.23.选修4-5:不等式选讲已知a,b,c为正数，且满足abc=1.证明:(1)- - - - a2b2c2；2(a b)3(b c)3(c a)324.在直角坐标系xoy中曲线c的参数方程为1-t2x2 ,14t(t为参”1t2a b c【解析】【解析】【分析】 先由复数的除法运算（分母实数化），求得z，再求Z.【详解】故选C.【点睛】本题主要考查复数的乘法运算,模的运算性质直接求解.2.C【解析】【分析】

8、 先求Qj A，再求B飞A.【详解】由已知得GA76,7?,所以B CuA = 6,7，故选C.【点睛】 本题主要考查交集、补集的运算.渗透了直观想象素养.使用补集思 想得出答案.【分析】 运用中间量0比较a，c，运用中间量1比较b,c【详解】a =log20.2 : log20, b =-22-2 =1,0 ：0.20.3参考答案因为Z =3 -i1 2i(3-i)(1-2i)(1 2i)(12i)17.-i55，所以忖=j（y+卜歹，复数模的计算.本题也可以运用复数I.故【解析】7、- I I I4.B叮/Z- L【解析】.-,I【分析】 理解黄金分割比例的含义，应用比例式列方程求解.【详

9、解】 设人体脖子下端至肚脐的长为X cm,肚脐至腿根的长为y cm,则2626亠x 5 - 1_x105_2，得沖噺.又其腿长为105cm，顶至脖子下端的长度为26cm,所以其身高约为42.07+5.15+105+26=178. 22,接近175cm.故选B.【点睛】 本题考查类比归纳与合情推理，渗透了逻辑推理和数学运算素养.取类比法，利用转化思想解题.【分析】先判断函数的奇偶性， 得f(x)是奇函数， 排除A， 再注意到选项的区 别，利用特殊值得正确答案.【详解】由f(x)二呼X1二圧V_f(x)，得f(x)是奇函数，其图象关os(-x) (-x) cosx x1+ 一于原点对称.又f(：r

10、 _.2=4了(二r7：20.故选D.2(戈)2兀-1电丿【点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算 素养.采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题.6.C【解析】【分析】_ X X J#| I等差数列的性质.渗透了数据分析素养.使用统计思想，逐个选项判 断得出答案.【详解】详解：由已知将1000名学生分成100个组，每组10名学生，用系统 抽样，46号学生被抽到，所以第一组抽到6号，且每组抽到的学生号构成等差数列a.，公差d =10,所以an=6 10n(n N ),【解析】1若8=610n，则n=-,不合题意；若206 10n，则n =19.4，不合题5意；若61

11、6=6 10n，则n -61，符合题意；若815=6 10n，则n =80.9，不合 题意.故选C.【点睛】本题主要考查系统抽样.7.DiL1【解析】A1.打7 0【分析】- .、 、jJ | /本题首先应用诱导公式，将问题转化成锐角三角函数的计算，进一步应用两角和的正切公式计算求解.题目较易，注重了基础知识、基本 计算能力的考查.【详解】一r I X|000 L 000详解：tan 255 =ta n(18075 )=ta n 75 = ta n(4530 )=0 01tan45+tan30_ _+灵1 -tan45tan301 -一3【点睛】三角函数的诱导公式、两角和与差的三角函数、特殊角

12、的三角函数值、 运算求解能力.8.B【解析】【分析】本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题， 渗透了转化与化归、数学计算等数学素养.先由（a一b） _ b得出向量a,b的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角.【详解】 因为(a b) _b，所以(a-b) b=a b-b2=0,所以a b=b2，所以cosr二=1，所以a与b的夹角为3，故选B.【点睛】 对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸， 在利用 向量夹角公式求出夹角的余弦值， 再求出夹角，注意向量夹角范围为0,二.【解析】【分析】 本题主要考查算法中的程序框图，渗透阅读、分析与解决问

13、题等素养,认真分析式子结构特征与程序框图结构，即可找出作出选择.【详解】一1亠1执行第1次，A=-,k=1乞2是，因为第一次应该计算21=-, k =k 122十二2+A21=2，循环，执行第2次，k=2乞2，是，因为第二次应该计算2士2+丄2二土 ,k=k，1=3,循环，执行第3次，k=2乞2,否，输出，故循环体为A二-，故选A.2 +A【点睛】 秒杀速解认真观察计算式子的结构特点，可知循环体为訴【解析】【分析】P二tan130= tan50，再利用aa1 - i-求双曲线的离心率.【详解】 由已知可得-=tan130摯-=tan50,aa故选D.【点睛】详解：由已知及正弦定理可得a2b2=

14、4c2，由余弦定理推论可得1Ab2c2a2c24c21 3c 1cos A,.42bc2bc 4 2b 4【点睛】本题考查正弦定理及余弦定理推论的应用.12.B【解析】【分析】由已知可设斑| =n，则阳=2 n,|BFJ=|AB| = 3n，得|AF，在住B由双曲线渐近线定义可得1. b2= 1 tan250 =1sin2502cos 502 2sin 50* +cos 502cos 50cos50 对于双曲线:2x2a2=1(a0,b0 )，有e= bf-；对于椭圆a厂r 26，故选A.1-R中求得cosNRAB=-，再在AF1F2中，由余弦定理得n=U,从而可求3 2解.【详解】法一：如图

15、，由已知可设-|F2n，则应|=2n,|BF=|AB| = 3n，由椭圆! I11的定义有2a為BF1|+|BF2p4n,.|AF=2a -应| =2n.在AFB中，由余弦定理推论得cos RAB9n _9n.在 AF1F2中，由余弦定理得2 2n 3n 34n2+4n2-2 2n 2n丄=4，解得n= 33，2 -2a =4 n=2-、3,a=、3,. b2= a2- c2= 3-1 = 2 ,所求椭圆方程为22-y1，故选B.32法二：由已知可设|F2B= n，则AF2=2n,|BF1=|AB=3n，由椭圆的定义有2a=|BF+|BF2|=4n,二AR =2a - AF?= 2n.在 AF

16、R和BF1F2中，由余. 2 24n 4-2 2n 2 cos/AFzR =4n ,弦定理得2c 2，又AF2F1,.BF2F1互补，n2+42 n 2 cos/BFzR =9n2二COSNAF2R +C0SZBF2F! =0，两式消去COSNAFQR, co BF2F1，得3n26 =11 n2，解得n 3 . 2a =4 n=2、3,. a=、,3,.=a-C=3-1=2,.所求椭圆方程为22 2+=1，故选B.32、J I /zl【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养.13.3x - y = .(1” J ”

17、【解析】【分析】 本题根据导数的几何意义，通过求导数，确定得到切线的斜率，利用_ X X| |直线方程的点斜式求得切线方程【详解】详解：y/= 3(2x 1)ex3(X2X)ex= 3(X23x 1)ex,所以，k=良出=3所以，曲线y=3(x2X)ex在点(0, 0)处的切线方程为y=3x，即3x-y=0.【点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不 熟，二导致计算错误.求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的 基本要求.【解析】【分析】 本题根据已知条件，列出关于等比数列公比q的方程，应用等比数列的求和公式，计算得到 .题目的难度不大，注重了基础知识、基本 计算能力

18、的考查.【详解】 详解：设等比数列的公比为q，由已知22321S3二3 agag =1 q q，即q q 044【点睛】 准确计算，是解答此类问题的基本要求.本题由于涉及幕的乘方运算、繁分式分式计算，部分考生易出现运算错误.一题多解：本题在求得数列的公比后，可利用已知计算S4=S3+a#S3+a1q3=号+（-2）3=|，避免繁分式计算.15.-4.【解析】【分析】本题首先应用诱导公式，转化得到二倍角的余弦，进一步应用二倍角1的余弦公式，得到关于cosBcosC-的二次函数，从而得解.4【详解】2f(x) =sin(2x)-3cos x = _cos2x-3cos x = _2cos x-3c

19、osx 12“3、217-2(cos x)48 ：一1乞COSX空1, 当COSX=1时，fmin(X)=-4,1、4所以S4/（_q4）（2）1 -q故函数f(x)的最小值为-4.【点睛】解答本题的过程中，部分考生易忽视-仁cosx空1的限制，而简单应用二次函数的性质，出现运算错误.16.2.【解析】.-,I【分析】本题考查学生空间想象能力，合理画图成为关键，准确找到P在底面上的射影，使用线面垂直定理，得到垂直关系，勾股定理解决.! II1【详解】作PD,PE分别垂直于AC,BC,P0平面ABC，连CO,知CD丄PD,CD丄PO,PD“OD=P,CDA平面PDO,OD平面PDO,vPD二PE

20、 =, 3 ,PC = 2. sin PCE =sin PCD3,2. PCB =/PCA =60,PO CO,CO为ACB平分线，OCD =45 OD =CD =1, OC “2，又PC = 2,【点睛】画图视角选择不当，线面垂直定理使用不够灵活，难以发现垂直关系,问题即很难解决，将几何体摆放成正常视角，是立体几何问题解决的有效手段，几何关系利于观察，解题事半功倍.17. (1)4,1(2)能有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异【解析】【分析】:汀、“m(1) 从题中所给的2 2列联表中读出相关的数据，利用满意的人数除以总的人数，分别算出相应的频率，即估计得出的概率值；(2)

21、 利用公式求得观测值与临界值比较，得到能有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异【详解】! 、I1(1) 由题中表格可知，50名男顾客对商场服务满意的有40人, 所以男顾客对商场服务满意率估计为R=；0=1,50名女顾客对商场满意的有30人，所以女顾客对商场服务满意率估计为卩2=西5052(2)由列联表可知J040 2一30 10)=迦*7623.841,7030汶50汶5021所以能有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异【点睛】该题考查的是有关概率与统计的知识， 涉及到的知识点有利用频率来估计概率，利用列联表计算K2的值，独立性检验，属于简单题目18. (1)a -2n 10;(2 )1兰n 10( nwNJ.【解析】【分析】(1)首项设出等差数列的首项和公差，根据题的条件，建立关于a1和d的方程组，求得a1和d的值，利用等差数列的通项公式求得结果;(2)根据题意有a5=0，根据a10，可知d 0，根据Snan，得到关于n的不等式，从而求得结果.【详解】(1)设等差数列的首项为a1，公差为d，9汉89ad一佝4d)根据题意有2冃+2d =4所以等差数列 玄？的通项公式为务一2n 10；(2