2019届甘肃省兰州市高考一诊数学试题(文)(解析版)

1、第1页共 15 页2019届甘肃省兰州市高考一诊数学试题(文)一、单选题1 已知集合 A=x N|-1vxv4，则集合 A 中的元素个数是()A 3B. 4C 5D 6【答案】B【解析】 先根据集合 A 的限制条件，确定 A 中的元素，然后可得元素个数【详解】集合 A=x N|-1vxv4=0 , 1, 2, 3.即集合 A 中的元素个数是 4.故选：B.【点睛】本题主要考查集合的表示，根据元素的限定条件确定集合的元素，是求解关键2.(-1+i) (2i+1)=()A.1 -iB.1 iC.-3-iD.-3 i【答案】C【解析】 利用复数的乘法进行运算，注意i2- _1.【详解】2(一 1+i

2、) (2i+1) = 2i 1+2i +i= -3 一 i .故选：C .【点睛】本题主要考查复数的乘法运算，侧重考查数学运算的核心素养2 23.若双曲线 务-笃=1 (a0, b0)的实轴长为 4,离心率为 3，则其虚轴长为a b( )A.8 2B .C.2 2D .红63【答案】B【解析】利用实轴长为 4，可得 a,结合离心率可得 c,再根据ca2b2可得虚轴长.【详解】2 2根据题意，若双曲线 笃-占=1 ( a0, b 0)的实轴长为 4,即卩 2a=4,则 a=2,第2页共 15 页a b第3页共 15 页则b=c2匚a2= 2 2，则该双曲线的虚轴长 2b=42；【点睛】故选：D.

3、【点睛】本题主要考查平面向量数量积的运算，侧重考查数学运算的核心素养【详解】某区要从参加扶贫攻坚任务的5 名干部 A , B , C, D, E 中随机选取 2 人,赴区属的某贫困村进行驻村扶贫工作，基本事件总数n=C；=10 ,A 或 B 被选中的对立事件是 A 和 B 都没有被选中，又由双曲线的3, 则 c=3a=23,本题主要考查双曲线的性质，注意到-b2是求解的桥梁，侧重考查数学运算的核心素养.2n4.已知向量a,b的夹角为3a b=-3，Ib1=2，则 |a|=(3A.2【答案】DB. -3【解析】 利用数量积的运算公式可求【详 a, b的夹角为.32二 a b = a b cos3

4、a b = -3,b = 2= -a-3；a=3.5 .某区要从参加扶贫攻坚任务的5 名干部 A, B, C , D , E 中随机选取2 人，赴区属的某贫困村进行驻村扶贫工作，则A 或 B 被选中的概率是(1A.-5【答案】D2B.5710【解析】先求基本事件总数 C；,再求 A 或 B 被选中的对立事件，从而可得第4页共 15 页C：7则 A 或 B 被选中的概率是 P=1 与C；10第5页共 15 页【点睛】本题主要考查古典概型的求解，侧重考查数学建模和数学运算的核心素养6 .朱世杰是元代著名数学家，他所著算学启蒙是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作.算学启蒙中提到一些堆垛问题，如三角

5、垛果子”，就是将一样大小的果子堆垛成正三棱锥，每层皆堆成正三角形，从上向下数，每层果子数分别为1, 3, 6,10,，现有一个 三角垛果子”，其最底层每边果子数为10,则该层果子数为（）A. 50B. 55C. 100D . 110【答案】B【解析】根据题意归纳出本质是等差数列求和问题，利用求和公式可得【详解】由题意可得每层果子数分别为1, 3, 6, 10,，即为 1, 1+2 ,1+2+3 , 1+2+3+4 ,，1其最底层每边果子数为 10,即有该层的果子数为 1+2+3+- +10= X10 X1 仁 55.2故选：B.【点睛】本题主要考查以数学传统文化为背景的数列求和问题，侧重考查数

6、学建模和数学运算的核心素养1 - x1117 .已知函数 f （ x）=xln, a=f (),b=f (-),c=f (）,则以下关系成立的1 -x324是（）A.c a : bB.c：b：aC.a b：cD.a c b【答案】A【解析】 把所比较的值代入函数，化简，结合对数函数的单调性可求【详解】a=f-丄In丄=丄1门2=丄1门4, b二fl1=丄1门3=丄1门27,13丿323612丿26-4也A5X275搏427；中:-In4n 276 6 cv av b.第6页共 15 页故选：A.【点睛】第7页共 15 页本题主要考查对数式大小的比较，构造同系数或者同底数的对数式是求解关键8 如

7、图所示是某算法的程序框图，则程序运行后输出的A 168B. 169C 336D 338【答案】A【解析】 结合循环结构找到周期，再求出 n 的值.【详解】模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出1 到 2019 中k兀兀满足条件 sin =1 的 k 的个数 n 的值，由sin=1,62又正弦函数的性质可知函数的取值周期为12,且 2019=12X168+3，可得：n=168.故选：A.【点睛】本题主要考查利用程序框图的求解输出值， 求解策略是 的核心素养2sinx9 .若点 P 是函数 y=图象上任意一点，直线 l 为点 P 处的切线，则直线 lsi nx +cosx斜率的范

8、围是（）A.-：:,1B.0,1丨C.D.0,1【答案】C【解析】 先求导数，结合导数的几何意义可知，导数的范围就是切线的斜率的范围【详解】2sin x厂sinx cosxF_ 2cos x(sin x +cosx) 2sin x(cosx sin x) (sin x+cos x)2n 是（ ）还原现场”，侧重考查逻辑推理X J第8页共 15 页11 2二，则y1二直线 l 斜率的范围是1, +m) 1sin 2x21 sin 2x故选：c.【点睛】本题主要考查导数的几何意义，利用导数研究曲线的切线的斜率问题，侧重考查数学运算的核心素养10 .在四棱锥 P-ABCD 中，PD 丄底面 ABCD

9、，底面 ABCD 为正方形，AB=1 , PD=2 ,则异面直线 PA 与 BD 所成角的余弦值为（）A尿r 3局Vi5rA.B.C.D.-510510【答案】D【解析】先建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求解两个向量的夹角的余弦，再转化为异面直线所成角的余弦【详解】由题意，建立如图的空间坐标系，T底面 ABCD 为正方形，AB=1 , PD=2 , PD 丄底面ABCD , 点 A (1, 0, 0), P (0, 0, 2), D (0 , 0 , 0), B (1 , 1 , 0),则PA =(1,0,-2),DB =(1,1,0), co：PA,DB110|PA|DB| J5Z210异

10、面直线 PA 与 BD 所成角的余弦值为.10【点睛】本题主要考查异面直线所成角的求法，利用空间向量能简化推理过程2 22cos x 2sin x 212sin xcosx1 sin 2x-1sin2x b0)的左、右焦点，P 为椭圆上的动点，a b动点Q在射线FIP的延长线上，且|PQ冃PFI,若 IPQI 的最小值为 i，最大值为 9,则椭圆的离心率为()3141A.-B.-C.-D.-5359【答案】 C【解析】 利用|PQ|的最小值为1,最大值为 9，可得a,c 的值，从而可得椭圆的离心率【详解】实数 a 的范围是(3:a : 一4【答案】【详解】所以对于 x 1 , 2, f (ax

11、2)vf (3)恒成立, 等价于|ax2|v3 在 x 1 , 2上恒成立；即|a| 4在 x 1 , 2上恒成立,min333了33 所以|a -，解得一一a cosa,贝Utana=5【详解】4故答案为：-3【点睛】核心素养.121116.已知函数 f (x) =alnxx+ ，当 a (,)时，函数的零点个数为4【答案】1【解析】 先求导数，判断函数的单调性，结合零点存在性定理可得【详解】(1fea故答案为：1.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的零点问题,函数零点问题一般是结合函数的图象变化情况进行判定三、解答题17 .已知锐角 ABC 中，角 A, B, C 的对边分别为 a, b

12、, c, b+c=10 , a=. 10,5bsinAcosC+5csinAcosB=3a.15 .已知【答【解43先利用平方关系和条件解得sinacosa再利用商关系可得正切又 cos22a+sina=1 且 sin cosa二 sin49二cos：254a,刚24即 2sinacos .253 +4cosa ,tana .本题主平方关系是求解的关键，侧重考查数学运算的12函数 f (x) =aln xx22+4，可得f,(x)=；a_x,a (一-,0)时，(x)v20,函数是减函数,所以函数函数 f (x) =alnx -x21，当4a(-,0)时，函数的零点个数为 1.2第13页共 1

13、5 页(1)求 A 的余弦值；第14页共 15 页(2)求 b 和 c.4【答案】(1) ; (2) b=c=55【解析】(1)把条件 5bsinAcosC+5csinAcosB=3a 中的边化为角，可求 A 的正弦值，结合平方关系可得 A 的余弦值；(2)利用余弦定理可求.【详解】(1) / 5bsinAcosC+5csinAcosB=3a ,由正弦定理可得： 5sinBsinAcosC+5sinCsinAcosB=3sinA ,/ si nA 工0/ 5si nBcosC+5si nCcosB=3，可得:3nTB+C=n- A,sinA=,A (0,),52.解得：bc=25，.解得：b=

14、c=5 .【点睛】本题主要考查利用正弦定理和余弦定理求解三角形,常用策略18 . 一本书，一碗面，一条河，一座桥”曾是兰州的城市名片，而现在兰州马拉松”又成为了兰州的另一张名片，随着全民运动健康意识的提高，马拉松运动不仅在兰州，而且在全国各大城市逐渐兴起，参与马拉松训练与比赛的人口逐年增加.为此，某市对人们参加马拉松运动的情况进行了统计调查.其中一项调查是调查人员从参与马拉松运动的人中随机抽取 200 人，对其每周参与马拉松长跑训练的天数进行统计，得到以下统计表:平均每周进行长跑训练天 数不大于 2 天3 天或 4 天不少于 5 天人数3013040若某人平均每周进行长跑训练天数不少于5 天，

15、则称其为 热烈参与者”，否则称为 非3sin (B+C)=一 ,54.cosA= .i _sin2A=；5(2).222 a =b +c 一 2bccosA= (b+c)2- 2bc (1+cosA)，又Tb+c=10 ,a=. 10,已知条件中进行边角互化是求解的第15页共 15 页热烈参与者”.(1)经调查，该市约有 2 万人参与马拉松运动，试估计其中热烈参与者的人数；(2)根据上表的数据，填写下列2X2 列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率第16页共 15 页不超过 0.01 的前提下认为 热烈参与马拉松”与性别有关?热烈参与者非热烈参与者合计男140女55合计【答案】（1）400

16、0 ；（2）不超过 0.01 的前提下认为 热烈参与马拉松”与性别有关【解析】（1）利用样本数据的频率进行估计总体人数；（2）计算卡方的数值，根据临界值表进行判断.【详解】（1）以 200 人中 热烈参与者”的频率作为概率，则该市：热烈参与者的人数约为:120000e=4000.5(2)热烈参与者非热烈参与者合计男35105140女55560合计40160200k2=2n(adbe)a b e d a e b d2P(k2k)0.5000.4000.2500.1500.1000.0500.0250.0100.0050.001ko0.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0

17、246.6357.87910.828附:（n 为样本容量）第17页共 15 页2200 (35 55 -105 5)2K =40 160 140 60疋7.292第18页共 15 页故能在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为热烈参与马拉松”与性别有关.【点睛】本题主要考查独立性检验，利用样本估计总体，侧重考查数据分析和数学运算的核心素养.11佃已知曲线 C 上的任意一点到直线 I: x 二-一的距离与到点 F (,0)的距离相等.22(1) 求曲线 C 的方程；(2)若过 P (1, 0)的直线与曲线 C 相交于 A, B 两点，Q ( -1, 0)为定点，设直1 1 2线 AQ 的斜率

18、为&,直线 BQ 的斜率为 k2,直线 AB 的斜率为 k，证明：2k1k2k为定值.【答案】(1) y2=2x ； (2)见解析【解析】(1)利用抛物线的定义可求抛物线的方程;(2)联立方程得出韦达定理，求出斜率的表达式，代入可得【详解】由条件可知，此曲线是焦点为F的抛物线，P=1.抛物线的方程为 y2=2x ；2y2，y1y2=2.kk_2yj_k_2Yk1_ 2 _ 2 +k2 _ 2 _ 2 y11y12，y2 .1y22.22丄 + 丄=（y：+2）2+（y2+2）2（y：+2）2y2+（y2+2）2y2k：k24y：4y24y：y；4 24 222,22y1y2河18y24

19、y1y2 24y1y28 y1y232 M y2）2-Zyy 416 2(2)根据已知，设直线 AB 的方程为 y=k（x - 1） （k 工0，由丫，可得 ky-2y-2k=0 .y2=2x，y1)，B，y2)，则yr第19页共 15 页【点睛】本题主要考查抛物线方程的求解，抛物线中的定值问题，侧重考查数学运算的核心素养20 .如图所示，在四棱锥 P-ABCD 中，四边形 ABCD 为平行四边形， PCD 为正三角形，/ BAD=30 , AD=4 , AB=2、3，平面 PCD 丄平面 ABCD , E 为 PC 中点.(1)证明：BE 丄 PC ;(2)求多面体 PABED 的体积.【答

20、案】(1)见解析；(2) 3J3【解析】(1)先证明 PC 丄面 BDE，再证明 BE 丄 PC;(2)先求P - ABCD的体积，再求E - BCD的体积，从而可得多面体 PABED 的体积.【详解】2 2 2(1) TBD =AB +AD -2AB?AD?cos/BAD=4,/ BD=2,/ ABD=90 , BD 丄 CD , ：面 PCD 丄面 ABCD，面 PCD面 ABCD=CD , BD 丄面 PCD , BD 丄 PC, / PCD 是正三角形，E 为 PC 的中点， DE 丄 PC, PC 丄面 BDE , BE 丄 PC.(2)作 PF 丄 CD , EG 丄 CD, F,

21、 G 为垂足，面 PCD 丄面 ABCD , PF 丄面 ABCD , EG 丄面 ABCD , / PCD 是正三角形，CD=2 .3,31_二 PF=3 , EG= , - VP-ABCD=_22.3 3=4.3,23VE.BCDJ122、33= .3,322=吉二42k21 1 22 2 2k2k2k2第20页共 15 页-多面体 PABED 的体积 V=VP-ABCD-VE-BCD=4 、3- 13 =3i 3.【点睛】本题主要考查空间垂直关系的证明和几何体体积的求解,的核心素养.13122221.已知函数 f (x)二x (a+a+2) x +a (a+2) x, a R.32(1)

22、 当 a=-l 时，求函数 y=f (x)的单调区间；(2) 求函数 y=f (x)的极值点.【答案】(1)递增区间为(心，+R); (2)见解析【解析】(1)先求解导数，利用导数取值的正负可得单调区间；(2)先求解导数，结合导数零点情况判断函数极值点的情况【详解】(1)当 a=-1时，f x=-x3-x2x. T f (x)=x2-2x+ 仁(x -1)20,3故函数在 R 内为增函数，单调递增区间为(+R).(2)T f (x)=x2-(a2+a+2)x+a2(a+2)=(x _a2)x -(a+2),1当 a=-1 或 a=2 时，a2=a+2, /f (x)恒成立，函数为增函数，无极值；2当 av-1 或 a2 时，a2a+2,可得当 x ( -m,a+2)时，f (x) 0，函数为增函数；当 x (a+2, a2)