2020届北京市朝阳区高三下学期二模考试数学试题

1、第1页北京市朝阳区高三年级高考练习二数 学2020.2020.6 6(考试时间 120120 分钟满分 150150 分)本试卷分为选择题(共 4040 分)和非选择题(共 110110 分)两部分考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回第一部分(选择题共 4040 分)、选择题共 1010 小题，每小题 4 4 分，共 4040 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。(1)在复平面内，复数i(1+i)对应的点位于(A A) 第一象限(B B)第二象限(C C) 第三象限(D D)第四象限(2)(2) 函数f xln xx 1的定义域为

2、(A)(A)(0,(0,) )(B)(B)(0,1)U(1,)(C)(C) 0,0,) )(D)(D)0,1)U(1,)(3)(3) 若a,b,cR且ab c，则下列不等式疋成立的疋(A A)2acbc212 2(B B)a b2c(C C)a c2b(D D)a c bc(4(4)圆心在直线x xy y0 0上且与y轴相切于点(0,(0, 1)1)的圆的方程是(A A)(x(x 1)1)2(y(y1)1)21 1(B B) (x(x 1)1)2(y(y1)1)21 1(C C)(x(x 1)1)2(y(y 1)1)22 22(D D) (x(x 1)1)(y(y1)1)22 2(5)直线l过

3、抛物线y22x的焦点F,且I与该抛物线交于不同的两点A(X1,yJ，B(x2, y2)若为x23，则弦AB的长是(A A)4( B B)5(C C)6( D D)8(6)设等差数列an的公差为d，若bn2an，则“d 0”是“bn为递减数列”的(A A)充分而不必要条件(B B)必要而不充分条件(C C)充分必要条件(D D )既不充分也不必要条件(7)已知函数f(x)= sin(2x-n)，则下列四个结论中正确的是6(A A)函数f(x)的图象关于(士,0)中心对称12第2页(B)函数f(x)的图象关于直线x= -n对称8(C)函数f (x)在区间(-(-n n 内有4个零点(D)函数f (

4、x)在区间卜n,0上单调递增2(8(8)圭表(如图 1 1)是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿(称为“表”)和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺(称为“圭”)当正午太阳照射在表上时， 日影便会投影在圭面上， 圭面上日影长度最长的那一天定为冬至， 日影长度最短的那一 天定为夏至.图 2 2 是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角(即ABC)为 26.526.5，夏至正午太阳高度角(即ADC)为 73.573.5。，圭面上冬至线与夏至线之间的距离(即DB的长)为a，则表高(即AC的长)为(第 8 8 题图)oo(C

5、)(C)a tan 26.5 tan 73.5 tan 47on(9)在平行四边形ABCD中，A= 3,AB=2,AD1，若M，N分别是边BC,CD上的点，且UUUrUULT满足LBUF-!LCU-J， 贝yAMIAN的最大值为|BC| |CD|(A A) 2 2( B B) 4 4(10(10)设函数f(x)的定义域为D，如果对任意xiD,为常数)成立，那么称函数f(x)在D上具有性质f (x) 3x；f (x) 3x；(C C) 5 5(D D) 6 6都存在唯一的xD，使得f(xi) f(X2) m( m mm现有函数：f(x) log3x；f(x) tan x其中，在其定义域上具有性质

6、m的函数的序号是夏至冬至(A(A) )asin532sin 47o(B(B)2sin 47oa sin53o(D)(D)ooasin26.5 sin73.5sin 47o第3页(A)(B B)（第 1515 题图）（D）第二部分（非选择题 共 110110 分）、填空题共 5 5 小题，每小题 5 5 分，共 2525 分。(11(11)已知平面向量a (m,3),b (1,6)，若a P b，则m _（1212）在（JX丄）6的展开式中，常数项为 _（用数字作答）x（第 1313 题图）（1414） 已知双曲线C的焦点为F1（0,2）,F2（0, 2）,实轴长为 2 2,则双曲线C的离心率是

7、_ ;若点Q是双曲线C的渐近线上一点，且FQF?Q，则QF1F2的面积为_.CC（1515） 颗粒物过滤效率 是衡量口罩防护效果的一个重要指标，计算公式为弋巴100%，其中CoutCout表示单位体积环境大气中含有的颗粒物数量（单位：in d./ L）,Cin表示经口罩过滤后，单位体积气体中含有的颗粒物数量（单位：ind./ L）.某研究小组在相同的条件下，对两种不同类型口罩的颗粒物过滤效率分别进行了4 4 次测试，测试结果如图所示.图中点Aj的横坐标表示第i种口罩第 j j 次测试时Cout的值，纵坐标表示第i种口罩第 j j 次测试时Cn的值（i 1,2, j 1,2,3,4）.Cjuul

8、/L) 4口加* AHc第 3 页该研究小组得到以下结论:（C C）（1313） 某四棱锥的三视图如图所示,1,那么该四棱如果网格纸上小正方形的边长为IL_卜_J._Lr!第5页1在第 1 1 种口罩的 4 4 次测试中，第 4 4 次测试时的颗粒物过滤效率最高；2在第 2 2 种口罩的 4 4 次测试中，第 3 3 次测试时的颗粒物过滤效率最高；3在每次测试中，第 1 1 种口罩的颗粒物过滤效率都比第2 2 种口罩的颗粒物过滤效率高；4在第 3 3 次和第 4 4 次测试中，第 1 1 种口罩的颗粒物过滤效率都比第2 2 种口罩的颗粒物过滤效率低.其中，所有正确结论的序号是 _ .注：本题给

9、出的结论中，有多个符合题目要求.全部选对得 5 5 分，不选或有错选得 0 0 分，其他得 3 3 分.三、解答题共 6 6 小题，共 8585 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。(1616)(本小题 1414 分)已知an是公差为d的等差数列，其前n项和为Sn,且a51 , _若存在正整数n，使得Sn有最小值.(I)求an的通项公式；()求Sn的最小值.从a31，d 2，d 2这三个条件中选择符合题意的一个条件，补充在上面问题中并作答.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分第6页(17(17)(本小题 1414 分)如图，在五面体ABCDEF中，面ABCD是正方形,?EDC

10、n. .3(I)求证：ADA平面CDEF；(n)求直线BD与平面ADE所成角的正弦值；(川)设M是CF的中点，棱AB上是否存在点G, 使得MG/平面ADE?若存在，求线段AG的长；若不存在，说明理由.(18(18)(本小题 1414 分)近年来，随着5G网络、人工智能等技术的发展，无人驾驶技术也日趋成熟为了尽快在实际生活中应用无人驾驶技术，国内各大汽车研发企业都在积极进行无人驾驶汽车的道路安全行驶测试.某机构调查了部分企业参与测试的若干辆无人驾驶汽车，按照每辆车的行驶里程( (单位：万公里) )将这些汽车分为4组:5,6),6,7),7,8),8,9并整理得到如下的频率分布直方图：(I)求 a

11、 a 的值；(n)该机构用分层抽样的方法，从上述4组无人驾驶汽车中随机抽取了10辆作为样本.从样本中行驶里程不小于7万公里的无人驾驶汽车中随机抽取2辆，其中有X辆汽车行驶里程不小于8万公里，求X的分布列和数学期望;(川)设该机构调查的所有无人驾驶汽车的行驶里程的平均数为驾驶汽车中随机抽取10辆作为样本，其行驶里程的平均数为1；若用简单随机抽样的方法从上述无人驾驶汽车中随机抽取10辆作为样本，其行驶里程的平均数为2.有同学认为ADADE,AD= 4,DE = EF = 2，且0若用分层抽样的方法从上述4组无人第7页你认为正确吗？说明理由.(19(19)(本小题 1414 分)(n)已知过点P(4

12、,0)的直线I与椭圆C交于不同的两点A,B，与直线x 1交于点Q，设uuiruuuAQ QB (,R)，求证：为定值.(2(2 0 0)(本小题 1515 分)已知函数f(x) 2sinx xcosx ax (a R).(I)若曲线y f (x)在点(0, f (0)处的切线的斜率为1.(i)求a的值；(ii)证明：函数f(x)在区间(0,n内有唯一极值点；(n)当a 1时，证明：对任意x (0,n, f(x)f(x)0 0 .(2121)(本小题 1414 分)设集合A 3,比43,印，其中 ,a?,a3,是正整数，记SA a?比 印.ajA(1 i j 4),若存在整数k,满足k(a a)

13、SA,则称a,a整除SA,设皿是满足a,的数对(i, j) (i j)的个数.(I)若A 1,2,4,8,B 1,5,7,11，写出皿，血的值；(n)求nA的最大值；2已知椭圆C:乡a(I)求椭圆C的方程；2y1(a b b0)的离心率为，且椭圆2uuu uuuAP PB,对于a,aj整除SAC经过点第8页(川)设A中最小的元素为 a a,求使得nA取到最大值时的所有集合A.第9页第一部分（选择题共 4040 分）、选择题（共 1010 小题，每小题 4 4 分，共 4040 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）（I I） B B（ 2 2）B B（ 3 3）D D（ 4 4

14、）A A（ 5 5）A A（6 6）C C（ 7 7）C C（ 8 8）D D（ 9 9）C C（ 1010）A A第二部分（非选择题共 110110 分）、填空题（共 5 5 小题，每小题 5 5 分，共 2525 分）1（IIII） （ 1212）15（ 1313）122（1414）2；2 3（ 1515）三、解答题（共 6 6 小题，共 8585 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）（1616）（本小题 1414 分）解：（不可以选择作为补充条件 . .）选择作为补充条件 解答如下：（I）因为a51,aa1，所以d 1.所以an1 （n 5） 1 n 4（n N ）.（n）由（I

15、）可知a 3.所以Sn：和和1n（n 7）.因为n N，所以当n 3或4时，Sn取得最小值，最小值为6.故存在正整数n 3或4，使得Sn有最小值，最小值为6.选择作为补充条件北京市朝阳区高三年级高考练习二数学参考答案2020.2020. 6 61414第10页解答如下：（I）因为a51,d 2,所以an1 (n 5) 2 2n 9 (n N ).(n)由(I)可知a,7.所以Snn(a,a.)2n28n.所以当n 4时,Sn取得最小值，最小值为16.故存在正整数n 4，使得Sn有最小值，最小值为16.（1717）（本小题 1414 分）解：（I）因为ABCD是正方形，所以ADACD又因为ADA

16、DE,DEi平面CDEF,CDi平面CDEF,CD I DE = D,所以ADA平面CDEF.4 4 分(n) 由（I）知，ADA平面CDEF, ,所以平面ABCDA平面CDEF.过点E作EOA CD， 垂足为O, 则OEA平面ABCD.在平面ABCD内，过O作OHACD,则OEAOH.如图建立空间直角坐标系O- xyz,因为AD =扌，所以DO=1,OE=3.则A(4,- 1,0),B(4,3,0),C(0,3,0),D(0,- 1,0),E(0,0,. 3),uuuuunuur所以AD = (- 4,0,0),AE= (- 4,1, . 3),BD = (- 4,- 4,0).设平面、uu

17、u加n?AD则 /uun?n?AE令y 3,ADE0,0.的一个法向量为n = （x, y, z）,4x = 0,4x+ y + . 3z= 0.1，于是n= (0, 3,- 1).设直线BD与平面ADE所成角为q,第11页所以直线BD与平面ADE所成角 的正弦值为6. 1010 分4(川)棱AB上存在点G，使得MG/平面ADE，此时AG= 3理由如下：因为DC/AB,DC?平面ABFE,ABi平面ABFE,所以DC/平面ABFE因为DCi平面DCFE，平面DCFEI平面ABFE = EF,所以DC/EF5&由(H)知，F(0,2, ,3),M(0,5,).2 2、uuuuuu5J J

18、3 3设G(4, y1,0) (- 1#y13)，则 MGMG = = (4,(4, y y1- - , , - -) ) 2 2 2 2由(n)知，平面ADE的一个法向量为n =(0, .3,-1)uuul5若MG 平面ADE，则MG?n 0,即、3( y1-)+= 0,解得y1= 2，即G (4,2,0)2 2经验证，此时MG/平面ADE所以棱AB上存在点G,使得MG/平面ADE,此时AG= 3(1818)(本小题 1414 分)解：(I)由题意知，1 (0.1 0.2 0.4 a) 1，所以a 0.3分(n)4组无人驾驶汽车的数量比为1:243，若使用分层抽样抽取10辆汽车,则行驶里程在

19、7,8)这一组的无人驾驶汽车有10 4辆,10行驶里程在8,9这一组的无人驾驶汽车有10 3辆.10由题意可知，X的所有可能取值为0,1,2所以X的分布列为X012P241uun则sinq= |cos |=uuu|n BD |tiuu =|n |BD|4/3 = 4624/241414 分P(X0)C72P(X1)c；cP(X 2)C；第12页777第13页241所以X的数学期望E(X) 0 -1- 2-777(川)这种说法不正确.理由如下:1111由于样本具有随机性，故1，-是随机变量，受抽样结果影响.因此有可能1更接近0，也有可能-更接近0,所以|01| |0-|不恒成立.所以这1414(

20、19(19)(本小题 1414 分)解：(I)由题意可知(f)21,得b22,a22 2所以椭圆C的方程为1.42分(n)由题意可知，直线l的斜率存在，设直线丨的方程为y k(x 4).y k(xx 14),得1,所以Q(1,3k).k(x2y244得2(kx 4k)24. .整理得(1 2k2)x216k2x (32k24) 0. .则x-ix216k2-,x21 2k2232k241 2k2uuu因为APuuu uurPB,AQuuu uuuQB且APuuu(4为，yj,PB(X24, y2),第14页故此时f (x)在区间(n,n内有唯一极大值点X0.2所以因为0. .(20(20) (

21、本小题f (X)值点;UULTAQ (1 3k yj,uuuQB (x21,y23k),4 x11 x1x24 x215(x1x2) 2X1X28(X24)(x1)5(xiX2)1515 分)2cosx(cosx2x1x280k2(4 xJ(X21) (1人)化4)(X216k21 2k2264k81 2k2cosx xsinx a.4)(X21)81 2k216k20,1414 分f (x) 2sin x xcosx ax因为曲线y f (x)在点(0, f (0)处的切线的斜率为所以f (0) 1，即1 a 1,故a 0.经检验，符合题意.(ii ) )由(i)可知f (x) 2sin x

22、 xcosx,f (x)设g(x) f (x)，则g (x) xcosx.令g (x)0，又X (0,n，得Xn，、八当x (0,-)时，g (X)0；当Xn所以g(x)在(0,)内单调递增，在2又g()1,g(n)nn因此，当X (0,-时,当x(亍，n时，g(x)n且易知当x(2必)时,1,cosx xsinx.,g(n可,n时,g(x) 0,n(,n内单调递减.2g(x) g(0)0,即f (x)0,此时0有唯一解X0，即f (x) 0有唯一解f (x)0，当X (X0,n时，f (x)f (x)在区间(0,-上无极2X0,第15页综上可知，函数f(x)在区间(0,n内有唯一极值点.10

23、10 分(n) 因为f (x) cosx xsinx a，设h(x) f (x)，则h (x) xcosx.令h(x) 0,又x (0,n，得x二且当x (0,n)时，h(x) 0；当x (- , )时，h(x) 0,2 2 2所以f (x)在(0,)内单调递增，在(匸，n内单调递减.2 2当a 1时，f (0)1 a 0,f () a 0,f ( )1 a.2 2(1 1 )当f ( )1a0，即a 1时，f (x)0.此时函数f (x)在(0,n内单调递增，f (x) f (0)0；(2 2)当f ( )1a0，即1 a 1时，因为f (0)1 a 0,f ( ) a 0,2 2所以，在(0,n)内f(X)0恒成立，而在区间(-,