2019届上海市闵行区七宝中学高三第二学期3月月考数学试题(解析版)

1、由此，函数二：幕二为非奇非偶函数，第1页共19页2019届上海市闵行区七宝中学高三第二学期3月月考数学试一、单选题+ 4y = 11关于的二元一次方程组:，：的增广矩阵为（）f3 4 -1 3 4-1 f3 4 1 / 3 4 1A. （1 -3 1小B.1 7一12C （1 -3 10丿D.3 wj【答案】C【解析】根据二元一次方程方程组与增广矩阵的关系，即可求得结果【详解】c3x+ 4y = 1/341 .关于的二元一次方程组的增广矩阵为.，故选C.【点睛】本题考查二元一次方程组与系数矩阵及增广矩阵的关系，意在考查对基础知识的掌握情况，属于基础题.2.若函数为非奇非偶函数，则有（）A.对于

2、任意的，都有且：B存在牝E況，使f（一气）芝f（叼）且（一叼）主c.存在.!,使：且：D.对于任意的都有或J【答案】C【解析】根据奇函数与偶函数的定义，分别写出函数：w让不是偶函数、奇函数的条件，综合两种情况可得结果【详解】根据奇函数与偶函数的定义：对任意：， ，函数】 =是偶函数；对任意，函数是奇函数，所以，若存在使代九7無，则函数：=*:二不是奇函数；若存在 ，使,则函数不是偶函数；第2页共19页则有存在，,使：.且故选C.【点睛】本题主要考查奇函数与偶函数的定义、全称量词与存在量词的理解与应用，意在考查对基本概念掌握的熟练程度与灵活应用，属于中档题3无穷等差数列的首项为一，公差为，前项和

3、为 ，则”是八为递增数列”的（ ）A.充分非必要B.必要非充分C.充要D.既非充分也非必要【答案】B【解析】由：为递增数列，可得- - -r，必要性成立；利用特殊值 证明充分性不成立【详解】等差数列/叫+型凹的首项为.,公差为，前项和为n(n + 1W n(n-l)则，若为递增数列,I 7，必要性成立;即：不能推出为递增数列，充分性不成立,故“ |”是“”为递增数列的必要非充分条件，故选B.【点睛】本题主要考查数列的增减性，以及充分条件与必要条件的定义，属于难题判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除

4、借助集合思想化抽 象为直观外，还可利用原命题和逆否命题的等价性判断；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.4.在圆锥中，已知高，底面圆的半径为4, 为母线 的中点；根据圆锥曲线的定义，下列四个图中的截面边界曲线分别为圆、椭圆、双曲线及抛物线，下面四个 命题，正确的个数为（）若： .，不能推出：（如 J ）第3页共19页1圆的面积为：;2椭圆的长轴为；4Karcsin-3双曲线两渐近线的夹角为；4抛物线中焦点到准线的距离为A.1个B. 2个C. 3个D.4个【答案】B【解析】根据点：是母线的中点，求出截面圆的半径即可判断；由勾股定理求出椭圆长轴可判断；建立 坐标系，求出的关系可判断；建立坐标系

5、，求出抛物线方程,可判断【详解】1：点是母线的中点，-截面的半径；二；，因此面积一一 ,故正确；2由勾股定理可得椭圆的长轴为=3* V，故正确；3在与底面、平面的垂直且过点I的平面内建立直角坐标系，不妨设双曲线的标准x1y212= 乂砧0)厂4- = 1方程为，则 ，即 ，把点 -代入可得 ，解得斗arcsin -，不正确;4建立直角坐标系， 不彷设抛物线的标准方程为：-,把点、：代入可得_ 晒8V5丄却心，解得 ,抛物线中焦点到准线的距离 卩为E,不正确, 故选B .【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查圆锥的性质、椭圆的性质、双曲线的性 质，抛物线的方程与性质，属于难题这种题型综合

6、性较强，也是高考的命题热点,同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要 细心、多读题，尽量挖设双曲线两渐近线的夹角为2X24/- tan20 =-=1-22 3斗-sin2& -因比双曲线两渐近线的夹角为p第4页共19页掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌第5页共19页握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题、解答题5如图，已知长方体，；：的棱长，-求(1)异面直线和所成角的大小;(2)点到平面；的距离.v10J6arccos-【答案】(1)1；(2).【解析】(1)由 是平行四边形，可得 二订*是异面直线和所的成角,y y由余弦定理可得

7、结果；(2)设：到平面的距离为，由即可得结(1)因为 与平行且相等,所以是平行四边形，所以 ,:是异面直线和所成角的大小,因为AH= Z,H（：=1加卫i所以5 任中,ADy =岳= 22,AC =風COSJLADC 所以 arccos一515【详解】第6页共19页(2)设到平面?的距离为，第7页共19页出匚可得,-x -X 22 x J5-2 xh= -x -x 1 x 2 x 232v32解得吃二，即到平面的距离为【点睛】本题考查长方体的性质，以及异面直线所成的角，属于中档题求异面直线所成的角先要利用三角形中位线定理以及平行四边形找到异面直线所成的角，然后利用直角三角形的性质及余弦定理求解

8、，如果利用余弦定理求余弦，因为异面直线所成的角是直角或锐角，所以最后结果一定要取绝对值6.函数/=也心十b +切，其中打0.(1)若是奇函数，求；的值；(2)在(1)的条件下，判断函数的图象是否存在两点，使得直线平行 于轴，说明理由；【答案】(1)1; (2)不存在【解析】(1)由是奇函数，可得心)+/(-X)=如&?匚7 +巧+畑(盘二歹+旷巧=s = o，从而可得结果；(2)利用反证法，假设存在；两点，使得平行轴，则.，设两点横坐标为, 可得，与矛盾，从而可得结论【详解】(1)v恒成立，所以函数 1的定义域是一切实数，关于原点对称,因为是奇函数，所以：+r，f+ /(一巧=lg4x

9、2+ b+ 2%) + (-4x)z+b-2x) = lgh = ；：=. ?(2) 假设存在扎出两点，使得 出平行：轴，贝U, 设：两点横坐标为,第8页共19页两边平方，化简可得I -与矛盾，: =的图象上不存在两点，使得所连的直线与轴平行【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，以及反证法的应用，属于中档题已知函数的奇偶性求参数，主要方法有两个，一是利用：(1)奇函数由恒成立求解，(2)偶函数由恒成立求解；二是利用特殊值：奇函数一般由求解，偶函数一般由-求解，用特殊法求解参数后，一定要注意验证奇偶性.7如图1, 一艺术拱门由两部分组成，下部为矩形-：；1,的长分别为：和2n芒COD =:，上部是圆

10、心为的劣弧二，：.(1)求图1中拱门最高点到地面的距离；(2)现欲以B点为支点将拱门放倒， 放倒过程中矩形- 所在的平面始终与地面垂直,如图2、图3、图4所示设与地面水平线 所成的角为1记拱门上的点到地面的最 大距离为，试用的函数表示，并求出 的最大值.L“4sin0 + 2J3cos9 .0 0 -h=6厂nnn2+ 23$in(0 + ), 9 【答案】(1)拱门最高点到地面的距离为5叭(2)丨662,其最大值为【解析】(1)求出圆的半径，结合圆和RT的性质求出拱门最高点到地面的距离即可；(2)通过讨论P点所在的位置以及三角函数的性质求出h的最大值即可.【详解】(1)如图，过作与地面垂直的

11、直线交1于点二=,交劣弧于点，的长即为拱门最高点到地面的距离.第9页共19页n在Rtqoc中，心亍，3 迂靠所以圆的半径-所以厂二二川答：拱门最高点到地面的距离为(2)在拱门放倒过程中，过点 作与地面垂直的直线与“拱门外框上沿”相交于点当点 在劣弧：上时，拱门上的点到地面的最大距离 等于圆的半径长与圆心到地面 距离之和；当点 在线段，上时，拱门上的点到地面的最大距离等于点到地面的距离.亠/八m齐Rt AOOB ,06 = |OO? + O1B?-2J3由(1)知，在中，：.以 为坐标原点，直线 为轴，建立如图所示的坐标系.得：第10页共19页h = 2 + 23sin（e + -）则n n n

12、日 + = 9 =所以当 即 时,取得最大值.o e - F-叩1冲了.由小 得-如2, 7urn：e- O；：所以.1 = 2. 7uniy心inB -1、. 沁虽TI厂TC厂71厂0 6 4cos- - 2x.3sin- = *3 0又当i时，1n厂|01一所以在 ，上递增.H0 =所以当 时，取得最大值因为，所以的最大值为.:.综上，艺术拱门在放倒的过程中，拱门上的点到地面距离的最大值为（ ）【点睛】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查三角函数的性质，导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，数形结合思想，是一道综合题.第11页共19页X7772C: + y= 1=-8设椭圆，圆为（1）若

13、椭圆的长轴为4,且焦距与椭圆的焦距相等，求椭圆的标准方程;（2）过圆 上任意一点 作其切线，若 与椭圆 交于占：两点,为坐标原点）；C: + y2= 1求出椭圆.的焦距，可得椭圆的焦距,2 2 2与性质，求出的值，讨论两种情况即可得结果；（2）当直线的斜率不存n/LAOS =在时，当直线 的斜率存在时，设其方程为=-! 0，即2fc2-m2+ 10(*)74km2(m1)策i +龙2二决1工2=- 7求证：为定值（3）在（2）的条件下，求面积的取值范围.【答案】（1）43或却4；（2）证明见解析；（3）结合椭圆的长轴为4【解析】（1）果;（3）求得 -，要求，的取值范围，只需求出弦长的11 =

14、取值范围由弦长公式可得2 ）卅十卅+ 1丿，利用基本不等式可得结果（1）设椭圆的标准方程为1或，由题知厂二（2）当直线的斜率不存在时，不妨设其方程为，所以，J J第12页共19页且第13页共19页d- Jm-U- j由直线 与“相关圆”相切，得 -1-OAOB = xlx2+ yyz= xx2+ 依叼 +m)(kxz+ m) =(1 +kx- + x2) +m叮匸空+亠仝咋“1 + 2/ 1 + 2/ 1 + 2/JT一 一JLAOB =-从而-1，即 ，7TJLAOB =-综合上述，得为定值.1J（尬佔=評刚卩1 =三（3）由于取值范围.当直线 的斜率不存在时，由（2）的，知；当直线-的斜率

15、存在时,AB = 当 时，;【点睛】求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法，根据条件确定关于的方程组，解出，从而写出椭圆的标准方程（注意讨论焦点位置）解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题涉及弦中点的问题常常用点差法”解决，往往会更简单.9我们称满足以下两个条件的有穷数列为I阶期待数列”；，即3m -2k -2 =0,，所以求的取值范围，只需求出弦长卜亍的E(2kz-m2+ 1)8 4化+訪十134/? + 4疋*1*3I 4k4当：时，因为2並丘故4k2+ i + 4 Bk28 a-l33,所以址=+

16、 J_l，当且仅当-时，：:可一心3于是卜f的取值范围为，因此也 s 的取值范围为第14页共19页眄+畋十如十十州=0.Mil + %+ |巧| + + |%|二1第15页共19页1 .（1）若数列的通项公式是-：1 Z是否为2014阶期待数列”，并说明理由；（2）若等比数列为阶期待数列”，求公比g及数列也詁的通项公式;既是（、厂、）阶期待数列”又是递增数列，求该数列的b.= 4,1 1,.“+勺+q二-歹q十1 + q十2亠+匚弘二亍 卄 z 4 口Q A-1由、知，两式相减得一1d = ,2fc-l2k-l1-2/c-l +2nfri5 二巧十猊二-一厂十位一二-s-数列的通项公式是.【点

17、睛】本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式与求和公式基本量运算，考查的新定义问题以及转化思想的应用，属于难题新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的 目的遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定 义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决 三、填空题10已知集合眉=门3协占=已5，且B匚A ,则实数师的值是_ ,【答案】5【解析】利用集合的包含关系，推出是的元素，从而可得结果【详解】集合I二

18、-可得，所以；二：，故答案为5 .【点睛】本题主要考查子集的定义，属于基础题.研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系左住一1）-ac得第18页共19页f（x）=f-j11函数龙的定义域是_.【答案】! 2X-21- 00【解析】由，化为，解分式不等式可得结果【详解】Kx）=要使函数-有意义，21 0则，X-20即.，解得或,f（x）=品即函数.的定义域是U1J- -l1故答案为一 -一十.【点睛】本题主要考查抽象函数的定义域、不等式的解法，属于中档题定义域的三种类型及求法：（1）已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式（

19、组）求解；（2）对实际问题:由实际意义及使解析式有意义构成的不等式（组）求解；（3）若已知函数的定义域为-，则函数的定义域由不等式；求出12函数y2）的反函数是_.【答案】丫+广【解析】利用指数函数的性质求出原函数的值域，可得反函数的定义域，根据指数与对数的互化关系可得结果【详解】因为 ，所以,即原函数的值域是,所以反函数的定义域是,由可得所以的反函数是c !+,故答案为.1【点睛】本题主要考查反函数的基本性质与求解反函数的方法，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题.第19页共19页13如果圆锥的底面积为 卅，母线长为2,那么该圆锥的高为 _.【答案】【解析】由底面积求出底面半径，利用勾

20、股定理可得结果【详解】设圆锥底面半径为，因为圆锥的底面积为-,所以._芦_；.又因为母线长为2,所以该圆锥的高为- -心故答案为【点睛】本题主要考查圆锥的性质，意在考查对基础知识的掌握情况，考查了空间想象能力，属于基础题（Vx）814二项式的展开式中的常数项为【答案】112【解析】 试题分析：由二项式通项可得，产G（坂严卜二）、（-窈盼丁（r=0,1,）,显然当时，故二项式展开式中的常数项为112.【考点】二项式通项。15已知复数仓I （为虚数单位），复数满足小严莖+削，则罔二_.【答案】-纯3 + 1Z =- -【解析】 变形可得 ，分子分母同乘以，可得=-工利用复数模的公式可得结果【详解】

21、复数,复数 满足11-1 ?113+i (3 +* rr _、丿励一3i“-1 + 3i=- =imi-1?-1-,故答案为.第20页共19页【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分16如图，直三棱柱的主视图是边长为2的正方形，且俯视图为一个等边三角形，则该三棱柱的左视图面积为 _.Q主视图【答案】【解析】由主视图、俯视图得到三棱柱的侧视图为以底面高为一边，以棱柱高为另一边的

22、矩形，从而可得结果【详解】 由三视图得到三棱柱的侧视图为以底面正三角形的高为一边，以棱柱高为另一边的矩形，2 X X 2 = 23(所以侧视图的面积为，故答案为.【点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响17某班从4位男生和3位女生志愿者选出4人参加校运会的点名签到工作，则选出的志愿者中既有男生又有女生的概率的是 _.(结果用最简分数表

23、示)34【答案】【解析】“4位男生和3位女生志愿者选出4人参加校运会的点名签到工作，若这4人中必须既有男生又有女生”的对立事件是 只有男生”，利用组合知识求出总事件数，根 据古典概型概率公式以及对立事件的概率公式可得结果第21页共19页【详解】“4位男生和3位女生志愿者选出4人参加校运会的点名签到工作，若这4人中必须既有男生又有女生”的对立事件是“只有男生”，事件“只有男生”只包含一个基本事件，而总的基本事件数是 ，故事件“只有1男生”的概率是：，事件“4位男生和3位女生志愿者选出4人参加校运会的点名签到工作，若这4人中必1 34341 一须既有男生又有女生”的概率是，故答案为:.【点睛】本题

24、主要考查对立事件的概率公式以及古典古典概型概率公式的应用，属于基础题在求解有关古典概型概率的问题时，首先求出样本空间中基本事件的总数，其次求出概mP=_率事件中含有多少个基本事件，然后根据公式求得概率18.已知是平面内两个互相垂直的单位向量，且此平面内另一向量在满足(财+如-逊=o,均能使i-hk成立，则佛勺最小值是_.5+庐【答案】【解析】 根据题意门，利用- 二求得的关系，利用圆的几何性质，再求出；的最大值，从而求出的最小值【详解】因为.是平面内两个互相垂直的单位向量，所以可设 -：； 1 八:：i + : -+ 4bc=(芯4y)又* i:x(x + 3) + y(4y) = 0第22页

25、共19页它表示的圆心在:，半径为的圆,表示圆上的点到兰工;的距离，圆心到点W-、：的距离为，5何5+厲5 + 13要使卜一一汕 丄恒成立，即的最小值是，故答案为【点睛】本题主要考查向量模的几何意义、轨迹方程的应用以及圆的几何意义，考查了转化思想的应用，属于难题转化是数学解题的灵魂，合理的转化不仅仅使问题得到了解决，还 可以使解决问题的难度大大降低，本题将不等式恒成立问题转化为圆上动点到定点距离的最值问题是解题的关键次记为衍也旳严兀且衍 乞兰七 Y 筍-1筍，烈E旷，若83_JLX_ .77衍十2七十幻十十2xji-z十ri- 2贝叩=【答案】.当m时，可得第一个对称轴|，当：时，可得.函数:在

26、上有条对称轴根据正弦函数的图象与性质可知：函数F；与二二的交点有9个点，即n 63托召X = + X = + 如込关于I对称，二 关于对称，即ri e無円17eX- + xz= 2 X ( + ) x2+ X= 2 X ( + )xn-l += 2 X (- + )_-十-=- 的最大值为/(X) = 5sfn(2xE【解析】由题意，令TT 0 kTTx = - + -4- tkEZ，解得I x =-+ 5JT第23页共19页K0017TT083TI第24页共19页故答案为.点睛：本题考查了三角函数的零点问题，三角函数的考查重点是性质的考查，比如周期 性，单调性，对称性等，处理抽象的性质最好的方法结合函数的图象，