2020届北京市西城区高三诊断性考试(二模)数学试题(解析版)

1、可得出结论第 1 1 页共 2020 页2020届北京市西城区高三诊断性考试（二模）数学试题一、单选题1 1 .设集合A XIx3，B xx 2k,k Z，则AI B（）A A.0,2B B.2,2C C.-2,0,2D D.2, 1,0,1,2【答案】C C【解析】求出集合A，利用交集的定义可得出集合AI B. .【详解】Q A XIx 3 x 3 x 3,B x x 2k,k Z，因此，AI B 2,0,2故选：c.c.【点睛】本题考查交集的计算，涉及了绝对值不等式的求解，考查计算能力，属于基础题. .2 2 .若复数 z z 满足z i 1 i,则在复平面内 Z Z 对应的点位于（）A

2、A .第一象限B B.第二象限C C .第三象限D D .第四象限【答案】A A【解析】 利用复数的除法运算将复数 z z 表示为一般形式，进而可判断出复数z z 在复平面内对应的点所在的象限. .【详解】因此，复数 z z 在复平面内对应的点位于第一象限. .故选：A.A.【点睛】本题考查复数对应的点所在象限的判断，涉及复数除法运算的应用，考查计算能力，属 于基础题. .3 3 下列函数中，值域为R且区间0,上单调递增的是（）A A.yx3B B.y x xc c.y x1D D.y、x【答案】B B【解析】 求出各选项中函数的值域，并判断出各函数在区间0,上的单调性，由此第2 2页共 20

3、20 页对于 C C 选项，函数y x1的值域为X X 0，且在区间0,上单调递减; 对于 D D 选项，函数y ,X的值域为0,，且在区间0,上单调递增 故选：B.B.【点睛】本题考查基本初等函数值域的求解，同时也考查了函数单调性的判断，考查推理能力， 属于基础题. .4 4抛物线x24y的准线方程是（）.Ay 1B.y 1Cx 1Dx 1【答案】B B【解析】Q抛物线x24y是焦点在y轴，开口向上的抛物线，且2p 4卫12准线方程为y 1故答案选B5 5在VABC中，若 a:b:ca:b:c 4:5:64:5:6 ，则其最大内角的余弦值为（）1133A A . -B B. 一C C.D D

4、 .84105【答案】A A【解析】 先根据大边对大角定理判断出VABC的最大角，再利用余弦定理求解即可【详解】对于 A A 选项，函数yx3的值域为R且区间0,上单调递减；对于 B B 选项，y x xx2,x 0,222，当x 0时，y x20;当x 0时，yx20. .x ,x 0【详解】所以，函数y xx的值域为R，且在区间0,上单调递增;第3 3页共 2020 页Q a:b:c 4:5:6，则C为VABC的最大内角，设a 4tt 0，则b 5t,c 6t,2 2 24t 5t 6t 12 4t 5t8故选：A.A.【点睛】由余弦定理得cosC2 2 2a b c2ab第4 4页共 2

5、020 页本题考查利用余弦定理求角的余弦值，涉及大边对大角定理的应用，考查计算能力，属于基础题 6 6 .设a30.2，b log32,c log0.23，则()A A.acbB B. a a b b c cC C.bc aD D .b a c【答案】 B B【解析】利用指数函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出a、b、c的大小关系【详解】指数函数y3x为R上的增函数，贝U a 30.2301;对数函数ylog3x为0,上的增函数，则log31 log32log33,即0 b 1；对数函数ylog0.2x为0,上的减函数，贝UC1043log/0. .因此，a ab b c.c.故选：B B

6、【点睛】值法来比较，考查推理能力，属于基础题7 7 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（B B. 4 4【答案】D D【解析】作出几何体的直观图，可知该几何体为四棱锥，求出四棱锥的底面积和高，可 求得该四棱锥的体积 【详解】 作出几何体的直观图如下图所示:本题考查指数式与对数式的大小比较,般利用指数函数、对数函数的单调性结合中间D0M第5 5页共 2020 页可知，该几何体为四棱锥P ABCD，且底面ABCD为直角梯形，其面积为1 2 2S3，2四棱锥P ABCD的高为h PD 2，11因此，该几何体的体积为VPABCD-Sh - 3 22. .33故选：D.D.【点睛】本题考查利用

7、三视图计算几何体的体积，一般要将几何体的直观图作出来，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题 8 8 .若圆 x x2y y24x4x 2y2y a a 0 0 与x轴，y轴均有公共点，贝 U 实数a的取值范围是()A A .(,1B B.(,0C C.0,)D D.5,)【答案】A A【解析】将圆的方程化为标准方程，根据题意得出关于a的不等式组，即可解得实数a的取值范围 【详解】将圆的方程化为标准方程得x 22y 125 a，由于该圆与x轴、y轴均有公共点，5 a 0则 盯2，解得a 1，因此，实数a的取值范围是,1. .1故选：A.A.【点睛】本题考查利用直线与圆的位置关系求参数，同时也要

8、注意利用一般方程表示圆时的等价第6 6页共 2020 页条件，考查计算能力，属于中等题r rr9 9 .若向量a与b不共线，则ar a是”Or17的第7 7页共 2020 页C C .充要条件D D .既不充分也不必要条件【答案】A A【解析】 根据平面向量数量积的运算结合充分条件、必要条件的定义判断即可【详解】r r由于向量a与b不共线，当r r ra b a，本题考查充分不必要条件的判断，涉及平面向量数量积的应用，考查推理能力，属于中 等题 x 1 ex，若关于x的不等式 f f X X axax 1 1 有且仅有一个整数解,则正数a的取值范围是（）2A A.0,eB B.0,e【答案】D

9、 D【解析】利用导数分析函数yx的单调性与极值，作出函数yy ax 1的图象，根据图象和整数解的个数得出关于实数a的不等式组，即可求得实数a的取值范围. .【详解】Q f x x 1 ex,f x xex，令f x 0，得x 0,列表如下:x,00 00,f x0 0A A .充分而不必要条件B B 必要而不充分条件r2a同理可得r r右 a ab b,rbr a”o rb Jar r2r2r rr2r2rr rJa ba 2a b b aa，则a ba，同理r br br aHI二理同所以，2 ar a2是o rb aa b”的充分不必要条件1010 设函数f x2r b睛占第8 8页共 2

10、020 页f x极小值Z所以，函数y f x的单调递减区间为,0，单调递增区间为0,则函数y f x在x 0处取得极小值，且极小值为f 01，如下图所示:1当 a a 0 0 时，由于直线y ax 1与x轴的负半轴交于点，0,a1当x -时，关于x的不等式 f f x x axax 1 1 有无数个整数解，不合乎题意a综上所述，实数a的取值范围是故选：D.D.【点睛】本题考查利用函数不等式整数解的个数问题求参数，考查数形结合思想的应用，属于中等题 、填空题当a 0时，若关于x的不等式fx x axax1有且仅有一个整数解，则f 1 a 1f 2 2a1解得1 a1 e22第9 9页共 2020

11、 页1111.设平面向量a 1, 2,b k,2满足 a a b b，则b_.【答案】2 5【解析】利用垂直向量的坐标表示求出实数k的值，利用向量模的坐标公式可求得b的故答案为：2、5. .【点睛】本题考查利用向量垂直求参数，同时也考查了利用坐标计算向量的模，考查计算能力， 属于基础题. .2 21212 若双曲线 笃红1 a 0经过点2,0，则该双曲线渐近线的方程为 _ .a 16【答案】y 2x【解析】将点2,0的坐标代入双曲线的方程，求出实数a的值，进而可得出该双曲线的渐近线方程 【详解】一4将点2,0的坐标代入双曲线的方程得1,Q a 0，可得a 2,a2 2所以，双曲线的方程为 I

12、1，因此，该双曲线的渐近线方程为y 2x. .416故答案为：y 2x. .【点睛】本题考查利用双曲线的标准方程求渐近线方程，考查计算能力，属于基础题. .1313 甲、乙、丙、丁四人参加冬季滑雪比赛，有两人获奖 在比赛结果揭晓之前，四人的猜测如下表，其中v表示猜测某人获奖，x表示猜测某人未获奖，而C则表示对某人是否获奖未发表意见 已知四个人中有且只有两个人的猜测是正确的，那么两名获 奖者是. .甲获奖乙获奖丙获奖丁获奖2rbrk k 4 40 0，得k 4，则b 4,2-52匕止因第1010页共 2020 页甲的猜测VXXV乙的猜测XOOV丙的猜测XVXV丁的猜测OOVX【答案】乙、丁【解析

13、】本题首先可根据题意中的 四个人中有且只有两个人的猜测是正确的”将题目分为四种情况，然后对四种情况依次进行分析，观察四人所猜测的结果是否冲突，最后即 可得出结果 【详解】从表中可知，若甲猜测正确，则乙，丙，丁猜测错误，与题意不符，故甲猜测错误；若 乙猜测正确，则依题意丙猜测无法确定正误，丁猜测错误；若丙猜测正确，则丁猜测错 误；综上只有乙，丙猜测不矛盾，依题意乙，丙猜测是正确的，从而得出乙，丁获奖 所以本题答案为乙、丁 . .【点睛】本题是一个简单的合情推理题， 能否根据四个人中有且只有两个人的猜测是正确的 ”将 题目所给条件分为四种情况并通过推理判断出每一种情况的正误是解决本题的关键，考查推

14、理能力，是简单题 1414 .在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是正方形，PA底面ABCD ,PA AB 4，E、F、H分别是棱PB、BC、PD的中点，对于平面EFH截四棱锥P ABCD所 得的截面多边形，有以下三个结论：1截面的面积等于4、.6；2截面是一个五边形；3截面只与四棱锥P ABCD四条侧棱中的三条相交.其中，所有正确结论的序号是 _.【答案】【解析】取CD的中点G,PA的四等分点I，顺次连接E、F、G、H、I，则平 面EFGHI即为过E、F、H的平面截四棱锥P ABCD所得截面， 计算出截面面积，根据截面形状可判断命题 的正误 第1111页共 2020 页【详解】 取CD的中点

15、G,PA的四等分点I，顺次连接E、F、G、H、I,则平面EFGHI即为过E、F、H的平面截四棱锥P ABCD所得截面，如下图所示:在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是正方形，PA底面ABCD，PA AB 4，1 1 QE、F分别为PB、BC的中点，EF/PC且EF PC 2.3，2Q EF平面EFH，PC平面EFH，PC/平面EFH，Q PC平面PCD，平面PCD I平面EFH GH，GH /PC，AQ H为PD的中点， G G 为CD的中点，GH - PC23，同理可得EH/BD/FG，且EH FG - BD 2.2，2Q PA平面ABCD，BD平面ABCD，BD PA，所以，截面面积为4

16、 6.65.6，命题错误;该截面是一个五边形，命题 正确;由图可知，截面与四棱锥P ABCD侧棱PA、PB、PD相交，命题 正确 故答案为： 【点睛】本题考查的知识点是棱锥的几何特征，与棱锥相关的面积和体积计算，确定截面的形状是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题QPAIACA，BD平面PAC，Q PC平面PAC，BD PC,则EFEH，所以，四边形EFGH为矩形，其面积为EF EH2 3 2 2 4 6，设FG I ACM，BD IACN，则M为CN的中点，N为AC的中点，1Q四边形ABCD为正方形，则BD AC，VIEH的边EH上的高为IM MJ 33 2 33，IJVIEH的面

17、积为SVIEH-EH IJ - 2、236. .2 2第1212页共 2020 页三、 双空题. 21515 .设函数f x sin2x 2cos x，则函数f x的最小正周期为 _ ；若对于任意x R，都有f X m成立，则实数m的最小值为 _.【答案】2 1【解析】利用三角恒等变换思想化简函数y f x的解析式，利用正弦型函数的周期公式可求得该函数的周期，求出函数y f x的最大值，可求得实数m的最小值. .【详解】f x sin 2x 2cos2x sin 2x cos2x 14所以，函数y f x的周期为T ,2函数y f x的最大值为f x. 21,由于对于任意x R，都有f x m

18、成立，则m f x42 1. .max因此，实数m的最小值为21. .故答案为：;、.、2 1. .【点睛】本题考查正弦型函数周期的计算，同时也考查了利用不等式恒成立求参数，解答的关键就是利用三角恒等变换思想化简函数y f x的解析式，考查计算能力，属于中等题四、 解答题1616 .如图，在几何体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的正方形，DE平面ABCD,DE/BF，且DE 2BF 2.第1313页共 2020 页(I)求证：平面BCF /平面ADE;(H)求钝二面角D AE F的余弦值.1【答案】(I )详见解析；(n)丄.3【解析】(I )推导出BF/平面ADE,BC/平面ADE，利

19、用面面平行的判定定理可证明出平面BCF/平面ADE；【详解】同理，得BC/平面ADE.ADE;则D 0,0,0、E 0,0,2、ujivuuv所以AE 2,0,2,AFF 2,2,1、A 2,0,0,DE两两垂直，(n)分别以DA、DC、DE为x轴、y轴、z z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可计算出钝二面角D AE F的余弦值.(I )因为DE/BF,DE平面ADE,BF平面ADE，所以BF/平面ADE.又因为BCI BF B,BC平面BCF,BF平面BCF，所以平面BCF/平面第1414页共 2020 页0,2,1,第1515页共 2020 页平面ADE的一个法向量rm0,1,0/

20、v vm n11cos(m, nrmn1 33，因此， 钝1面角DAE F的余弦值为13【点睛】算能力，属于中等题这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并完成解答. 在数列耳中，a11,，其中n N*.（I）求an的通项公式；（n）若a1,an,am成等比数列，其中m,n N,且m n 1，求m的最小值. 【答案】 选择：（I）an2n1 （n N*）；（ n ） 5 5.选择：（I ） a an3n3n 2 2（n n N N ） ; （ n ） 6 6. 选择：（I）an2n 1（n N*）； （ n ） 5 5.【解析】（I）选择，由a1S）求得P的值，再由an的通项公式;选择，可知

21、数列an是等差数列，求出公差d的值，进而可求得数列an的通项公 式；（n ）由a2a1am可得出m关于n的表达式，进而可求得m的最小值.【详解】选择：（I）当n 1时，由a S 1 P 1,得P 0. .2当n 2时，由题意，得snn 1，所以anSnSi12n 1 n 2.经检验，ai1符合上式，所以an2n 1 n N；设平面AEF的法向量vx,y,z，由uuvvAE nuuvvAF n0，得2x 2z 00 2y z 0令y1,则z 2,x 2，得v2,1, 2本题考查面面同时也考查了利用空间向量法求解二面角的余弦值,考查计21717 从前n项和 S Snn np p (p(p R)R)

22、，ana. i3，a611且2an iana. 2,SnSh1n 2可求得数列an选择，可知数列an是以3为公差的等差数列，进而可求得数列an的通项公式;第1616页共 2020 页2（n）由ai、an、am成等比数列，得a：，即2n 11 2m 1.“ /2121化简，得m 2n 2n 12 n -一，2 2因为m、n是大于1的正整数，且m n，所以当n 2时，m有最小值5.选择：（I ）因为anan 13，所以an 1an3.所以数列an是公差d 3的等差数列. .所以ana一n 1 d 13 n 1 3n 2 n N；2（n）由a1、an、am成等比数列，得a；a，即3n 21 3m 2

23、.2化简，得m 3n24n 23 n22，33因为m、n是大于1的正整数，且m n，所以当n 2时，m取到最小值6;选择：（1）由2an1anan2，得an 1anan 2an 1，所以数列an是等差数列，设等差数列an的公差为d，又因为印1,a印5d 11,所以d 2. .所以务a一n 1 d 2n 1 n N；22（n ）因为a1、an、am成等比数列，所以a.a，即2n 11 2m 1.“ / 2121化简，得m 2n 2n 12 n -，2 2因为m、n是大于1的正整数，且m n，所以当n 2时，m有最小值5.【点睛】本题考查等差数列通项公式的求解，同时也考查了等差数列基本量的计算，考

24、查计算能力，属于中等题 1818 .某花卉企业引进了数百种不同品种的康乃馨，通过试验田培育，得到了这些康乃馨种子在当地环境下的发芽率，并按发芽率分为8组：0.486,0.536、0.536,0.586、L、0.836,0.886加以统计，得到如图所示的频率分布直方图企业对康乃馨的种子进行分级，将发芽率不低于0.7360.736 的种子定为“A级”，发芽率低于 0.7360.736 但不低于0.6360.636 的种子定为B B 级”，发芽率低于 0.6360.636 的种子定为“C级”第1717页共 2020 页(n)该花卉企业销售花种，且每份“A级”、B级”、C级”康乃馨种子的售价分别 为2

25、0元、15元、10元某人在市场上随机购买了该企业销售的康乃馨种子两份，共花费X元，以频率为概率，求X的分布列和数学期望；(川)企业改进了花卉培育技术，使得每种康乃馨种子的发芽率提高到原来的1.1倍,那么对于这些康乃馨的种子，与旧的发芽率数据的方差相比，技术改进后发芽率数据的方差是否发生变化？若发生变化，是变大了还是变小了？(结论不需要证明)【答案】(I )0.8; ( n )分布列详见解析，数学期望为3131； (m )方差变大了.直方图以及对立事件的概率公式可求得所求事件的概率；(n)由题意可知，随机变量X的可能取值有20、25、30、3535、40，计算出随机变量X在不同取值下的概率，由此

26、可列出随机变量X的分布列，进而可求得随机变量X的数学期望；(m )根据离散型随机变量方差的性质可得出结论【详解】(I )设事件M为：从这些康乃馨种子中随机抽取一种，且该种子不是C级”种子”由图表，得0.4 1.2 a 4.0 6.0 4.4 1.2 0.40.05 1，解得a 2.4,由图表，知C级”种子的频率为0.4 1.2 2.40.05 0.2,故可估计从这些康乃馨种子中随机抽取一种，该种子是C级”的概率为0.2因为事件M与事件 从这些康乃馨种子中随机抽取一种，且该种子是C级”种子”为对立事件，C级”种子的概率;【解析】(I)利用频率分布直方图中矩形面积之和为1，求出a的值，再结合频率分

27、布第1818页共 2020 页所以事件M的概率P M 1 0.2 0.8；(n )由题意，任取一颗种子，恰好是“A级”康乃馨的概率为第1919页共 2020 页4.4 1.2 0.40.05 0.3,恰好是B级”康乃馨的概率为4.0 6.0 0.05 0.5,恰好是C级”的概率为0.4 1.2 2.40.05 0.2.随机变量X的可能取值有20、25、30、3535、40,且P X 200.220.04，P X 252 0.5 0.2 0.2，P X300.522 0.3 0.2 0.37，P X 350.3 0.5 2 0.3,P X400.320.09. .所以X的分布列为：X202530

28、353540P0.040.20.370.30.09故X的数学期望E X 20 0.04 25 0.2 30 0.37 35 0.3 40 0.09 31.(川)与旧的发芽率数据的方差相比，技术改进后发芽率数据的方差变大了.【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，同时也考查了离散型随机变量分布列及数学期望的计算，考查计算能力，属于中等题 . .1b 0的离心率为一，右焦点为F，点A a,0,2且AF 1.(I)求椭圆C的方程;(n)过点F的直线I(不与x轴重合)交椭圆C于点M、N，直线MA、NA分别与直线x 4交于点P、Q，求PFQ的大小.2 2【答案】(I ) 1； ( n)PFQ 90o.43

29、【解析】(I)由已知条件求得a、c的值，进而可得出b的值，由此可得出椭圆C的方程；1，设点M人，、N X2,y2,将直线l的方程与2 2x y1919 .已知椭圆C21 aa b(n)设直线|的方程为x ty90，i第 i i2020页共 2020 页椭圆C的方程联立,列出韦达定理，并求出点P、Q的坐标，计算出FP、背的坐标,uuu uuur并计算出FP FQ，由此可得出PFQ的大小. .【详解】c(i)由题意得a|AF，解得a 2，c i，从而b,a2acyxi,yi、N X2,y2，2所以椭圆C的方程为x联立x2ty i2y3，消去x得3t24 y2i6ty 90，则144 t2i 0恒成

30、立,由韦达定理得yiy26t3t242一；，yiy2设点P 4,muuur，AMxi2,yityi923t24uuui,yi，AP 2,m，,uuuu,uuuu UUIUUUIU 由AMAM / APAP得2yityi可得m2yii，即点P4, ,彩彩同理可得点Q4uuuFPtyiiuuurFQ3，严严，ULUFPuuuFQ9沁tyii ty24yM2t %y2t yiy219t23t24363t246t23t24因此，PFQ90o. .90，i第 i i2121页共 2020 页第2222页共 2020 页【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了椭圆中角的计算，涉及平面向量数量积以及韦达

31、定理设而不求法的应用，考查计算能力，属于中等题X2020 .设函数f x ae cosx，其中a R.（I）已知函数f x为偶函数，求a的值；当x 0时,(n)若 a a1 1，证明：当x0时，f x 2；（川）若fx在区间0,内有两个不同的零点，求a的取值范【答案】（I ）0 0 ； （ n）详见解析；（川）34【解析】（I ）利用偶函数的定义f xx，化简后可得实数a的值;（n ）利用导数分析函数y f x在0,上的单调性，进而可证得f x（川）令f x 0得acosx，令h xecos x-，利用导数分析函数ye区间0,上的单调性与极值，利用数形结合思想可求得实数a的取值范围 【详（I

32、）函数x为偶函数，所以f xxx，即ae cos xxae整理得a e0对任意的x R恒成立,(n )当 a a 1 1 时,excosx,sinx,Q x 0，则1 si nx 1,sinx所以，函数fcosx在0,上单调递增,第2323页共 2020 页（川）由f xxaecosx 0，得acosxx,e设函数h xcos xxe0,sin x cosx2 sin x，令hx 0，得随着x变化，h h x x 与h x的变化情况如下表所第2424页共 2020 页x0,343434，h h x x0 0h xZ极大值3所以，函数y h x在0,上单调递增，在4求解函数的零点个数问题，考查推理能力与数形结合思想的应用，属于中等题两个条件：1对任意 x x 0,1000,100，存在k使得 X X I Ik；2对任意 k k 1,2,L,N1,2,L,N，存在 X X 0,1000,100，使得 x x I Ii(其中i 1,2,L ,k 1,k 1,L ,N).k k34上单调递减.又因为h 01,h3e,h e4厶即，且he：2h 0，如下图所内有两个不同解,因此，所求实【点睛】利用导数证明函数不等式,同时也考查了利用导数2121 .设N为正整数，区间I Ika,aa,ak11（其中 a akR R ,k 1,2,L , N