2020届上海市杨浦区高三第一次模拟(期末)数学试题(解析版)

1、第1页共 22 页2020届上海市杨浦区高三第一次模拟（期末）数学试题一、单选题1 已知a,b为非零实数，且 a b，则下列不等式成立的是（）A a2b2B.- -C |a| |b|D.2a2ba b【答案】D【解析】由不等式的相关性质，对四个选项逐一判断，由于a,b为非零实数，故可利用特例进行讨论得出正确选项.【详解】A 选项不正确，当a 1,b2时，不等式就不成立；B 选项不正确，因为a 1,b2时，不等式就不成立；C 选项不正确，因为a 1,b2时，不等式就不成立；D 选项正确，因为y 2x是一个增函数，故当 a b 时一定有2a2b,故选 D.【点睛】该题考查的是有关不等式的性质的问题

2、，在解题的过程中，涉及到的知识点是对于不正确的结论只要举出一个反例即可，再者要熟练掌握不等式的性质【解【解析】 利用函数 y Asin（ x ）的图象变换规律，即可求得答案【详解】Q将函数y 2sin2x的图象向左平移 6 个单位长度可得函数 y 2sin 2 x2sin 2x 的图象63将 y 2sin 2x 的图象向左平移个单位长度,即可得到y 2sin 2x 2要得到函数y2sin 2xI的图象只要将y2sin 2x 的图象（A 向左平移-个单位6B .向右平移C 向左平移3个单位【答案】AD 向右平移 3 个单位【详解】第 2 页共 22 页63【详解】第 2 页共 22 页故选 A【

3、点睛】本题考查三角函数图象变换，解题关键是掌握三角函数变换的基础知识，考查了分析能力，属于基础题.3.设Zi,z为复数，则下列命题中一定成立的是(【答案】【详解】故选:C.【点睛】全集U的子集，下列结论中错误的是C.fAI BX【答案】DA .若A B,则fAxfB【解析】根据fAXA.如果Z1Z20,那么Z1Z2如果ZiZ2，那么乙 Z2C .如果Z1Z21,那么乙如果 Z122Z20，那么 NZ20【解根据复数定义，逐项判断，即可求得答案对于 A,取z13 i,z21i时,ziZ20,即31 i,但虚数不能比较大小，故 A对于 B,由乙|低，可得 a2b2c2d2,不能得到Z2，故 B 错

4、误；对于 C,因为ZiZ21,所以ZiZ2,故 C 正确；对于 D,取Z11,Z2i，满足2Z12Z20，但是Z1Z20,故 D 错误.本题解题关键是掌握复数定义,在判断时可采用特殊值法检验,考查了分析能力，属于基4 对于全集U的子集A定义函数x euA为A的特征函AUBX【详解】第 2 页共 22 页，逐项分析，即可求得答案第5页共 22 页【解析】将函数fx112化简为f(x) =，即可求得答案1x AQ fAx0 x eUA对于 A,QA B,分类讨论：1当x A,则x B,此时fA(x)fB(x) 12当x A且x B，即x $ B,此时fA(x)fB(x) 0,3当x A且x B,即

5、x(euA)B时，fA(x) 0, fB(x) 1,此时fA(x)fB(x)综合所述，有fA(X)fB(X)，故 A 正确；对于 B ,f (x)UA对于 C ,fA B(x)1,x A B0, xCuA1,x A0, x CuA1,x euA10,x A1,x A B0,x Cu(ACuB1,x B0, x CuBfA(X)，故正确;B)fA(X)fB(X),故 C 正确；0,x A B1,x Cu(A B)fA(X)皿),故 D 错误.故选：D.【点睛】本题主要考查了函数新定义和集合运算，解题关键是充分理解新定义和掌握函数础知识，考查了分析能力和计算能力，属于难题.二、填空题5 .函数fx

6、 x2的定义域为_【答案】(0,)对于D ,fA B糜合基第6页共 22 页【答案】【解析】直接利用方程组的应用和矩阵的应用求出结果.【详解】它的增广矩阵为211130故答案为:【点睛】 本题主要考查二元一次方程组的增广矩阵，属于基础题.17.己知函数f x的反函数f x log2x,则f 1_1【答案】丄2i 11x【解析】因为f x log2x,可得f x 2，即可求得答案.【详解】1解：方程组2x yx 3y【详化简可得:f(x)定义域为x 0.故答案为：(0,).【点本题主要考查了求函数的定义域,解题关键是掌握常见函数定义域的求法,考查了计算能力，属于基础6 .关于x、y的2x y 1

7、的增广矩阵为_x 3y 0第7页共 22 页Qf x log2X2x11可得f 121丄21故答案为：1.2【点睛】本题主要考查了求函数值，解题关键是掌握反函数的定义，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.28.设a R,a a 2 a 1 i为纯虚数（i为虚数单位）,则a _.【答案】2【解析】根据纯虚数定义，即可求得答案【详解】2Qa a 2 a 1 i,为纯虚数即实部为 0,虚部不为 02a a 2 0a 10解得:a 2故答案为：2.【点睛】本题主要考查了根据复数类型求参数，解题关键是掌握纯虚数定义，考查了分析能力和计算能力，属于基础题9 己知圆锥的底面半径为1cm，侧面积为2 cm2

8、，则母线与底面所成角的大小为 _【答案】3【解析】由圆锥的底面半径为1cm和侧面积2 cm2,求出圆锥的母线长，即可求得答案【详解】设底面半径为r,母线SA长为I，底面中心为O,第8页共 22 页Q S圆锥侧面积rl1 I 2解得：l 2第9页共 22 页计算能力，属于基础题【答案】2【解【解析】 先求出二项式展开式的通项公式，再令x 的幕指数等于 3,求得 r 的值，即可求得展开式中的含 x3项的系数，再根据含 x3项的系数等于 280，求得实数 a 的值.【详解】 解：( 1+ax)了的展开式为+1C；?(ax)，令 r = 3，可得含 x3项的系数等于a3?C；280，解得 a = 2，

9、故答案为：2.【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题.2 211.椭圆1的焦点为F1, F2， P为椭圆上一点，若PF15,则94cos F1PF2_.3【答案】-5【解析】根据椭圆定义可得：Ph PF22a,F,F22c 25,在三角形F1PF2中由余弦定理，即可求得答案【详解】在RtSOA中COS SAOOASASAO3故母线与底面所成角的大小为：一.3故答案为：一一. .3【点睛】本题主要考查了求母线和底面夹角，解题关键是掌握圆锥的特征，考查了空间想象能力和10 .已知(1 ax)7的展开式中，含x3项的系数等于

10、280,则实数a第10页共 22 页可得:a 3,b 2，c . 5.分析能力和计算能力，属于中档题nn212 .己知数攵列an的通项公式为ann 11nN,Sn是数列an的n32前n项和, 则lim【答案】72nn2【解析】 因为an的通项公式为ann 11nN，可得n32lim Snnlimna1a?a3Lana：limna3a4Lan，即可求得答案【详解】Qan的通项公式为ann 2丄丄1丄丄423 limn1丄丄2根据椭圆定义可得可得5PF2解得:PF22a在三角形F1PF理：cos F1PF故答案为【点睛】:35.:PR鬥2a 6,F-iF22cPF12PF22F1F2I22鬥|PF

11、21本题主要考查了由余弦定理解三角形，解题关键是掌握椭圆基础知识和余弦定理，考查lim Snlim日日nna2a3L ana2lim a3a4Ln2a5 6 5 1.25 1 202 5 12中由余弦定第11页共 22 页lim Snn2故答案为：z. .2【点睛】本题主要考查了数列极限运算，解题关键掌握数列极限的求法 ，考查了分析能力和计算能 力，属于基础题13 .在直角坐标平面xOy中，A( 2,0) ), B(0,1)，动点P在圆C：x2y22上，则UULUUUPA PB的取值范围为【答案】2 ,10,2 , 10【解析】 因为动点P在圆C:x2y22上, ,故可设P(.(.一一2cos

12、 ,.2sin )(0,2 ), ,uuu uuu求出PA和PB, ,即可求得答案 【详解】Q动点P在圆C : x2y22上令PC,2cos八2sin )(0,2)Q A( 2,0) ), B(0,1)UUL PA(2 V2cos , V2sin ), ,PB ( 72cos ,1 V2sin )UULUUL PAPB(2. 2 cos , 2 sin ) (、2 cos ,1、2sin )2cos22 . 2 cos 2sin2. 2 sin210 sin( )Q 10sin() 、10, .102 10 si n() 2 110,210LLU uun上PA PB的取值范围: :2.10,2

13、、10故答案为: :2、10,2.10. .【点睛】和公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题14 .己知六个函本题主，解题关键是掌握圆的参数方程和正弦函数两第12页共 22 页111 x数:y2；ycosx；y x2；y arcsinx；y lg； y x 1,从x2y %1 x中任选三个函数，则其中既有奇函数又有偶函数的选法共有【答案】12【详解】综上所述，函数中奇函数的有 ，偶函数的有,为非奇非偶函数一共有12种选法.故答案为：12.【点睛】本题主要考查了判断函数的奇偶性和计数原理，解题关键是掌握奇偶函数的判断方法和计数原理，考查了分析能力和计算能力，属于中档题1215 .己知函数f

14、X 1- X 0，若关于X的方程f X mf x 2m 3 0有x三个不相等的实数解，则实数m的取值范围为_.种.【解【解析】逐项判断函数的奇偶性,根据计数原理，即可求得答案对于，因为，定义域为，0 0，且满足f X f X，故为偶函数；对于，因为cosx,定义域为R且满足fx f x，故为偶函数；对于，因为1X2，定义域为0，故非奇非偶函数；对于，因为arcsin x，定义域为1,1且满足f X f x，故为奇函数；对于，因为1 Xlg，定义域为1 X1,1 且满足f X f x，故为奇函数；对于，因为x 1，根据函数图象可知为非奇非偶函数任选3 个函数，既有奇函数又有偶函数的情况分类讨论当

15、选1 奇和2偶时，2 1种;当选 2 奇和1偶时，1 2种;当选1 奇，1偶，1非奇非偶时，2 2 2 8种.第13页共 22 页【答案】3 42，3第14页共 22 页【解【解析】因为f x 1- x 0,即f xx2f x t, f x mf x 2m 30有三个不同实数解，故方程t2mt 2m 3 0有两个根，结合已知，即可求得答案.【详解】Q f x 11x 0 x1-1,0 x 1xf x11 ,x 1x1,0 x 1画出f x函数图象：设f X t,Qf x 2mf x2m 30有三个不同实数解方程t2mt2m30有两个根其中一个在区间0,1上，一个根为 0 或在区间1,若方程t2

16、mt2m30一个根为 0 ,33m-，另根为 ,不满足条件22故方程t2mt2m30有两个根，其中一个在区间令g(t) t2mt2m 3当g(1)0时ntg(0)2m30则g(1)3m40)上,0,1上，一个在区间1,),画出函数图象，第15页共 22 页解得：m32,43当g0时即3m 40,故m434将m代入t2mt 2m 303241可得:t4t -0,33解得：t,2 .3,t223满足方程t2mt 2m 3 0两个根中，一个在区间0,-上，一个在区间-,）综上所述，实数m的取值范围为34故答案为：3,-23【点睛】本题主要考查了根据零点个数求参数范围，解题关键是掌握函数零点的定义，数

17、形结合，考查了分析能力和计算能力，属于难题16.向量集合SVVx，y，x，y R，对于任意，S，以及任意0,1，都有1S，则称S为“C类集”现有四个命题：1若S为“C类集”则集合Mv vS，R也是“C类集”；2若S，T都是C类集”则集合M aiVvstT也是C类集”；3若A,，A都是“C类集”则A A2也是C类集”；4若A,，A都是“C类集”且交集非空，则A A2也是“C类集”.其中正确的命题有_ （填所有正确命题的序号）【答案】【解析】 因为集合Svai x, y ,x,y R，对于任意，S,且任意0,1，都 有1S,可以把这个C类集”理解成,任意两个S中的向量所表示的点的，逐项判断，即可求

18、得答第16页共 22 页连线段上所表示的点都在S上,因此可以理解它的图象成直线【详解】Q集合S a a x, y ,x, y R,对于任意, S, 且任意0,1,都有1S可以把这个C类集”理解成，任意两个S中的向量所表示的点的连线段上所表示的点都在S上，因此可以理解它的图象成直线对于,M a a S, R,向量；整体 倍，还是表示的是直线，故正确；对于，因为S,T都是C类集”故M曽b a S,b T还是表示的是直线，故正 确；对于，因为A,A2都是C类集”可得A A2是表示两条直线,故错误；对于,Ai, A2都是C类集”且交集非空，可得AA表示一个点或者两直线共线时还是一条直线.综上所述，正确

19、的是.故答案为：【点睛】本题考查了集合的新定义，解题关键是要充分理解新定义，结合向量和集合知识求解，考 查了分析能力和计算能力，属于难题 三、解答题17 .如图，四棱锥P ABCD中，底面ABCD为矩形,PA底面ABCD,AB PA 1,AD . 3,F F分别为棱PD,PA的中点(1)求证：B、C、E、F四点共面;(2)求异面直线PB与AE所成的角.【答案】()证明见解析(2)arccos4【解析】(1)因为在PAD中，由E、F为PD、PA中点得：EF为中位线，可得EFAD,结合底面为矩形，即可求得答案第17页共 22 页(2)以A为原点建立坐标系，其中AB、AD、AP分别为x、y、z 轴，

20、求得PB和uur uuuruuu| PB AE |AE, ,cos uuu uu让让, ,即可求得答案. .|PB|AE|【详解】(1)Q在PAD中，由E、F为PD、PA中点得：EF为中位线，EFAD又Q底面为矩形，AD/BC,EF/BC由平行线确定唯一平面得E、F、B、C在同一平面上(2) 以A为原点建立坐标系，其中AB、AD、AP分别为x、y、z 轴，如图：可得 A(0,0,0)，B(1,0,0)，P(0,0,1)，E 0,uuu PBuuu, 3 1，2，(1,0, 1)，AE0,2uuu uuu1故：cos|PB AE| AuurtitHF-2L|PB |AE|、2 14【点睛】本题主

21、要考查了求证四点共面和向量法求异面直线夹角 角的解法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题a18 .己知函数f x 2xx其中a为实常数2x(1)若f 07,解关于x的方程f x 5;异面直线PB与AE夹角:arccos，解题关键是掌握向量法求线2 2第18页共 22 页(2)判断函数f X的奇偶性，并说明理由ax6歹，歹，f0 7, ,可得a 6, ,故f(x) 2x,因为即：2x2,2x2(2)函数定义域为 R,1当 f(x)为奇函数时，Q根据奇函数性质f x f x可得2X-72X三恒成立2入2入【答(1)X 1或log23(2)答案见解析【解a(1)因为f X 2x.5,即2x2x5,

22、通过换元法，即可求得答案；(2)因为函数定义域为R,分别讨论 f(x)为奇函数和 f(x)为偶函数，即可求得答案.【详(1)Qf x 2xf 07,即1解得：a 6可得：f (x)2x2x62x令2Xt(t0)65,即:t2t5t 6 0X11或X2log23.第19页共 22 页x1即(1 a) 2X0恒成立，2X1.2当 f(x)为偶函数时,根据偶函数性质f X f x可得2x2X恒成立2 2X1即(a 1)20恒成立，a 1 .3当a1时,函数为非奇非偶函数【点睛】本题主要考查了解指数方程和根据奇偶性求参数,解题关键是掌握指数方程的解法和奇偶函数的定义，考查了分析能力和计算能力，属于中档

23、题.19 .东西向的铁路上有两个道口A、B，铁路两侧的公路分布如图，C位于A的南偏西15,且位于B的南偏东15方向，D位于A的正北方向，AC AD 2km，C处一辆救护车欲通过道口前往D处的医院送病人，发现北偏东45方向的E处(火车头位置)有列火车自东向西驶来，若火车通过每个道口都需要1分钟，救护车和火车的速度均为60km / h.(1)判断救护车通过道口A 是否会受火车影响，并说明理由(2)为了尽快将病人送到医院，救护车应选择A、B中的哪个道口？通过计算说明【答案】(1)救护车通过A会受影响，详见解析(2)选择B过道，详见解析【解【解析】(1)因为C位于A的南偏西15，E在C北偏东45方向上

24、，在ACE中，AC 2，CAE 105，E 45，ACE 30，根据正弦定理求得AE，求得救护车到达A处需要时间，结合已知，即可求得答案；第20页共 22 页(2)分别求出选择A道口共需要花费时间和选择B道口共需要花费时间，即可求得答案【详解】第21页共 22 页C1)QC位于A的南偏西15, ,E在C北偏东45方向上在ACE中, ,AC 2, ,CAE 105 , E 45 , ACE 30正弦定理可得：AEACsin ACE sin EAE 2v 2解得: :AE .2. .Q救护车和火车的速度均为60km/ h2 1救护车到达A处需要时间：h 2min, ,60km / h 30又Q火车

25、到达A处需要时间：上：上2h 1.41min, ,火车影响A道口时间为、2,1, ,60Q2 h-2, 21救护车通过A会受影响 (2)若选择A道口：一共需要花费时间为: :tA2 1 60 (3 .2) 4.41min60若选择B道口 ：Q BE BC通过B道口不受火车影响，AB -6、2BD .AD2AB212 4 3BC BD 2 V12 4/3tBh60min 4.25min tA 60 60选择B过道 【点睛】本题主要考查了正弦定理和余弦定理在实际中的应用一共需要花费时间为：tBBDh60由余弦定理求AB长: :AB2BC2AC22BC AC cos ACB，解题关键是灵活使用正弦定

26、理第22页共 22 页余弦定理，考查了分析能力和计算能力，属于中档题20.如图，在平面直角坐标系xOy中，己知抛物线C : y24x的焦点为F,点A是第一象限内抛物线C上的一点，点D的坐标为t,0 t 0（1 若OA 5,求点A的坐标;（2） 若AFD为等腰直角三角形，且FAD 90，求点D的坐标；（3）弦AB经过点D，过弦AB上一点P作直线x t的垂线，垂足为点Q，求证：直线QA与抛物线相切”的一个充要条件是 P为弦AB的中点”.【答【答案】（1）A（1,2）（ 2）（5 4. 2,0）（ 3）证明见解析【解【解析】（1）因为点A是第一象限内抛物线C上的一点，且OA .5，设A（x0, y。

27、）,据充要条件定义，即可求得答案【详解】（1）Q点A是第一象限内抛物线C上的一点，且0A . 5设A（x，y），y24x0|OA|2x2y2即可求得答案5umruuur（2）设A（x，y），由F（1,0），D（t，0），可得:AF（1 x，y），AD（t x，y），因为uuur uuurFAD 90，可得AF AD，结合已知，即可求得答案（3）因为IAB过点D（t，0），设IAB为:x my t，点Ax%，点Bx?，其AB中点P（X0，y），可得：x122企，x2里，联立直线与抛物线得44x my t2，结合已知条件，根y 4x第23页共 22 页y24x|0A|2x2y25第24页共 22

28、页解得：X)1,即A(1,2).y。2(2)设A(x,y)，由F(1,0),D(t,O)y。2m设点A处抛物线得切线为x x为联立直线与抛物线得：2y可得：y24ay 4 ay,x2(4a)4 4 ay,x,UULT可得:AF (1 x,UUUTy),AD (t x, y)Q FAD 90UUUTUUUT AFADuurAFUULTAD (1 x,2y) (t x, y) (1 x)(t x) y0-AFD等腰,得A点在x轴投影为F、D中点,即:x1 t2V,y4x代入得:ti54.2,t25 4.20（舍去）D点坐标为（54、2,0）.(3)Q IAB过点D(t,0)设IAB为:x myt占

29、A5 八、 、N, yi，点B X2, y2,其AB中点P(X0,y。),2可得：X1仏必4联立直线与抛物线得my t4x，消掉可得:y24my4t根据韦达定理可得:yiy24m2y0a4xy1,消掉x第 i25页共 22 页0,可得：a-2过A处切线方程为x x黑里y %42化简得yyi2 x Xi求切线yyi2 x Xi与直线x t得交点Q十曰2xi2t 2 my t 2t可得yQ-2m yoyiyiPQ x轴，2二AQ与y 4x相切时，P为AB中点Q以上各步骤，均可逆直线QA与抛物线相切”的一个充要条件是P为弦AB的中点”.【点睛】本题主要考查了直线和抛物线的位置关系问题，解题关键是掌握

30、在求圆锥曲线与直线交点问题时，通常用直线和圆锥曲线联立方程组，通过韦达定理进行求解，考查了分析能力和计算能力，属于难题2i .己知无穷数列an的前n项和为Sn，若对于任意的正整数n，均有 5ni0,S2n0，则称数列an具有性质P.(1)判断首项为i,公比为2的无穷等比数列an是否具有性质p，并说明理由；(2)己知无穷数列an具有性质P且任意相邻四项之和都相等，求证:S40；bn in 为奇数(3)己知bn2n i n N ，数列q是等差数列耳c n为偶数，若无穷2数列an具有性质P，求C20i 9的取值范围【答案】(i)答案见解析(2)证明见解析(3)c20i9 4039，4037【解析】(i)因为首项为i，公比为2的无穷等比数