2020届云南省楚雄彝族自治州高三上学期期中数学(理)试题(解析版)

1、第1 1页共 1919 页2020 届云南省楚雄彝族自治州高三上学期期中数学(理)试一、单选题21 1 已知集合A xx 3,B 2, 1,0,1,2,3，则AI B()A A 1,0,1B B.2,2,3C C 2,3D D 3【答案】B B【解析】先化简集合A，再求交集，即可得出结果 【详解】因为Axx23 xx43或x爲,B 2, 1,0,1,2,3,所以AI B 2,2,3. .故选：B.B.【点睛】本题主要考查集合交集的运算，熟记概念即可，属于基础题型2 2 .已知复数 z z 1 1i i，则Z()zA辺22 2B B 巨 didi2 2C C 1 iD D 1 1【答案】A A【

2、解析】 先求出共轭复数，以及复数的模，再由复数的除法，即可得出结果【详解】因为 z z 1 1 i i，所以Z 1 i,Z2,Z &2 1 i 5 1 i &所以i. .z 1 i 1 i 1 i222故选：A.A.【点睛】本题主要考查复数的运算，熟记共轭复数的概念，复数模的计算公式，以及复数的除法运算法则即可，属于基础题型 . .第2 2页共 1919 页3 3某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150, 120120 ,180,150个销售点. .公司为第3 3页共 1919 页了调查产品销售情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为的方法抽取样本，则丙地区抽取的销售点比乙

3、地区抽取的销售点多（【答案】根据题意，先确定抽样比，再由题中数据，即可得出结果【详解】故选：A.A.【点睛】4 4.已知向量aA A .充分不必要条件B B .必要不充分条件C C .充要条件D D .既不充分也不必要条件【答案】A A【解析】 先由向量共线，得到m,6，再由充分条件与必要条件的概念，即可得出结果 【详解】当a与b共线时，m26 0， 即m , 6， 由m 6可以推出a与b共线， 但a与b共线不能推出m ,6，因此，m .6”是a与b共线”的充分不必要条件 故选：A.A.【点睛】本题主要考查由向量共线求参数，以及充分不必要条件的判定，熟记向量共线的坐标表示，以及充分条件与必要条

4、件的概念即可，属于基础题型5 5 .甲、乙、丙三家企业产品的成本分别为1000010000，1200012000，1500015000，其成本构成如下图所示，则关于这三家企业下列说法错误的是（）60的样本. .按照分层抽样B B.8个C.10个D D .12个【解由题抽样比为：-601；600 10因此丙地区抽取的销售点比乙地区抽取的销售点多180 120110本题主熟记分层抽样的概念即可，属于基础题型第4 4页共 1919 页A A 成本最大的企业是丙企业B B.费用支出最高的企业是丙企业C C支付工资最少的企业是乙企业D D 材料成本最高的企业是丙企业【答案】C C【解析】 直接根据图中数

5、据计算对应结果即可求出结论.【详解】解：甲企业支付工资为：10000 35% 3500；乙企业支付工资为：12000 30% 3600；丙企业支付工资为：15000 25% 3750;故甲企业支付的工资最少.故选：C.【点睛】本题主要考查根据图表分析解决问题，是对基础知识的考查，关键是理解题中数据，属 于基础题.6 6 .在VABC中，角A,B,C所对的边分别为b2c2a2bc，则VABC外接圆的面积为（）【答案】B B【解析】 根据正弦定理，再由bsinA 3sinB,求出a 3；再根据余弦定理，求出A ，进而可求出外接圆半径，得出外接圆面积3【详解】ab因为bsin A 3sin B，又，

6、即bsin Asi nA si nBa,b,c. .若bsin A 3sin B,A A .2 ,3B B.3C C.6D D. 1212asin B,所以a 3,cosA2bc12，故A3所以VABC外接圆的面积为3屮企业乙Si业啊企电甘料H團務用第5 5页共 1919 页1a _3_VABC外接圆的半径为2 si nA -32一2故选：B.B.第6 6页共 1919 页【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，熟记正弦定理即可，属于常考题型7 7 .执行如图所示的程序框图，若输入的x 4，则输出的X为（开的y晞人、斤|_KWi彩与 输岀$产屮两A A 199B B.366C C 699【答案】【

7、解析】根据程序框图，逐步执行，即可得出结果输入x4,第.R步，x4 4 3 13 198，进入循环；第二步，x4 13349 198，进入循环；第三步，x4 493193 198，进入循环；第四步，x4 1933769 198，结束循环，输出结果故选：D D【详解】【点睛】x 769. .本题主要考查求循环程序框图的输出值，逐步执行框图，即可求解，属于基础题型8 8 设函数f3sin 2x - 4cos 2x4，则上单调递增, 其图象关于直线4对称7,0上单调递增, 其图象关于直线对称2上单调递减, 其图象关于直线对称4上单调递减, 其图象关于直线-对称【答案】B B【解析】根据题意,先得到f

8、 x. 2 cos2x，再由余弦函数的单调区间，以及余弦函数的对称轴，即可求出y f x的单调区间，以及对称轴，进而可得出结果【详解】第7 7页共 1919 页由2k2x 2k ,kZ得kx k,k Z，2由2k2x2k ,kZ得kxk ,k Z2，故选：B.B.【点睛】本题主要考查判断三角函数的单调性与对称性，熟记余弦函数的单调性与对称性即可,属于常考题型. .【详解】因为f x sin 2xcos 2x2 cos2x,4x的单调递增ik，k，k Z；单调递减区间为k ,k,k Z；所以yf x在,0上单调递增；24由2x k ,kZ得xk,k-kZ；即函数y f x的对称轴为：x,k Z；

9、ax a2与圆x a2 2 2y a的位置可能为（）【解先由题意，得到直线y ax2亠2a过点0, a，进而可得出结果. .由题可得:a20，直线2 2ax a显然过点0,a，排除 ABDABD 选项;故选：C.【点本题主要考查直线与圆的位置的判定,与坐标轴的交点即可，属于基础题型会根据圆的方程判断参数的范围，以及会求直线直线【答C C第8 8页共 1919 页【答案】D D【详解】因为f ( x) f (x)，解得x丄,1(1,10). .10故选：D D【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的判断,考查学生对这些知识的理解掌握水平 1111.将一个实心球削成一个正三棱锥，若该三棱锥的底面

10、边长为6，侧棱长为,21,21 ,则此球表面积的最小值为（）A A.47B B.48C C.49D D.50【答案】B B1010.已知函数f(x)lOg23，则不等式f （lg x） 3的解集为（）A A .丄,1010B B.(10,C C.(1,10)(1,10)【解析】先判断函数的奇偶性和单调性,得到1 lg x 1，且lgx 0，解不等式得由题得函数的定义域为（,0) U(0,). .所以 f f（x x）为（，0）U（0,）上的偶函数,(0,）上单调递减. .所以函数 f f（x x）在（0,）上单调递减 因为f(1) 3, f(lg x)3f(1)，所以1 lg x 1，且lgx

11、 0，考查函数的奇偶性和单调性的应用，意在23都是在第9 9页共 1919 页【解析】先由题意，得到球的半径不能小于包含在其内部的三棱锥底面三角形的外接圆第1010页共 1919 页的半径，再求出正三棱锥的高， 进而可得出当球心为正三棱锥底面三角形的外接圆圆心时，球的半径最小，从而可求出结果【详解】 由题可知，球的半径不能小于包含在其内部的三棱锥底面三角形的外接圆的半径亠2丽2sin322又三棱锥顶点到底面三角形的重心的距离为,212 33 23，为使此球的表面积最小，只需球的半径最小，因此，当球心为正三棱锥底面三角形的外接圆圆心时，球的半径最小，为2、3，2所以Smin42、.3 48. .

12、故选：B.B.【点睛】本题主要考查几何体外接球的相关计算，熟记球的表面积公式，以及几何体的结构特征即可，属于常考题型 1212 .已知f x是函数f x的导数，且满足f x f xB是锐角三角形的两个内角，则下列不等式一定成立的是(【详解】x-g(x) e f x在区间0,1上单调递增;0对x 0,1恒成立，A，f sin AA.sin Bef sin Bsi nAef sin AB.sin Bef sin Bsi nAef cosAC C _sinBef sin BcosAef cosAD D .sinBef sin BcosAe【答案】C C【解析】先令g(x) exf x，求导，根据题意

13、，得到g(x)在区间0,1上单调递增，再由题意,得到cosA sin B，进而可得出结果 令g(x) exf x，则g (x)ex，因为f x0对x 0,1恒成立，所以g (x)0对x 0,1恒成立,又TA,B是锐角三角形的两个内角，A二cosA sin B,第1111页共 1919 页.-cosA因此匕g(cos A) g(sin B)，即e f cosAesinBfsinB第1212页共 1919 页f cos A f sin BcosAe故选：C.【点睛】本题考查由导数的方法研究函数单调性，以及由函数单调性比较大小，解决此类问题，通常需要构造函数， 结合题中条件，用导数的方法研究函数单调

14、性即可，属于常考题型二、填空题1313 圆锥的母线长是4，侧面积是 4 4 ，则该圆锥的高为 _. .【答案】.15【解析】先设母线为I，底面半径为r，高为h，根据题意，求出r 1，进而可求出圆锥的高 【详解】设母线为I，底面半径为r，高为h,由题意，rl 4，解得r 1，所以h . 421、15 故答案为：J5.J5.【点睛】本题主要考查圆锥的相关计算，熟记圆锥的侧面积公式，以及圆锥的结构特征即可，属于基础题型. .1414 .已知角 的始边与x轴正半轴重合且终边过点4,5，则4【答案】 -55【解析】 先由题意，求出tan，再根据诱导公式，以及同角三角函数基本关系,4化简所求式子，即可得出

15、结果 . .【详解】因为角的始边与x轴正半轴重合且终边过点4,5,所以tan54，sin Be3cos 2sin 2的值为cos 2sin第1313页共 1919 页cos乞sin -因此22sincoscos14cos sinsinsinsintan54故答案为：4. .5【点睛】本题主要考查三角函数的化简求值，熟记三角函数的定义， 诱导公式以及同角三角函数基本关系即可，属于常考题型 1515 海伦公式亦叫海伦 一秦九昭公式 相传这个公式最早是由古希腊数学家阿基米德得出的，而因为这个公式最早出现的海伦的著作测地术中，所以被称为海伦公式 它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式，表达

16、式为S p p a p b pc,其中a,b,c分别是三角形的三边长,已知一根长为8的木棍，截成三段构成一个三角形，若其中有一段的长度为2，则该三角形面积的最大值为 _【答案】2 2【解析】先根据题意，得到p 4，设a 2，则b c 6，根据S . 8 4 b 4 c, 由基本不等式，即可求出结果 . .【详解】8由海伦公式可知p4,2不妨设a 2，则b c 6,则S841342 24 b 4 c2、2. .* 2当且仅当4 b 4 c，即b c 3时，等号成立 故答案为：2 2. .【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，熟记基本不等式即可，属于常考题型x21616 .设F1,F2是椭圆C :

17、21的两个焦点，右C上存在点P满足EPF?90,4m则m的取值范围是【答案】0,2 U 8,第1414页共 1919 页【解析】 根据椭圆的特征，分类讨论椭圆焦点在x轴上，椭圆焦点在y轴上两种情况,根据题中条件，即可求出结果 【详解】若椭圆焦点在x轴上，贝 U U0 m 4，当点P位于短轴端点时，F1PF2取最大值，要使C上存在点P满足F1PF290，则4 m1，解得0 m 2；vm当椭圆焦点在y轴上时，m 4，同上则需m 41，解得m 8. .2综上，m 0,2 U 8,故答案为：m 0,2 U 8,. .【点睛】本题主要考查椭圆的简单性质的应用，熟记椭圆的简单性质即可，属于常考题型.三、解

18、答题1717如图 四棱柱ABCD ABCQi的底面是直角梯形，BC/AD,AB AD,AD 2BC 2，四边形ABBiAi和ADDiAi均为正方形(1(1)证明；平面ABBA平面ABCDABCD ;(2 2)由(1 1)知AA1, ABAB, ADAD 两两互相垂直，故以 A A 为坐标原点，ABAB, ADAD,AA1所 在直线分别为 x x,y y, z z 轴建系，求出两个半平面的法向量，再利用二面角的向量公式求 解即可(2)求二面角B1CDA的余弦值. .【答案】(1)(1)证明见解析；迈6【解析】(1 1)证明AA平面 ABCDABCD，再利用面面垂直判定定理证明第1515页共 19

19、19 页【详解】(1(1)证明：因为四边形ABB1A1和ADD1A均为正方形，所以AAADAD ,AA1AB. .第1616页共 1919 页又AD AB A，所以AA平面 ABCD.ABCD.因为AA平面ABBiAiA，所以平面ABBiA平面 ABCD.ABCD.（2 2）（法一）由（1 1）知AA,ABAB, ADAD 两两互相垂直，故以 A A 为坐标原点，ABAB, ADAD ,AA所在直线分别为 x x，y y，z z 轴建立如图所示的空间直角坐标系ur_ _所以cos m,AA-2晶因为二面角B1CDA是锐角. .所以二面角B1CDA的余弦值为66（法二）过 B B 作BHCD于

20、H H,连接B1H. .由(1 1)知BB1平面 ABCDABCD，则BB1CD,而BH I BB1B，所以CD平面BB1H所以B1H CD从而BHB1为二面角 耳CD A的平面角A xyz，贝 U U A(0,0,0)A(0,0,0)，vmvmuuvCDuuuvCB12a2c0,0,令 a a 1 1，则所以(1,2,1). .又因为AA平面 ABCDABCD ,所以ujirAA(0,0,2)为平面 ABCDABCD 的umr2第1717页共 1919 页由等面积法，1 2，即BH25.所以B1H第1818页共 1919 页,BH76故cos BHB1. .B1H 6【点睛】本题考查面面垂直

21、的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要注意向量法的合理运用.1818 .为了检测某种零件的一条生产线的生产过程，从生产线上随机抽取一批零件，根据其尺寸的数据分成30,40,40,50,50,60,60,70,70,80,80,90,90,100 7组，得到如图所示的频率分布直方图. .若尺寸落在区间x 2s,x 2s之外,则认为该零件属 不合格”的零件，其中X,s分别为样本平均和样本标准差，计算可得s 15(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)零件中再抽取2个，求再次抽取的2个零件中恰有1个尺寸小于50 cm的概率 3【答案】(1 1)该零件属于 不合格”的零件；(2 2). .5【解

22、析】(1 1)先由频率分布直方图中的数据，求出样本平均值，得到x 2s,X 2s，根据题意，即可得出结果;(2(2)根据分层抽样的方法得到第一组抽1个，记为A;第二组抽2个，记为 B B ,C;第三组抽3个，记为D,E,F，用列举法列举出总的基本事件，以及满足条件的基本事件，进而可得出结果 【详解】 (1(1)由频率分布直方图可得，该批零件的样本平均值为:x 35 10 0.005 45 10 0.010 55 10 0.015 65 10 0.030 75 100.020 85 10 0.015 95 10 0.005 66.5；则x 2s 66.5 3096.5，x 2x 66.5 30

23、36.5，10096.5,所以该零件属于 不合格”的零件;(1)若一个零件的尺寸是100 cm,试判断该零件是否属于不合格”的零件;(2(2)工厂利用分层抽样的方法从样本的前3组中抽出6个零件，标上记号,并从这6个I.IJ250.01 ftO.U200.015U 304050 to第1919页共 1919 页(2 2)按照分层抽样抽6个零件时，第一组抽1个，记为A;第二组抽2个，记为B,C;第三组抽3个，记为D,E,F,从这6个零件中抽取2个零件共有15种情况，分别为A,B,A,C,A,D,A,E,A,F，B,C，B,D，B,E，B,F，C,D，C,E，C,F，D,E，D,F，E,F. .其中

24、再抽取的2个零件中恰有1个尺寸小于50 cm的有9种，分别为A,D，A,E，【点睛】布直方图求样本平均值，熟记分层抽样的概念，以及古典概型的概率计算公式即可，属于常考题型. .(1(1)求 q q 的值;列出方程求解，即可得出结果;(2(2)由(1 1)的结果，得到a2n3n，根据错位相减法即可得出结果【详解】A,F,B,D,B,E,B,F，C, D,C,E,C,F. .根据古典概型概率公式，可得9P 15本题主要考查频率分布直方图的应用,以及分层抽样与古典概型的问题,会根据频率分1919 .已知等比数列an的公比q 1，其前n项和为Sn，Tna?as3S1&若,主成等差数列. .T5

25、(2(2)若数列an单调递增，且首项为q，求数列2n 1的前n项和a2n【答案】(1 1)(2)Hn1【解析】(1 1) 先由题SnTn2 n 1ai q，再由题中条件,第2020页共 1919 页111(1(1)由条件易得T旦-n1 1n1 qnSa11 q1，Sn冃q 1 q1 q第2121页共 1919 页所以q42q230，解得q、3；本题主要考查等差数列与等比数列的综合, 以及数列的求和，熟记等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，以及错位相减法求数列的和即可，属于常考题型2 22020 .已知抛物线G : y4x和C2：x4y的焦点分别为R,F?，且G与C?相交于O,P两点，O为坐

26、标原点. .(1) 证明：F1F2OP. .(2)过点O的直线I交G的下半部分于点M，交C2的左半部分于点N,是否存在直线I，使得以MN为直径的圆过点P?若存在，求I的方程；若不存在，请说明理由. .【答案】(1 1)证明见解析(2 2)存在；I：y X(2 2)由题意可知a2n.32n 1Hn,1312131 -53332341 n11311H5-333323所以2111-Hn2丄2 -3n3332n3n,n 12n 1-341nc1C/n 1122n 13332n 12n 12n 2故Hn1 n 1【点睛】Sn 2 n 1所以aiq. .所以33T?3ai,a：q2,f524aiq第222

27、2页共 1919 页uuuu uuu【解析】(1 1)先由题意，得到P 4,4,F11,0,F20,1,求出F1F2与OP的坐标,第2323页共 1919 页计算向数量积，即可得出结果;【点睛】本题主要考查抛物线中直线与直线垂直的证明，以及抛物线中存在某直线满足条件的问题，熟记抛物线的简单性质即可，属于常考题型1222121 .已知函数f x x a x 2In x. .2akx k 0，分别联立直线与两抛物线的方程，得到M4 42,k k,N 4k,4k2，根据以uuuuuuu44PMPN24 4k4-k2k【详解】2y4x,x(1 1)证明： 联立2x解得4y,yuuuuuuuuuuuF1

28、F21,1,F1F2OP1,1MN为直径的圆过点P，得到4 4k$40,进而看得出结果所以点P 4,4,4,44 4 0,(2)解:设过点O的直线为ykx k联立4x,，口得kxkx,24x,求得4 4k2,k联立4y,得Nkx,4k,4k2所以uuuumurPN4k4,4 k2若以MN为直径的圆过点uuuu则PMuuurPN4k4k2解得1，即直线I的方程为y所以存在直线l : yx，使得以MN为直径的圆过点P. .(2(2)先设过点o的直线为yFi1,0，F20,1,-F1F2OP；第2424页共 1919 页(1)讨论f x的单调性;x22a 2e已知函数gx 72a；xg x成立，求a

29、的取值范围. .4ln x在x 1,e时总有第2525页共 1919 页【答(1(1)见解析 (2 2),0 U【解(1)先对函数2a,分别讨论 a aa2，0 a2四种情况，即可求出结果;a 2ef x g x ax2ln x，分别讨论x两种情况，用导数的方法研究函数单调性，即可根据题意求出参数范围. .(2)先构造函数F x【详(1(1)因为 f f2ln x x 0，所以f xx2(i)若 a a0恒成立，所以f x在0,(ii)若a时，fa,单调递增；当x 0,2a时，f x0， 所以f x在0,-a上单调递增;2 ,aa时,0，所以f上单调递减. .(iii)若a.2，f x0恒成立

30、, 所以f X在0,上单调递增若0时，f0，所以f x在上单调递增; 当x a,-a时，f xaa,上单调递减;2第2626页共 1919 页x 0,a时，f X 0，所以f X在0,a上单调递增1,e上单调递增. .【点睛】本题主要考查判断函数的单调性，以及由不等式恒成立求参数的范围, 求导，用导数的方法研究函数单调性，最值等即可，属于常考题型x x/3 cost,一2222 .在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（t为参数） 以坐标原y 2 73 sint（1）求圆C的极坐标方程;方程 【答案】（1 1）24 sin 10（ 2 2）y【解析】（1 1）先由圆的参数方程消去参数，得到圆的普通方程，再由极坐标与直角坐标 的互化公式，即可得出圆的极坐标方程;（2）将直线I的极坐标方程代入圆C的极坐标方程，根据题意，得到综上，当 a a在0,上单调递增；当a