2020届江苏省南通市海安高级中学高三阶段测试三数学试题(解析版)

1、数据2a11,2a21,2 2 比 1 1，2务1的方差是S2第 1 1 页共 2424 页2020届江苏省南通市海安高级中学高三阶段测试三数学试题一、填空题1 1 设全集U 1,2,3,4,5, ,若euA 1,2,4，则集合A【答案】3,5. .【解析】直接求根据QJA1,2,4求出集合A即可. .【详解】解：因为全集u 1,2,3,4,5若QjA1,2,4,则集合A 3,5. .故答案为：3,5. .【点睛】本题考查补集的运算，是基础题 2 2.已经复数 z z 满足（z 2）i1 i（i i 是虚数单位），则复数【解析】【详解】Q(z 2)i1 i,z 10, 故答案为.,10. .3

2、 3已知一组数据a1,a2,a3,，a.的平均数为 a a,极差为2a11, 2a21,2a2a31 1 ,，2a.1的方差为_【答案】4S2【解析】根据在一组数据的所有数字上都乘以同一个数字，数据的平方倍，得到结果.【详解】解：T数据a!,a2,a3,，an的方差为S2,z z 的模是_1 3ii3 i,d d，方差为S2，则数据得到的新数据的方差是原来第2 2页共 2424 页224S2,故答案为：4S2. .【点睛】此题主要考查了方差，关键是掌握方差与数据的变化之间的关系.4 4 如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为 _ .*-* -I Forj From iTQIO Stqi!:II

3、:曙H)；*):End F:I!Prints:t_ - I【答案】1011【解析】由题设提供的算法流程图可知：S -1 1 11丄10122310 111111应填答案10115 5.从 0,20,2 中选一个数字，从 1,3,51,3,5 中选两个数字, ,组成无重复数字的二位数, ,其中奇数的个数为。【答案】1818【解析】 试题分析：分类讨论：从 0 0、2 2 中选一个数字 0 0,则 0 0 只能排在十位；从 0 0、2 2 中选一个数字 2 2,则 2 2 排在十位或百位，由此可得结论.解：从 0 0、2 2 中选一个数字 0 0, 则 0 0 只能排在十位，从1 1、3 3、5

4、5 中选两个数字排在个位与百位，共有A3=6=6 种；从 0 0、2 22中选一个数字 2 2,则 2 2 排在十位，从 1 1、3 3、5 5 中选两个数字排在个位与百位，共有A3=6=6种；2 2 排在百位，从 1 1、3 3、5 5 中选两个数字排在个位与十位，共有启=6 6 种；故共有23 3A3=18=18 种，故答案为 1818.【考点】计数原理点评：本题考查计数原理的运用，考查分类讨论的数学思想，正确分类是关键2 2 _6 6 .在平面直角坐标系xOy中，若双曲线C :每1 a 0,b0的离心率为.10,a b则双曲线C的渐近线方程为_ .【答案】y 3x【详解】第 3 3 页共

5、 2424 页【解析】由双曲线的离心率为，可以得到-，再根据a2b2c2求出a,ba第4 4页共 2424 页的关系，从而得出渐近线的方程【详解】【点睛】本题考查了双曲线渐近线的问题，解题的关键是由题意解析出a,b的关系，从而解决问7 7.将函数 f(x)f(x)的图象向右平移 言个单位后得到函数 y y 4sin4sin 2x2x 扌 的图象，贝 U U f f 才为_ .【答案】4 4【解析】试题分析：将函数 f(x)f(x)的图象向右平移个单位后得到函数 y y 4sin4sin 2x2xn的6 63 3n=4sin2x=4sin2x ,所以3故答案为：4 4 .【考点】三角函数的图象平

6、移. .8 8 .设定义在 R R 上的奇函数 f f (x)(x)在区间0,)上是单调减函数，且2f x 3x f (2)0，则实数 x x 的取值范围是 _【答案】(1,2)【解析】 根据题意，由函数的奇偶性和单调性分析可得函数f(x)f(x)在R上为减函数，则解：因0,b0的离心率为.10,所以-a10，又因为a2b22b2所以a10，所以双曲线的渐近线y 3x. .图象，即将函数 y y4sin4sin 2x2x扌的图象向左4 =4sin?4. .【详解】第 3 3 页共 2424 页f x23x f (2) 0可以转化为x23x 2，解可得x的取值范围，即可得答案.第6 6页共 24

7、24 页解：根据题意，f(x)f(x)是在R上的奇函数，且在区间0,)上是单调减函数, 则其在区间(，0)上递减，则函数 f f (x)(x)在R上为减函数，f x23x f (2) 0 f x23x f(2)f (x23x) f( 2)x23x 2解得：1 x 2；即实数 x x 的取值范围是(1,2)； 故答案为：(1,2).【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，关键是分析函数在整个定义域上的单调性.319 9 .在锐角三角形 ABCABC 中si nA -, tan(Atan(A B)B) - -，则 3ta3ta nCnC 的值为_53【答案】7979【解析】由题意可得tan

8、 A,进而可得ta nB，而tanC的正切公式可得.【详解】解：在锐角三角形ABC中sin A【点睛】 本题考查两角和与差的正切公式，属中档题.tan(A B)，由两角和与差cos A-1 sin2Atan Asin A3cos A4，tanBtanA(Atan A tan (A1 ta nAta n(ABLB)34141匹19，3tanCtan(A B)tan A tanB1 tan Ata nB34313497933tan3tan C C7979故答案为:7979.5B)第7 7页共 2424 页1010 .已知Sn为数列an的前 n n 项和Snnan3n(n 1)(nN*)且a?11.

9、 .则印的值【答案】5 5【解析】由Snnan3n(n1)(n N*)，且a?11.取n 2即可得出.【详解】解：TSnnan3n(n 1)(n N*)，且a211.a-ia22a26，即a a265.故答案为：5.5.【点睛】本题考查了递推式的简单应用，是基础题 x+ y1111.设正实数 x x,y y 满足xy =，则实数 x x 的最小值为x- y【答案】.21. .x+ y22【解析】由正实数 x x, y y 满足xy =，化为xy 1 x y x 0，可得x- y1 x224x20 x21y1y20，计算即可.xyy 1 0【详解】y y 满足xy =x+ y化为xy21 x2y

10、 x 0,221 x4x202x1c“丄x46x210 y1y20，化为xx 11 0解：由正实数X X,x- y 解得x 21.因此实数 x x 的最小值为2 1.第8 8页共 2424 页第9 9页共 2424 页故答案为：，2 1【点睛】本题考查了一元二次方程的实数根与判别式、根与系数的关系、一元二次不等式的解法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题.1212 .如图正四棱柱ABCDB1C1D!的体积为 2727，点 E E,F F 分别为棱BiB,CiC上的点（异于端点）且EF/BC，则四棱锥A AEFD的体积为VA1AEDVAFED,四棱锥A1AEFD的体积VA1AEFD9.故答案为

11、：9 9.1由VA AEDVE A1AD3SA1ADAB,由此能求出四棱锥AAEFD的体积.点 E E,F分别为棱B1B,GC上的点（异于端点），且EF/BVA1AEDVE A1ADIsA1ADAB6sAADD1ABVABCD A1C1D16【解【详第1010页共 2424 页【点睛】第1111页共 2424 页本题考查四棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查空间想象能力、运算求解能力，是中档题.rrr rrr r r1rr1313已知向量a,b,c满足a b c 0且a与b的夹角的正切为，b与c的夹角的1r rr r正切为 ，| | b b | | 2 2，

12、贝Ua c的值为_ . .34【答案】45uuuruum r uuur11【解析】 可设AB a, BC b,CA c，由题意可得tan B ,tanC，由两角和23的正切公式，可得tanA,再由同角的基本关系式可得sin B,si nC,再由正弦定理可得【详解】uuuruuur r uuurAB a,BC b,CA c,即为A 135,可得sin B5，52.10 2 524故答案为：-5ABAB , ACAC,由数量积的定义即可得到所求解：可设由题意可得tan B1,tan C2则tan A tan(BC)tan B tanC1 tan Bta nC121 12又B,C为锐角，sin2B2

13、cos B sin B1- cosB同理可得sin C、1010，由正弦定理可得sin135|c|丄5|a|10,10即有2、rha2、55第1212页共 2424 页【点睛】本题考查向量的数量积的定义，考查正弦定理和三角函数的化简和求值,以及运算求解第1313页共 2424 页能力，属于中档题.1414.已知f(x) m(x 2m)(x m 3),g(x)2x2，若同时满足条件:x R, f(x) 0或g(x) 0:x (, 4), f (x)g(x)0 则 m m 的取值范围是【答案】m 4, 2【解析】根据g(x) 2x20可解得 x1,x1,由于题目中第一个条件的限制，导致 f(x)f

14、(x)在x 1是必须是f(x) 0，当 m=0m=0 时，f(x) 0不能做到 f(x)f(x)在x 1时f(x) 0，所以舍掉，因此，f(x)f(x)作为二次函数开口只能向下，故m0,m0,且此时 2 2 个根为m0m0 取交集结果为4 m 0；又由于条件 2 2 的限制，可分析得出在x(,4), f(x)恒负，因此就需要在这个范围内g(x)g(x)有得正数的可能，即-4-4 应该比X1X2两个根中较小的来的大，当m ( 1,0)时，m 34，解得交集为空，舍.当m=-1m=-1 时，两个根同为24，舍当m ( 4, 1)时，2m 4，解得m 2，综上所述，m ( 4, 2).【考点定位】本

15、题考查学生函数的综合能力，涉及到二次函数的图像开口，根大小，涉二、解答题umr uuu uuu1515.已知ABC的面积为9、3，且AC (AB CB) 18，向量irrm (ta nA tan B,si n 2C)和向量n (1,cosAcosB)是共线向量 (1) 求角 C C；(2) 求ABC的边长 c.c.【答案】C C (2)(2)3,63【解析】(1 1)利用向量共线的条件，建立等式，再利用和角的正弦公式化简等式，即可求得角 C C；%2m,x2m 3，为保证条件成立,Xi只需X22m 1m 3 11m2，和大前提m 4及到指数函数的单调性，还涉及到简易逻辑中的或”,还考查了分类讨

16、论思想.第1414页共 2424 页umr uuu uuuuur uur uuuUIR亠十十八m(2 2)由AC(AB CB)18得：AC (AB BC)AC18，进而利用ABC的面积为9 3，及余弦定理可求ABC的边长 c c.【详解】(1 1)因为向量mn (ta nA tan B,si n 2C)和A (1,cosAcosB)是共线向量,所以cos AcosB(tan A tan B) sin 2C 0，即sin AcosB cosAsinB 2sinCcosC 0，化简sinC2sin CcosC0,即sin C(1 2cos C) 0. .因为0 C，所以sinC 0,从而cosC2

17、3UULT(2 2)Q ACuuu uur (ABCB)18,uuur18 ACUUU UUU(AB CB)UULTUULTAC ACUULT2|AC|则|AC|3迈，于 是AC3.2. .因为VABC的面积为9, 3，1 1 _ _所以一CA CBsinC 9 3，21即一3 2CBsin9、323解得CB 6*2在VABC中，由余弦定理得AB2CA2CB22CA CB cosC(3、2)2(6&)22 3、2 6.2 154，所以AB ,543.6. .【点睛】本题重点考查正弦、余弦定理的运用，考查向量知识的运用，解题的关键是正确运用正弦、余弦定理求出三角形的边.1616 .如图，

18、四棱锥 P P ABCDABCD 的底面为矩形，且 ABAB =, BCBC = 1 1 , E E, F F 分别为 ABAB ,PCPC 中点 第1515页共 2424 页(第M题)(1)(1) 求证：EFEF /平面 PADPAD ;(2)(2) 若平面 PACPAC 丄平面 ABCDABCD，求证：平面 PACPAC 丄平面 PDE.PDE.【答案】证明： (1(1)方法一：取线段 PDPD 的中点 M M，连结 FMFM , AMAM .因为 F F 为 PCPC 的中点，所以 FMFM / CDCD，且 FMFM = CDCD.因为四边形 ABCDABCD 为矩形，E E 为 AB

19、AB 的中点，所以 EAEA / CDCD，且 EAEA = - - CDCD .所以 FMFM / EAEA，且 FMFM = EAEA .所以四边形 AEFMAEFM 为平行四边形.所以 EFEF / AMAM . . 5 5 分又 AMAM 平面 PADPAD , EFEF 平面 PADPAD，所以 EFEF /平面 PADPAD . .7 分方法二：连结 CECE 并延长交 DADA 的延长线于 N N，连结 PNPN.因为四边形 ABCDABCD 为矩形，所以 ADAD / BCBC ,所以/ BCEBCE =Z ANEANE，/ CBECBE = Z NAENAE .又 AEAE

20、= EBEB，所以 CEBNEACEBNEA .所以 CECE = NENE .又 F F 为 PCPC 的中点，所以 EFEF / NP.NP. . 5 5 分第1616页共 2424 页又 NPNP 平面 PADPAD ,EF,EF 平面 PADPAD，所以 EFEF/平面 PADPAD .分方法三：取 CDCD 的中点 Q Q,连结 FQFQ, EQEQ.在矩形 ABCDABCD 中，E E 为 ABAB 的中点，所以 AEAE = DQDQ ,且 AEAE / DQDQ .所以四边形 AEQDAEQD 为平行四边形，所以 EQEQ / ADAD .又 ADAD 平面 PADPAD, E

21、QEQ 平面 PADPAD,所以 EQEQ/平面 PADPAD . . 2分因为 Q Q , F F 分别为 CDCD, CPCP 的中点，所以 FQFQ / PDPD .又 PDPD 平面 PADPAD, FQFQ 平面 PADPAD，所以 FQFQ /平面 PADPAD.又 FQFQ, EQEQ 平面 EQFEQF, FQFQA EQEQ= Q Q,所以平面 EQFEQF /平面 PAD.PAD. . 5 5分因为 EFEF 平面 EQFEQF，所以 EFEF/平面 PADPAD . . 7 7 分(2 2)设 ACAC , DEDE 相交于 G G.在矩形 ABCDABCD 中，因为 A

22、BAB= BCBC , E E 为 ABAB 的中点 所以DA=CD=.AE DA又/ DAEDAE =/ CDACDA，所以 DAEDAECDACDA，所以/ ADEADE = / DCADCA .又/ ADEADE +Z CDECDE = / ADCADC = 9090 所以/ DCADCA + Z CDECDE = 9090 由厶 DGCDGC 的内角和为 180180，得/ DGCDGC = 9090 即卩 DEDE 丄 ACAC . . 1010分因为平面 PACPAC 丄平面 ABCDABCD因为 DEDE 平面 ABCDABCD，所以 DEDE 丄平面 PACPAC,又 DEDE

23、 平面 PDEPDE，所以平面 PACPAC 丄平面 PDEPDE . . 1414 分【解析】略1717 .如图，0M0M , ONON 是两条海岸线，Q Q 为海中一个小岛，A A 为海岸线 0M0M 上的一个码 头.已知 此 m m良 ，贰 m m 沁|,|,Q Q 到海岸线 OMOM ,0N,0N 的距离分别为 3 3 kmkm , km.km.现 要在海岸线 ONON 上再建一个码头，使得在水上旅游直线 ABAB 经过小岛 Q Q .(1)求水上旅游线 ABAB 的长;第1717页共 2424 页(2)若小岛正北方向距离小岛 6 6 kmkm 处的海中有一个圆形强水波 P P,从水波

24、生成 t t h h 时 的半径为玮：(a a 为大于零的常数)强水波开始生成时， 一游轮以冋占 km/hkm/h 的速度 自码头 A A 开往码头 B B,问实数 a a 在什么范围取值时，强水波不会波及游轮的航行.【答案】(1 1)( 2 2) 恥能-空【解析】试题分析：(1 1)由条件建立直角坐标系较为方便表示：風込门!，直线 k k 尺 I I 的方程丽 叭十刃=也为由 Q Q 到海岸线 ONON 的距离为 kmkm,得，解得 ，再由两直线交点得，利用两点间距离公式得 卜后冷-于-訂亠以二胡(2 2)由题意是一个不等式恒成立问题：设小时时，游轮在线段 ALAL 上的点門处，1 发二而不

25、等式恒成立问题往往利用变量分离将其转化为对应函数最值问题：10存a 0）Q为 第1818页共 2424 页10f-苗匚gi n - 72t + 4S 24V5-4S，当且仅当：&陀时等号成立，所以，在i W珈5F第1919页共 2424 页时 k k 恒成立，亦即强水波不会波及游轮的航行.【考点】函数实际应用，不等式恒成立右焦点分别为F1、F2，离心率为22B B 分别为椭圆 E E 的左、右顶点，动点M M 满足MB AB，且 MAMA 交椭圆 E E于点 P.P.进而得到椭圆方程;(2(2) (i i)设M 2,y, P Xj,%,求得直线 MAMA 的方程，代入椭圆方程，解得点

26、P P 的 坐标，再由向量的数量积的坐标表示，计算即可得证;(0(0, 0 0).先求得 PBPB 的斜率，再由圆的性质可得MQMQ 丄 PBPB,求(2)设M 2,yo, P X1, y1,(1(1)求椭圆E E 的方程;1818.在平面直角坐标系xOy中已知椭圆2E:笃ay 1(a b 0)过点，其左(i(i)求证:urn uuur OP OM为定值;(ii(ii )设 PBPB与以 PMPM 为直径的圆的另一交点为Q Q,问：直线 MQMQ 是否过定点，并说明理由 【答2 21 1 (2)(2) (i i)证明见解析,42定值为 4 4 (iiii)直线MQ过定点 0(0,0)0(0,0

27、). .【解(1(1)由结合椭圆的a,b,c的关系，可得a,b,(ii(ii)直线 MQMQ 过定点 0 0出 MQMQ 的斜率,再求直线MQMQ 的方程，即可得到定点.【详解：(1 1)易得32b22，1,且c2a2b2,2解得：24,2,所以椭圆E E 的方程为第2020页共 2424 页易得直线MA的方程为:由MQ PB得，kMQ豊所以直线MQ过定点 0(0,0)0(0,0)【点睛】方程和椭圆方程，运用韦达定理，同时考查向量的数量积的坐标表示和直线和圆的位置 关系，属于中档题.1919 已知数列an满足：aia2a?k(常数k 0),()求b1, b2, b3, b4的值；(2)求出数列

28、bn的通项公式;(3)问：数列an的每一项能否均为整数？若能，求出说明理由代入椭圆2 2X-丄1得,422YQ24 y28y28得,xi2 yo82y。8，从而yi8yy8UJUuuju所以示OPOM2 y2Yo 88yyT82,y。8y2y0直线MQ过定点0(0,0)0(0,0)，理由如下:依题意，kpB8y82y。2 y282y0，则MQ的方程为：y y号(x2)，本题考查椭圆的方程和性质,主要考查椭圆的离心率公式和方程的运用,注意联立直线an 1anan 1an 13,n.anan 2. .数列bn满足：bn-nNan 1k k 的所有可能值；若不能，请第2121页共 2424 页数列a

29、n是整数列2k 1【答案】b b32, b2b4；bnk4k 12k(3)(3) k k 为 1 1, 2 2 时2k第2222页共 2424 页【解析】(1 1)经过计算可知：a4k 1,a5k 2忌k 42，由数列bn满足:kbn冇冇冇冇2an 1(n(n = 1 1, 2 2, 3 3, 4 4)，从而可求bi, b2, b3, b4；(2)由条件可知an 1an 2k a.an 1.得an 2an 1kan 1an，两式相减整理得bnbn2，从而可求数列6的通项公式;(3)假设存在正数 k k，使得数列an的每一项均为整数,则由(a2na2n12a2na2n 12k 1，由a1k Z,

30、a62a2n1 a2nk2 2)可知：Z,可求得k 1,2证1,2时，满足题意，说明k1,2时，数列an是整数列.【详解】(1(1)由已知可知:a a4k 1忌k 2,a6把数列an的项代入bnanan2an1求得bib32, b2b42k 1k；k anan1(2)由an1(n 3,n N )an 2可知：an 1an2kanan 1则：an 2an 1- -有:anan 2an 1an 2anan 1即：bnbn 2b2n 1b2n 3b1a1a3a22,b2nb2na42k 1a3kbn4k 12k(2k(3)假设存在正数 k k 使得数列an的每一项均为整数,则由 (2(2)可知:a2

31、n 12a2n2ka2n 2a2n 11,-a2n1a2nk第2323页共 2424 页第2424页共 2424 页2由aik Z,a6k4 Z，可知k 1, 2.2.k2k i当k 1时，3为整数，利用ai,a2,a3Z结合式可知 的每一项均为整k数；a2n 12a2na2n 1k 2时，变为5a2n 2二a2n21 a2n用数学归纳法证明a2n 1为偶数，a2n为整数 n 1时结论显然成立，假设n k时结论成立，这时a2n1为偶数，a2n为整数，故a2n 12a2na2n 1为偶数，a?n 2为整数，n k 1时，命题成立 故数列an是整数列. .综上所述 k k 为 1 1，2 2 时数

32、列an是整数列 【点睛】本题考查了等差数列的基本性质和数列的递推公式，考查了学生的计算能力和对数列的综合掌握，注意分类讨论思想和转化思想的运用，属于难题.2020.设函数f(x) (x a)lnx X a,a R. .(1) 若a 0求函数 f(x)f(x)的单调区间；(2) 若 a a 0 0 试判断函数 f(x)f(x)在区间e2,e2内的极值点的个数，并说明理由；(3) 求证：对任意的正数 a a 都存在实数 t t 满足：对任意的x (t,t a),f (x) a 1. .【答案】(1)(1)单调递减区间为(0,1)单调递增区间为(1,). . (2)(2)见解析(3)(3)证明见解析

33、【解析】(1 1)求解f(x) Inx,利用f (x)0, f (x)0，解不等式求解单调递增区间，单调递减区间；a(2 2)f (x) ln x，其中x 0,x再次构造函数令g(x) xl nx a，分析g(x)的零点情况.g (x) In x 1,1令g (x)0,x-，列表分析得出g(x)单调性，求其最小值，e11 2 2分类讨论求解若a-，若 a2，若 a 0, f (x)的单调性，第2525页共 2424 页eeeef(x)f(x)最大值，最小值，确定有无零点问题；(3 3)先猜想x (1,1 a), f(x) a 1恒成立.1再运用导数判断证明.令G(x) ln x x 1,x1,

34、G(x) 10,求解最大值，得x出G(x) G(1) 0即可.【详解】(1 1)当a 0时，f(x) xlnx x,f (x) In x,令f (x)0,x 1，列表分析x(0,1)1 1(1,)f (x)- -0 0+ +f(x)f(x)单调递减单调递增故 f(x)f(x)的单调递减区间为(0,1)单调递增区间为(1,). .(2 2)f (x) (x a)l nx x a,f (x) In x ax，其中x 0,令g(x) xl nx a，分析g(x)的零点情况. .g (x) In x 11令g (x)0,x -,列表分析ex(0,1e)1e(1e,)g(x)- -0 0+ +g(x)单

35、调递减单调递增11g(x)ming( )一a,ee1 12 2 2而f ( )1 n ae 1 ae,f (e )2 ae (2 ae )ee2a12f (e2)2-(2e2a),e e第2626页共 2424 页1a1若a则f (x) In x 0,ex故 f f (x)(x)在(e2,e2)内没有极值点；12112若a2，则f ( ) 1n ae 0,f (e2)(2 ae2) 0eee e212f (e )2(2e a) 0e因此f (x)在(e2,e2)有两个零点，f f (x)(x)在(e2, e2)内有两个极值点；1综上所述当a (,-时，f(x)f(x)在(e2,e2)内没有极值

36、点；e1 22 2当a,2时，f f (x)(x)在(e , e )内有两个极值点；e e2当a2,0时，f f (x)(x)在(e2,e2)内有一个极值点 e(3 3)猜想：x (1,1 a)，f(x) a 1恒成立. .证明如下：1 1由(2 2)得g(x)在( (，) )上单调递增，且g(1) a 0，g(1 a) (1 a)ln(1 a) a. . e e1因为当x 1时，In x 1(*)，x1所以g (1 a) (1 a)(1) a 0a 1故g(x)在(1,1 a)上存在唯一的零点，设为xc 由x(1,X0)XQ(XQ,1a)f (x)- -0 0+ +f(x)f(x)单调递减单

37、调递增知x (1,1 a)，f (x) max f (1), f (1a). .211若4 a 0则f(丄)1n- eee1f (e )2(2e a) 0，e2 2ae 0,f (e )(2 ae ) 0,因此f (x)在(e2,e2)有一个零点,f f (x)(x)在(e2, e2)内有一个极值点;第2727页共 2424 页又f (1 a) ln(1 a) 1，而x 1时，lnx x 1(*),所以f(1 a)(a 1)1 1 a 1f(1).即x (1,1 a),f (x)a 1.所以对任意的正数a,都存在实数t1,使对任意的x(t,t),使f (x) a 1.补充证明(*):11 1x

38、 1令F(x) 1nx-1 ,x 1.F(x)20 ,xx xx所以F(x)在1,)上单调递增所以x 1时，F(x)F(1) 0,即lnx 11x补充证明(*)令G(x) In xx 1,x 1.G (x)1 10,x所以G(x)在1,)上单调递减所以x 1时，G(x)G(1) 0,即In x x1.【点睛】本题主要考查导数与函数单调性的关系，会熟练运用导数解决函数的极值与最值问题求函数的单调区间，应该先求出函数的导函数，令导函数大于0得到函数的递增区间，令导函数小于0得到函数的递减区间，考查了不等式与导数的结合，难度较大.21已知二阶矩阵入=t J,矩阵电属于特征值卜1 7的一个特征向量为

39、叫，属【解析】 运用矩阵定义列出方程组求解矩阵 【详解】由特征值、特征向量定义可知，二忌|?八计即打mi,得fcVF同理可得即起片解得k - 2，b = 3,c=2,d - I .因此矩阵A = h可于特征值怯俳勺一个特征向量为皆 If求矩阵第2828页共 2424 页【点睛】本题考查了由矩阵特征值和特征向量求矩阵，只需运用定义得出方程组即可求出结果, 较为简单求I的极坐标方程及ABC的面积.【解析】 将A 1, , B 9,转化为直角坐标系下的坐标形式，然后求出线段AB的33中点与直线AB的斜率，进而求出直线 I I 在直角坐标系下的方程，再转化为极坐标方程； 在直角坐标系下，求出点 C C

40、 到直线 ABAB 的距离、线段 ABAB 的长度，从而得出ABC的面积 【详解】解：以极点为原点，极轴为 x x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系xoyxoy在平面直角坐标系 xoyxoy 中,所以AB的中垂线方程为：y乞33(x -)232化简得：x .3y 100,所以极坐标方程为cos x3 sin 10 0,即cos( )53，令y 0，则x 10,故在平面直角坐标系 xoyxoy 中，C C (10,010,0)2222 .在极坐标系中,已知A1，-，B9，-,线段AB的垂直平分线I与极轴交于点【答案】I的极坐标方程及cos-5,ABC的面积20. 3. .3A1,3,B 9,3的坐

41、标为A(丄，一),2 2 2 2故线段AB中垂线的斜率为k线段AB的中点为第2929页共 2424 页线段AB 8,1故ABC的面积为S 5.3 8 20、.3. .2【点睛】本题考查了直线的极坐标方程问题，解题时可以将极坐标系下的问题转化为平面直角坐标系下的问题，从而转化为熟悉的问题 2323 .已知实数a, b满足a b 2，求证：a22a b22b 4(a 2).【答案】证明见解析【解析】对a22a b22b进行转化，转化为含有a b 2形式，然后通过不等关系得证 【详解】解：因为a b 2,所以a22a b22b2 2a b 2a 2ba b a b 2 a ba b|a b 2a b 2a a b 2a b 2a a b 22 2a 2 22 2a 44 a 24 a 2，得证. .【点睛】本题考查了绝对值不等式问题，解决问题的关键是要将要证的形式转化为已知的条件，考查了学生转化与化归的能力 ABCD中，已知棱AB,AD,AP两两垂直，长度分别为 1 1,点 C C 到直线 ABAB:y3x的距离为d10/32424.如图，在四棱锥Punruur2 2, 2 2 若DCAB(第3030页共 2424 页uuuuuurR),且向量PC与BD夹角的余弦值为15第3131页共 2424 页(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦