2020届吉林省高三第二次模拟数学(理)试题(解析版)

1、第1 1页共 2121 页2020 届吉林省高三第二次模拟数学（理）试题一、单选题21 1.已知集合A xx 3x 100,集合B x 1 x 6，则AI B等于（）A A.x1x 5B B.x 1 x 5C C.x2x 6D D.x 2 x 5【答案】B B【解析】 求出A中不等式的解集确定出集合A，之后求得AI B. .【详解】2由A x x 3x 100 x x 2 x 50 x 2 x 5,所以A B x 1 x 5,故选：B.B.【点睛】该题考查的是有关集合的运算的问题，涉及到的知识点有一元二次不等式的解法，集合的运算，属于基础题目 2 2 .复数z互（i为虚数单位），则z等于（1

2、i)A A . 3 3B B.2 2C C . 2 2D D.【答案】D D【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简Z，从而求得 z z，然后直接利用复数模的公式求解 【详解】-2i 2i 1 izi 1 i 1 i,1i 1 i 1 i所以z 1 i,z近,故选：D.D.【点睛】3【点睛】第 2 2 页共 2121 页该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的乘除运算，复数的共轭复数，3【点睛】第 2 2 页共 2121 页复数的模，属于基础题目 3 3已知a (1,3),b(2, 2),c (n, 1),若(a c) b，则n等于()A A 3 3B B. 4 4C C 5 5D D

3、 6 6【答案】C C【解析】 先求出a c (1 n, 4)，再由(a c) b，利用向量数量积等于0 0,从而求得n. .【详解】r r由题可知a c (1n,4)，因为(a c) b，所以有1n 2 2 40，得n5，故选：c.c.【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量的减法坐标运算公式，向量垂直的坐标表示，属于基础题目. .【详解】4 4 .设tan14cos()-(0,)，则tan(2)的值为()257A.-245C C .24【答案】D D5B B.247D D.24【解析】利用倍角公式求得tan2的值，利用诱导公式求得cos的值， 禾U用同角三角函数关系式求得s

4、in的值, 进而求得tan的值，最后利用正切差角公式求得结果3【点睛】第 2 2 页共 2121 页故选：D.D.tantan22ta n1 tan2coscos,(0,cos,sin3tan5tan 2tan2tan1 tan2 tan344313434724，第5 5页共 2121 页该题考查的是有关三角函数求值问题，涉及到的知识点有诱导公式，正切倍角公式，同角三角函数关系式，正切差角公式，属于基础题目5 5 执行如图所示的程序框图，输出的结果为()19A A 3B B. 4 425C.4【答案】A A【解析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x,M的值，当x 3,M4，退出循环，输

5、出结果3【详解】221 11x3,M0;x,M一 ；x x,M-；332 2619223x3,Mx,M636x x1 1,M10 x 3,M194，退出循环，输出结果为2 233程序运行过程如下:故选：A.A.193【点睛】该题考查的是有关程序框图的问题,涉及到的知识点有判断程序框图输出结果,础题目2x6 6 连接双曲线C1:2ab21及C2:b22x1 1 的 4 4 个顶点的四边形面积为a接 4 4 个焦点的四边形的面积为S S，则当取得最大值时,S：双曲线C1的离心率为属于基S，连( )第6 6页共 2121 页第7 7页共 2121 页A A. -5B B.4141C C、3 3D D

6、、.2 22 22【答案】D D【解析】先求出四个顶点、四个焦点的坐标，四个顶点构成一个菱形， 求出菱形的面积, 四个焦点构成正方形，求出其面积，利用重要不等式求得 从而求得其离心率【详解】故选：D.D.【点睛】该题考查的是有关双曲线的离心率的问题，涉及到的知识点有共轭双曲线的顶点，焦点，菱形面积公式，重要不等式求最值，等轴双曲线的离心率，属于简单题目3 x7 7 .在区间3,3上随机取一个数x，使得0成立的概率为等差数列an的公差，X 1且a2a64，若an0，则n的最小值为（）A A. 8 8B B. 9 9C C. 1010D D. 1111【答案】D D【解析】由题意，本题符合几何概型

7、，只要求出区间的长度以及使不等式成立的X的范围区间长度，利用几何概型公式可得概率， 即等差数列的公差，利用条件a2a62a4,【详解】S取得最大值时有a b，2 2 2双曲线7b1与b2X1互为共轭双曲线,a四个顶点的坐标为（a,0）,（0, b），四个焦点的坐标为（c,0）,（0, c），四个顶点形成的四边形的面12a 2b2ab，212S2c 2c 2c，2所以鱼S22ab2c2aba2b2ab2ab当S取得最大值时有ab，c 2a，离心率e求得a42，从而求得an10号，解不等式求得结果33第8 8页共 2121 页3使得3x0成立的x的范围为1,3，区间长度为 2 2,x1故使得3x2

8、0成立的概率为1 d,x163又a2a64 2a4,a42,an2 n 4令an0则有n 10，故n的最小值为 1111,故选： D.D.由题意，本题符合几何概型，区间3,3长度为 6 6,【点睛】10 n33，该题考查的是有关几何概型与等差数列的综合题,涉及到的知识点有长度型几何概型概率公式，等差数列的通项公式，属于基础题目8 8. 已知函数fa 1 x 4, x 7x 6a , x 7是R上的减函数，当a最小时，若函数f(x) kx4恰有两个零点，则实数k的取值范围是（1(2,0)B B.(2g)(1,1)D D.（1，1）【答案】A A【解析】首先根据f X为R上的减函数,列出不等式组,

9、1求得a 1,所以当a最21小时，a,之后将函数零点个数转化为函数图象与直线交点的个数问题,2数形结合得到结果 画出图形,【详解】由于f X为R上的减函数，则有1，可得丄a 1,2所以当a最小时，a函数y fkx4恰有两个零点等价于方程kx 4有两个实根,等价于函数与y kx 4的图像有两个交点.画出函数f的简图如下，而函数y kx 4恒过定点0,4,第9 9页共 2121 页本题通过三视图考察空间识图的能力，属于基础题。第 6 6 页共 2121 页数形结合可得k的取值范围为2 2 k k 0 0.故选：A.A.【点睛】该题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有分段函数在定义域上单调减求参

10、数的取值范围，根据函数零点个数求参数的取值范围，数形结合思想的应用,9 9 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是(【答案】A A【解析】观察可知，这个几何体由两部分构成 ，：一个半圆柱体，底面圆的半径为1 1,高 为2 2； 个半球体，半径为 1 1,按公式计算可得体积。【详解】属于中档题目 4B B.434 23A . 2本题通过三视图考察空间识图的能力，属于基础题。第 6 6 页共 2121 页【点睛】设半圆柱体体积为V，半球体体积为V2，由题得几何体体积为12253,故选 A A。第1212页共 2121 页点A的坐标为（1,2），若将函数 f f（x x）向右平移 m m（m

11、m 0 0）个单位后函数图像关于y轴对称，则m的最小值为（）通过平移变换函数图象关于y轴对称，求得m的最小值. .【详解】由于AB 5，函数最高点与最低点的高度差为4,所以函数fx的半个周期T3，所以T2-6 -,23又A 1,2,0，则有2si n1 -52，可得,36所以f x2sinx2si n x2cos x 1,363323所以m的最小值为 1 1,故选：B.B.【点睛】该题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出函数的解析式是解决该题的关键，要求熟练掌握函数图象之间的变换关系，属于简单题目1111.等腰直角三角形 BCDBCD 与等边三角形 ABDABD 中，C 90,BD 6，

12、现将ABD沿 BDBD 折起，则当直线 ADAD 与平面 BCDBCD 所成角为45时，直线 ACAC 与平面 ABDABD 所成角 的正弦值为1010 .函数f (x) 2sin( x )(0,0）的部分图像【解析】根据图象以及题中所给的条件,求出A,和，即可求得x的解析式，再将函数f x向右平移m个单位后函数图像关于y轴对称，即平移后为偶函数,【答案】B B第1313页共 2121 页（）第1414页共 2121 页233223【答案】A A【解析】设 E E 为 BDBD 中点，连接 AEAE、CECE，过 A A作AO CE于点 0 0 琏接 DODO ,得到ADO即为直线 ADAD

13、与平面 BCDBCD 所成角的平面角，根据题中条件求得相应的量，分析得到CAE即为直线 ACAC 与平面 ABDABD 所成角，进而求得其正弦值，得到结果【详解】 设 E E 为 BDBD 中点，连接 AEAE、CECE，由题可知AE BD，CE BD，所以BD平面 AECAEC，过 A A 作AO CE于点 O O,连接 DODO,则A0平面BDC，所以sin ADO上2也，可得 AOAO 3 3 2 2，2AD在厶AOE中可得OE 3，1又OC -BD 3，即点 O O 与点 C C 重合，此时有AC平面BCD，2过 C C 作CF AE与点 F F，又BD平面AEC，所以BD CF，所以

14、CF平面ABD，故选：A.A.【点睛】该题考查的是有关平面图形翻折问题，涉及到的知识点有线面角的正弦值的求解，在解题的过程中，注意空间角的平面角的定义，属于中档题目13211212 .已知函数f (x) ax x (a 0).若存在实数xo(1,0)，且x0，使得321f (Xo) f(-)，则实数 a a 的取值范围为()2所以ADO即为直线ADAD 与平面 BCDBCD 所成角的平面角,从而角CAE即为直线 ACAC 与平面 ABDABD 所成角,sin CAECE _3_仝AE 333A AB B辽第1515页共 2121 页【答案】D D【详解】其单调性及极值情况如下:X X2Ja2a

15、2-,oa0 00,f X+ +0 00 0+ +f XZ极大值极小值ZA A .(?5)B B.(|,3)(3,5)18(,4)(4,6)C C.(号,6)【解析】首先对函数求导,利用导数的符号分析函数的单调性和函数的极值,根据题意,列出参数所满足的不等关系, 求得结果x ax22x，令f2x 0，得X10,X2-若存在Xo1,，使得fXo（如图(图 1 1)第1616页共 2121 页于是可得a,44,6,7故选：D.D.【点睛】该题考查的是有关根据函数值的关系求参数的取值范围的问题，导数研究函数的单调性与极值，画出图象数形结合，属于较难题目二、填空题1313 .(1仮)n展开式中的系数的

16、和大于8 8 而小于 3232,则n _.【答案】4 4【解析】由题意可得项的系数与二项式系数是相等的，利用题意，得出不等式组，求得结果 【详解】观察式子可知Q8 C：C：C：2n32,n 4，故答案为：4.4.【点睛】该题考查的是有关二项式定理的问题，涉及到的知识点有展开式中项的系数和，属于基础题目 1414.已知数列a：的各项均为正数，满足ai1,ak iakai.(i k,k 1,2, 3,L ,n 1)，若a：是等比数列，数列a：的通项公式a： _ .【答案】2：1【解析】 利用递推关系，等比数列的通项公式即可求得结果【详解】（图 2 2）涉及到的知识点有利用第1717页共 2121

17、页因为a2aiai，所以a?2a“,因为an是等比数列，所以数列an的公比为 2 2.又ak iakaQ k, k 1,2,3,L ,n 1),所以当i k时，有ak i2ak.这说明在已知条件下，可以得到唯一的等比数列，所以an= 2n-1,【点睛】于简单题目值为_ .1【答案】丄7【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数z x y的最小值为2，确定出m的值，进而确定出 C C 点坐标，结合目标函数y几何意义，从而求得结果x【详解】此时直线为y X 2x2，故答案为:2n该题考查的是有关数列的问题,涉及到的知识点有根据递推公式求数列的通项公式,y1515.实数x，y满足y12x 1，

18、如果目标函数z x y的最小值为2，则的最小x先做y 1 y2xABCABC 区域内,x z可知，直线的截距最大时,z z 取得最小值,1的区域如图可知在三角形第1818页共 2121 页作出直线y x 2，交y 2x 1于 A A 点,y 2x 1x 3由，得，代入x y m，得m 35 8,y x 2y 5所以点 C C 的坐标为7,1.-等价于点(x,y)与原点连线的斜率，x所以当点为点 C C 时，y取得最小值，最小值为-，x71故答案为：丄. .7【点睛】该题考查的是有关线性规划的问题，在解题的过程中， 注意正确画出约束条件对应的可行域，根据最值求出参数，结合分式型目标函数的意义求得

19、最优解，属于中档题目 1616已知M是抛物线寸2x上一点，N是圆x2(y 2)21关于直线x y 0对 称的曲线C上任意一点，贝U |MN的最小值为 _.【答案】、3 1【解析】由题意求出圆的对称圆的圆心坐标，求出对称圆的圆坐标到抛物线上的点的距离的最小值，减去半径即可得到MN的最小值. .【详解】假设圆心0,2关于直线x y 0对称的点为Xo,y。，心1Qx0 xo2则有，解方程组可得C，丸yo20yo02 2所以曲线C的方程为x 2y21，圆心为C 2,0，设M x, y (x 0)，则|MC2x 22y2，, 2 2 2 2 2 2又y 2x，所以MC x 2 y =x 2x 4 x 1

20、3，MC|：in3，即|MC43，所以MNmin逅1，故答案为：.3 1. .由图象可知，目标函数在该点取得最小值，所以直线x y m也过 A A 点,第1919页共 2121 页【点睛】该题考查的是有关动点距离的最小值问题，涉及到的知识点有点关于直线的对称点，点与圆上点的距离的最小值为到圆心的距离减半径，属于中档题目第2020页共 2121 页(1(1)求角 A A 的值;【答案】(1 1)3； ( 2 2) y ymaX【解析】(1 1)利用正弦定理，结合题中条件，可以得到b b2定理即可求得A-；3(2 2)利用正弦定理求得b 2sin，求出三角形的周长，利用三角函数的最值求解即可【详解

21、】(1(1)由已知 b basinAcsinC可得bsinB bsinc asinAsinB sinC0,，二Aymax【点睛】该题主要考查的是有关解三角形的问题，解题的关键是掌握正余弦定理,A B1C1中，VABC与VBjBC是全等的等边三角形三、解1717 .已知在VABC中，a a、asin A csin Cb b、c c 分别为角 A A、B B、C C 的对边，且bsin B sin C(2)若a . 3，设角B,VABC周长为 y y,求yf ()的最大值.c c2a a2bebe ,之后应用余弦csinC,结合正弦定理可得 b b22 2c c a a bcbc ,二cosAb2

22、c2a22bc(2)-及正弦定理得b3si nBsinCsinA2sinB2sin,2si nC 2sin2sin 32sin2sin 3，即y2.3sin属于简单题目 0第2121页共 2121 页1(2)若cos BB1A，求二面角B BiCA的余弦值.4【答案】(1 1)证明见解析；(2 2)_1 .5 5【解析】(1 1)取 BCBC 的中点 O O,则BiO BC,由VABC是等边三角形，得AO从而得到 BCBC 丄平面BiAO，由此能证明BC ABi(2)以OA,OB,OBi分别为 x x, y y, z z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法求得角的余弦值，得到结果 【详解】(1(

23、1)取 BCBC 的中点 O O,连接AO,BiO, 由于VABC与VBiBC是等边三角形， 所以有AOBC,BQ BC,且AOI B1O O,所以 BCBC 丄平面BiAO,ABi平面BiAO，所以BC ABi.(2 2)设 ABAB = = a a ,VABC与VBC是全等的等边三角形，所以BB1AB BC AC B1C a,1222132又cos BB1A，由余弦定理可得AB1a a 2a aa,442在VABC中，有AB12AO2B1O2,所以以OA,OB,OBi分别为 x x, y y, z z 轴建立空间直角坐标系，如图所示,BC,B吟0B 0,0，2r设平面ABBi的一个法向量为

24、nx, y,z，则vuuvn ABvuuuvn AB131ax ay22一3. 3ax az2 20第2222页共 2121 页令x 1，则n 1/- 3,1,第2323页共 2121 页ir又平面BCBi的一个法向量为m 1,0,0,【点睛】用向量法求二面角的余弦值，属于中档题目1919 移动支付（支付宝及微信支付）已经渐渐成为人们购物消费的一种支付方式，为调查市民使用移动支付的年龄结构，随机对 100100 位市民做问卷调查得到2 2列联表如下:35岁以下（含貂岁）笳岁以上討使用移动支付4050不使用移动支付40合汁100（1 1）将上2 2列联表补充完整，并请说明在犯错误的概率不超过0

25、0. 1010 的前提下，认为支付方式与年龄是否有关？（2 2）在使用移动支付的人群中采用分层抽样的方式抽取1010 人做进一步的问卷调查， 从这 1010 人随机中选出 3 3 人颁发参与奖励，设年龄都低于 3535 岁（含 3535 岁）的人数为X, 求X的分布列及期望.惑k)(h 500. 40h 250. 150. 10050.血0* OLD(k M50. 001k0. 45570S1. 3232* 0722. ?063, 415. 0244. 6357. 87910, S2B2【答案】（1 1）列联表见解析，在犯错误的概率不超过0 0. 1010 的前提下，认为支付方式与12年龄有关

26、；（2 2）分布列见解析，期望为 .5【解析】（1 1）根据题中所给的条件补全列联表，根据列联表求出观测值，把观测值同临 界值进行比较，得到能在犯错误的概率不超过0 0. 1010 的前提下，认为支付方式与年龄有关.（2 2）首先确定X的取值，求出相应的概率，可得分布列和数学期望【详解】所以二面角B BiC A的余弦值为cos该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有利用线面垂直证明线性垂直,（参考公式：k2n ad bcabed aebd(其中n abed)第2424页共 2121 页（1 1）根据题意及2 2列联表可得完整的2 2列联表如下：3535 岁以下（含 3535 岁）353

27、5 岁以上合计第2525页共 2121 页使用移动支付404010105050不使用移动支付101040405050合计50505050100100其分布列为X1 12 23 3P81205612056120【点睛】独立性检验依据K2的值结合附表数据进行判断，另外，离散型随机变量的分布列，在求解的过程中，注意变量的取值以及对应的概率要计算正确，注意离散型随机变量的期望公式的使用，属于中档题目（1 1）求椭圆的标准方程;根据公式可得100 40 40 10 1050 50 50 5036 6.635，所以在犯错误的概率不超过0 0. 1010 的前提下，认为支付方式与年龄有关.（2 2）根据分层

28、抽样，可知3535 岁以下（含 3535 岁）的人数为 8 8 人，3535 岁以上的有 2 2 人,所以获得奖励的 3535 岁以下（含 3535 岁）的人数为X，则X的可能为 1 1, 2 2，3 3，且CTc；c5610，C；56G3。120EX1旦2竺3竺1212012012052 22020 .已知椭圆C :Xy7 1 (aa b0）的离心率为2，且以原点2O O 为圆心，椭圆C C 的长半轴长为半径的圆与直线X y 20相切.12第2626页共 2121 页UUUUUU UJIDUJID ，亠 求 QAQA QBQB 的值.(2(2)分直线的斜率存在是否为0 0 与不存在三种情况讨

29、论，写出直线的方程，与椭圆方 程联立，利用韦达定理，向量的数量积，结合已知条件求得结果【详解】(1(1)由离心率为2，可得eE E上 2 2 ,2a2，且以原点 O O 为圆心，椭圆 C C 的长半轴长为半径的圆的方程为X2y2a2,由于1(2(2)已知动直线 I I 过右焦点 F F，且与椭圆5C C 交于 A A、B B 两点，已知Q点坐标为(4,0)，2【答案】(1 1)L y21； (2 2)716【解析】(1 1)根据椭圆的离心率为得到c a，根据直线与圆的位置关系,2得到原心到直线的距离等于半径,得到a,2，从而求得b 1，进而求得椭圆的方程;第2727页共 2121 页716；由

30、x ty因与直线x0相切，则有.2，c故而椭圆方程为y21.(2(2)当直线I I的斜率不存在时,1,716；当直线I I 的斜率为 0 0 时,A -2,0当直线的斜率不为 0 0 时，设直线I I 的方程为xty1，A Xi,yi，B X2,y2，得t22 y22ty0，有，二y1y22t厂 51t22Q x1ty11，X2ty21,第2828页共 2121 页554 1 41.2 .1 ,1X1-, y1X2-, y2ty1ty2y2t 1 y2-t y1y2122 1 2 1,2 1 2 1 244444162111t2tt224 t2212t22 t217162 t221616，uu

31、v mv7综上所述：QA QB16【点睛】该题考查直线与圆锥曲线的综合问题，椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系,求向量数量积，在解题的过程中，注意对直线方程的分类讨论，属于中档题目22121 .已知函数f(x) bx 2ax 21 nx.(1)(1) 若曲线y f (x)在(1,f(1)处的切线为y 2x 4，试求实数 a a ,b的值；5(2)(2)当b 1时，若y f (x)有两个极值点 人,X2，且为 X X2,a-，若不等式f(捲)mx2恒成立，试求实数 m m 的取值范围.9【答案】(1 1)a b 6; (2 2)mln 2.8【解析】(1 1 )根据题意，求得f(1), f

32、(1)的值，根据切点在切线上以及斜率等于f(1),构造方程组求得a, b的值;(2(2)函数f x有两个极值点，等价于方程x2axf x.式f咅mx2恒成立，等价于m恒成立，x231h x x 2x 2xlnx,(0 x )，求出导数，判断单调性，即可得到h(x)的范围,2即m的范围. .【详解】(1 1)由题可知f 12 146b 2a,fx 2bx2a -Xf12b 2a 22，联立可得a b6.(2 2) 当b 1时，f x2x 2ax2lnx,fx 2x2a -r2/2 x ax 1XXQ fX有两个极值点X1,X2，且 X X1X2,X1,X2是方程X2ax 10的两个正根,1 0的两个正根 花,X2，不等f化)x12x-i2x1ln，令X2第2929页共 2121 页x-ix21,X2不等式f x1mx2恒成立，即m恒成立,X2f (Xi)X23XiXi【点睛】2xi2a 2lnxi2xiX22xilnxi,042 xix2x；2x1n5,xix222x 2xln x,(0上是减函数,该题考查的是有关导数的问题,i得xiXiXi3x22lnx9ln2，故89 ln2涉及到的知识点