2020届陕西省西安交通大学附中上学期高三第四次诊断数学(文)试题(解析版)

1、【解析】试题分析_ir_ir - -.第 1 1 页共 1919 页2020 届陕西省西安交通大学附中上学期高三第四次诊断数学（文）试题、单选题1i1 1 .复数的虚部是（）iA A.iB B.1C C.1D D.i【答案】B B【解析】试题分析：二-二-二-，虚部为-1.-1.i i2-1【考点】复数的概念和运算. .【详解】所以a 6,b 8,因为c :a2所以离心率e故选：C.【点睛】b210，C 10 5a 63本题主要考查了双曲线方程的离心率，属于基础题3 3.tan300= =（）A A. . 3 3B B. . 3 3C CD D.亠X22 2 双曲线一362y_641的离心率是

2、（)5A .-B.U5C.4D.-4335【答案】C C【解析】已知双曲线方程，找出方程中a,c代入离心率的公式即可因为双曲线2x362y_64第2 2页共 1919 页33【答案】B B第3 3页共 1919 页【考点】 全诱导公式的应用及特殊角的三角函数值.4 4 .下列说法不正确的是（）A A .命题 若x23x 2 0，则x 1”的逆否命题为 若x 1，则x23x 2 0”B B .Pq为假命题，则P,q均为假命题C C .若“x 1”是fx| 1”的充分不必要条件D D 若命题：P：“X。R，使得X：X。1 0”，则p:“x R，均有x2x 1 0【答案】B B【解析】根据逆否命题的

3、定义、含逻辑连接词命题的真假性、充分条件与必要条件的判定、含量词的命题的否定依次判断各个选项即可【详解】根据逆否命题的定义可知：若x23x 2 0，则x 1的逆否命题为：若x 1,则x23x 20”，A正确;P q为假命题，则只要p,q不全为真即可，B错误;立；贝y x 1”是*1”的充分不必要条件，C正确;2X0R，使得X0X01 0的否定为：x R，均有x2x 10,D正确. .本题正确选项：B【点睛】本题考查命题真假性的判定，涉及到逆否命题的定义、含逻辑连接词的命题、充分条件与必要条件、含量词命题的否定的知识5 5.已知角的终边经过点P x,3 x0且COS10X, 则X等于（)10A

4、A .11C C.32,2B B.D D .33【答案】A A由x 1可得：x 1，充分条件成立；由x1可得：x 1或x1，必要条件不成根据含量词命题的否定可知,第4 4页共 1919 页【解析】试题分析：依题意有COSx10 x,x1.- x23210【考点】 三角函数概念.第5 5页共 1919 页A A., 4 U 2 U 2,C C., 4 U 2,【答案】A A【解析】 根据题中韦恩图知， 阴影部分面积为然后根据运算律求解即可 【详解】由题知阴影部分面积为e,A B，0Bx| x4，则图中阴影部分表B B.,4 U2 U 2,D D.,4 U 2,euA B，求出集合A，B的范围,7

5、 7如图，网格纸上小正方形的边长为何体的体积为（）Ax| x22x20ABx| x4B4,4,所以AB4, 22,2,故QjAB,42 2,故选:A.A.【点睛】本题主要考查了集合的运算，属于基础题2 2,2，B B.【答案】A A【解析】分析：首先根据所给的三视图,可以判断外层的轮廓是由一个正方体切割而成1 1 粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几第6 6页共 1919 页的，再者就是里边有一个空洞，是一个球体的八分之一，所以在求其体积时，就等于棱 锥的体积减去部分球体的体积，从图中得到相应的线段的长度，代入公式求得结果 详解：根据题中所给的几何体的三视图，可以断定该几何体为一个四棱锥里边

6、挖去了八分之一的球体，并且该四棱锥就是由一个正方体切割而成的，1364根据体积公式求得四棱锥的体积为V,=143=-64，33而挖去的八分之一球体的体积为V2= -4（2、2）3二色2 2，833所以该几何体的体积为V二ViV2648 2，故选 A.A.3点睛：该题考查的是有关三视图还原几何体求其体积的问题，在求解的过程中，最关键 的一步就是还原几何体，从图中可以发现其为一个棱锥挖去一个部分球体的几何体， 是需要明确棱锥的顶点的特征，二是挖去的是球体的几分之几，之后借助于公式，从图 中读出边长求得结果 8 8若程序框图如图所示，则该程序运行后输出k k 的值是（）（开始）（S）A A 5 5B

7、 B. 6 6C C. 7 7D D . 8 8【答案】A A【解析】试题分析:第一次循环运算：n 35 16,k1;第二次：n16 8,k 2;第三次：8 n _4,k3；第四次：4 n _2,k4；“匚2第五次：n1,k5，这222第7 7页共 1919 页时符合条件输出k 5，故选 A.A.【考点】算法初步 9 9.一个正方体的展开图如图所示，A A、B B、C C、D D 为原正方体的顶点，则在原来的正方体中（）成的角为60【答案】D D【详解】 解：一个正方体的展开图如图所示,AC 8/A B、C、D为原正方体的顶点,还原成正方体如下图，Q AB/DE,CDE是AB与CD所成角,Q

8、CD DE CE,CDE 60,在原来的正方体中AB与CD所成的角为60.C C.AB CDD D .AB与CD所【解析】还原成正方体，可推导出在原来的正方体中AB与CD所成的角为60.AB与CD相交第8 8页共 1919 页故选D.【点睛】本题考查了学生的空间想象力及作图能力、异面直线所成角的求法，属于基础题.1010 .我国古代数学名著九章算术的论割圆术中有：割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣 ”它体现了一种无限与有限的转化过程1厂 中“即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过1 -1B B. 2 2【答案】B B【解析】 根据题中提示规律，找出366

9、36的原式方程求解即可【详解】由题知#6 6 V6的值可以通过方程 丁6 x x求出，因为诟x x x 2,所以3636362故选：B.B.【点睛】本题主要考查了运算法则的类比推理，属于基础题【答案】C C最大时n的取值. .【详解】比如在表达式1方程1丄xx求得x15，类似上述过程，则21111等差数列an的前n项和为Sn,3,09,S,。Snn n “39最大时n为B B. 5 5C C. 6 6D D . 7 7【解析】根据等0，求出公差与首项,然后求出Sn代入方程求解第9 9页共 1919 页因为等差数列編0,有耳耳00,第1010页共 1919 页解得ai9，因为aio9，所以公差d

10、9 ( 92,92所以Snn 10n,故选：C.C.【点睛】【解析】 首先把求根的问题转化为函数图像的交点问题，然后求解【详解】设k ln a, 即方程f x k有4个实根,有 1 1 k k 2 2 , 即1 ln a 2,n210n nn ,39n 10110n .39 n 39 易知当n6时取最大值1、39 10639log51 x,x 11212 .已知函数f X2，若方程f xx 22,x1则a的取值范围是()A A.1,eB B.e,e,2C C.e,elna a R有 4 4 个实根,a的取值范围即可本题主要考查了等差数列取最值，属于基础题【答案】C C第1111页共 1919

11、页2解得a e,e. .故选：c.c.【点睛】本题考查了函数图像交点与函数根的关系，属于基础题、填空题1313已知等比数列an,a47,a621，则a等于_【答案】189189【解析】直接利用等比数列的通项公式求公比的平方，再求aio即可. .【详解】解：在等比数列an中由a47,a621, ,所以比畀21 32189故答案为：189【点睛】本题考查了等比数列的通项公式 ，是基础题. .1 1-的最小值为_a b【答案】8 8b a式子化成2(2)，运用基本不等式求得最小值a b【详解】得q2a621a41414 .已知a 0,b0，若直线(2a 1)x 2y 10与直线x by 20垂直，则

12、【解析】两直线斜率存在且互相垂直，由斜率乘积为-1-1 求得等式2(a b) 1，把目标第1212页共 1919 页设直线(2a1)x 2y 10的斜率为k1,1直线x by 20的斜率为k2,k2b2a 11Q两条直线垂直，k1k2()(-)2 bk12a 11，整理得：2(a b)第1313页共 1919 页1等号成立当且仅当a b丄,4【点睛】利用“ 1 1 的代换，转化成可用基本不等式求最值，考查转化与化归的思想1515 某班运动队由足球运动员1818 人、篮球运动员 1212 人、乒乓球运动员 6 6 人组成( (每人只参加一项) )，现从这些运动员中抽取一个容量为n n 的样本，若

13、分别采用系统抽样法和分层抽样法，则都不用剔除个体；当样本容量为n n + 1 1 时，若采用系统抽样法，则需要剔除 1 1 个个体，那么样本容量 n n 为_ 【答案】6 6【解析】n n 为 18+12+6=3618+12+6=36 的正约数，因为 1818： 1212： 6=36=3 : 2 2： 1 1，所以 n n 为 6 6 的倍数，因此n 6,12,18,24,30,36因为当样本容量为n 1时，若采用系统抽样法，则需要剔除1 1 个个体，所以 n+1n+1 为 3535的正约数，因此n 61616 已知正三角形ABC的边长为、3，点M是ABC所在平面内的任一动点，若uuv uuu

14、v ULUV1，则MA MB MC的取值范围为_ . .【答案】0,6【解析】以 A A 点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，不妨设 M M(cosq,sinqcosq,sinq)，根据向uuur uuur uuuu2量的坐标运算和向量的模可得|MA MB MC |218 18sin数的性质即可求出范围【详解】解：以A点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系- 骣33则 A(0,0),A(0,0), B(B(、-3,0),C3,0),C材，-,-,uuruurQ|Q| MAMA |=1|=1，不妨设 M M(cosqcosq ,sinq,sinq), ,uuruur uuruur uuuuu

15、uuuMAMA + + MBMB + + MCMC = = (-(- cosqcosq，- -1严b)2(2 -a8, ,A-的最小值为8. .a bJ J ，再根据三角函sinsin q)q) + + (3 3- -cosqcosq， - - sinqsinq)3 3. .- -cosqcosq，一 - - sinqsinq = =2 23 3- -3cos3cosq,q,- - 3sinq3sinq第1414页共 1919 页uur luir luui|MA MB MC |的取值范围为：0,6. .故答案为：0,6本意考查向量的坐标运算和向量的模的取值范围，是中档题. .三、解答题1717

16、 .如图，在四棱锥 P-ABCDP-ABCD 中，PAPA 丄平面 ABCDABCD ,底面 ABCDABCD 是等腰梯形，ADAD / BCBC ,ACAC 丄 BDBD .(I)证明：BDBD 丄 PCPC;(n)若 AD=4AD=4 , BC=2BC=2，直线 PDPD 与平面 PACPAC 所成的角为 3030求四棱锥 P-ABCDP-ABCD 的= = 9(29(2 - - . . 3cosq3cosq - - sinq)sinq) =18=18 - - 18sin18sin询8-18sin骣+P36,36,uuiruuir uuiruuir ujuuujuu2|MA|MA + +

17、MBMB +MC+MC | |2= =- -3cosq3cosq- -3sinq3sinqQ Q - -1 1 剟1 1【点第1515页共 1919 页【解析】(I)因为PA平面ABCD,BD平面ABCD,所以PA BD.又AC BD,PA, AC是平面 PACPAC 内的两条相较直线，所以 BDBD 平面 PACPAC,而PC平面 PACPAC，所以BD PC. .(H)设 ACAC 和 BDBD 相交于点 0 0,连接卩 0 0,由(I)知，BDBD 平面 PACPAC，所以DP0是直线 PDPD 和平面 PACPAC 所成的角，从而DP030. .由 BDBD 平面 PACPAC,PO平

18、面 PACPAC,知BD PO. .在AC BD中，由DPO30, 得 PD=2OD.PD=2OD.因为四边形 ABCDABCD 为等腰梯形，口 Q，所以AODBOC均为等腰直角三角形，从而梯形 ABCDABCD 的高为-| - 于是梯形 ABCDABCD面积S二丄x(4-2)x3 =9.9.在等腰三角形AOD中，OD =.W =Ir 耳所以卜：匸 .-故四棱锥 Q-扌;d d 的体积为.-. .JJ【点评】本题考查空间直线垂直关系的证明，考查空间角的应用，及几何体体积计算. .第一问只要证明 BDBD 平面 PACPAC 即可，第二问由(I)知，BDBD 平面 PACPAC,所以DPO是直线

19、 PDPD 和平面 PAPAC C所成的角，然后算出梯形的面积和棱锥的高， 由 3算得体积1818.三角形的三个内角 A A、B B、C C 所对边的长分别为a、b、c，设向量rr卄r rm (c a,b a), n (a b,c)，右m/n.(1) 求角 B B 的大小；(2) 求si nA si nC的取值范围.【答案】(1 1)B-；(2 2) 3.32【解析】【详解】(1 1)由mn知，即得b2a2c2ac，据余弦定理知a b c1cosB，得B 23第1616页共 1919 页(2)sinA sinC sinA sin A Bsi nA sinA1sinA si nA2osA3sin

20、A山cosA2222.3sinA6因为B所以A2 C，得A0,23 33所以A5，得sinA1,1，即得sinA sinC的取值范围为66，662y,3点睛：本题关键是首先要得出向量平行的等式，再结合余弦定理即可得出函数范围问题则通常需要将原式化简为Asin( x ) b的形式再求解答案(需注意范围的变化)，此题属于基础题 1919 .某种商品在 5050 个不同地区的零售价格全部介于1313 元与 1818 元之间，将各地价格按如下方式分成五组：第一组13,14，第二组14,15,，第五组17,18 如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图(1) 求价格落在16,17内的地区数；(2)借助频

21、率分布直方图，估计该商品价格的中位数(精确到0.10.1 )；(3)现从13,14,17,18这两组的全部样本数据中，随机选取两个地区的零售价格, 记为m,n，求事件“m n 1”的概率. .4【答案】( (1 1) 1616； (2 2) 15.715.7 元；(3 3). .B B，对于三角第1717页共 1919 页【解析】( (1 1)根据总面积为1求出价格落在16,17内的地区数；共有 1212 种情况,第1818页共 1919 页（2）根据中位数两边的面积都是0.5求出中位数;（3 3）根据古典概型求解即可，首先求出基本事件总数, 数即可求出答案. .【详解】（1 1）价格在16,

22、17内的频率为:10.06 0.08 0.16 0.381 0.32，所以价格在16,17内的地区数为50 0.32 16；（2 2）设价格中位数为X，由0.06 0.16 x 150.38 0.5，14解得x 1515.7（元）；19（3 3）由直方图知，价格在13,14的地区数为50 0.06 3，设为x，y， z z，价格在17,18的地区数为50 0.08 4，设为A，B，C，D，若m,n 13,14时，有xy，xz，yz，3 3 种情况，若m,n 17,18时，有AB，AC，AD，BC，BD，CD，6 6 种情况,若m,n分别在13,14和17,18内时，ABCDxxAxBxCxDy

23、yAyByCyDz zzAzBzCzD再求出事件“m n 1”的事件(2)fxax第1919页共 1919 页所以基本事件总数为 2121 种,1241217【点睛】x2x 22，x2x x a-2事件“m n1”所包含的基本事件个数有 1212 种,本题主要考查了频率分布直方图的性质,中位数，古典概型的计算，属于一般题2020 .已知函数f XIn x a 0. .(1)当a 2时，求f x在1,e e的最值;(2)讨论函数f x的单调【答案】(1 1)最小值3 3，最大值e2e 1; (2 2)见解析【解析】(1 1)首先求出函数f x的单调性，再根据函数f x的定义域，求区间内的最值即可

24、;(2(2)首先对函数 f fx求导，再对a分类讨论，分析导函数的正负，从而讨论出函数【详(1(1)当2时,所以f1,1上单调递减，在1,e上单调递增. .xmin2e 1,所以当2时,Le的最小值e3 3，最大值e12e 1;(2)fxax第2020页共 1919 页x第2121页共 1919 页当a 1时,影依次为D、K、E. .(1)求椭圆 C C 的方程；ULU/UUIV UULV(2)若直线I交y轴于点M，且MA1AF,MB为定值；(3 3)当m变化时，直线AE与BD是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给 予证明；否则，说明理由. .当 a a1 1 时,所以f1, ,单调递增

25、，在0,1单调递当a1时,f x在0,1上单调递减，在1,单调递增,在,1上单调递增，在1 a和 1,1,上单调【点0,上单调递减,1时,a1,上单调递增，在1 a0,1和上单调递减. .本题主要考查了利用导数分析求解函数的单调区间,属于中档题2121.已知直线I：x my2 21过椭圆c*b1的右焦点F,抛物线x24. 3y的焦点为椭圆C的上顶点，且I交椭圆C于A、两点，点A、F、B在直线g：x4上的射uuv2BF，当m变化时，证明：12（3）当m 0时，直线Ix轴，贝U ABED为矩形，易知AE与BD是相交于点第2222页共 1919 页综上所述，当m变化时,81 2的值为定值 ；3【解析

26、】 试题分析：（1 1 ）由题设条件求出椭圆的右焦点F与上顶点坐标，即可得出b、c的值，再求出a2的值即可求得椭圆C的方程；（2 2）设A xi,yi,B X2, y2，联立直UJIVUJIV unvuuv线与椭圆的方程，结合韦达定理得出yy2与yiy2，再根据MA1AF,MB2BF1及MO, ，从而可表示出12，化简即可得证；（3 3）当m 0时，易得AE与m55BD相交于点N ,0，可猜想：m变化时，AE与BD相交于点N ,0，再证明22猜想成立即可右焦点F 1,0，即c21,又x24.3y的焦点0, V为椭圆C的上顶点,2 2【答案】（1 1）JL431; (2 2 )见解析；(3 3)

27、N5,02试题解析：（1 1）l: x my 1过椭圆C的右焦点F,- b ,3，即b23,ab2c24,2-椭圆C的方程42y_3x my由3x24y2120得,223m 4 y 6my 9设A X1,y1,B X2,y2y26m3m293m24uuuuuuv uuv MA1AF ,MBuuv2BF ,M0,X1,y1X1y1,X2,y2X2,y2,my1my2y1y2my26m23m/9m/24 3m 4即22 cos第2323页共 1919 页点睛：(1 1 )解题时注意圆锥曲线定义的两种应用，一是利用定义求曲线方程，二是根据曲线的定义求曲线上的点满足的条件，并进一步解题；(2 2)求定

28、值问题常见的方法： 从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.2222.在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为2cos,0,. .2(1) 求C的参数方程；(2) 设点D在半圆C上，半圆C在D处的切线与直线l:y2垂直，求直线CD的倾斜角及点D的直角坐标 【答案】x 1 cost4 C343（1）. ,（t为参数，t 0,）；（2）,. .y si nt32 2【解析】 (1 1)首先根据C的极坐标方程求出C的普通方程，然后即可求出C的参数方程；(2 2)根据几何关系求出直线CD倾斜角，然后利用参数方程求出点D的直角坐标【详解】(1)由半圆C的极坐标方程为2cos,0,2N5,025，猜想AE与BD相交于点N ,02，证明如下:LUV/ ANXiyi32myi,yiuuv,NE32,y2，32myiy2yi32y1y2my26m3m2493m240，二AN/NE，即AN、E三点共线. .同理可得B、N、D三点共线,则猜想成立，即当m变化时，AE与BD相交于定点NI，0. .故当 x=x=时，|2x|2x - a|+|x+1|a|+|x+1|取得最小值为i+1+1，第2424页共