力学答案(漆安慎-杜婵英)-详解-1-9章

1、无第二章第二章 质点运动学（习题）质点运动学（习题）2.1.12.1.1 质点的运动学方程为质点的运动学方程为j)1t4(i) t32(r).2( , j5i) t23(r).1( 求质点轨迹并用图表示求质点轨迹并用图表示。解，解，. ., 5y, t23x 轨迹方程为轨迹方程为 y=5y=5 1t4yt32x消去时间参量消去时间参量 t t 得：得：05x4y3 2.1.22.1.2 质点运动学方程为质点运动学方程为k2jeiert2t2 ，（1 1） . . 求质点的轨迹求质点的轨迹；（2 2） . .求自求自 t=-1t=-1 至至 t=1t=1 质点的位移。质点的位移。解，解， 2ze

2、yext2t2消去消去 t t 得轨迹：得轨迹：xy=1,z=2xy=1,z=2k2jeier221 , ,k2jeier221 , ,j)ee (i)ee (rrr222211 2.1.32.1.3 质点运动学方程为质点运动学方程为jtitr)32(42， （1 1）. . 求质点的轨迹求质点的轨迹； （2 2）. .求自求自 t=0t=0 至至 t=1t=1 质点的位移。质点的位移。无解，解，. ., 3t2y,t4x2 消去消去 t t 得轨迹方程得轨迹方程2)3y(x j2i4rrr, j5i4r , j3r0110 2.2.12.2.1 雷达站于某瞬时测得飞机位置为雷达站于某瞬时测得

3、飞机位置为0117 .33,m4100R ，0.75s0.75s 后测得后测得21022R,R,3 .29,m4240R 均在铅直平面内均在铅直平面内。 求飞机瞬时速率的近求飞机瞬时速率的近似值和飞行方向（似值和飞行方向（角角） 。解，解，)cos(RR2RRR21212221 代入数值得：代入数值得：)m(385.3494 . 4cos42404100242404100R022 ) s/m(8 .46575. 0385.349tRv 利用正弦定理可解出利用正弦定理可解出089.34 2.2.22.2.2 一小圆柱体沿抛物线轨道运动，抛物线轨道为一小圆柱体沿抛物线轨道运动，抛物线轨道为无200

4、/xy2 （长度（长度 mmmm） 。第一次观察到圆柱体在。第一次观察到圆柱体在x=249mmx=249mm 处处，经过时间经过时间 2ms2ms 后圆柱体移到后圆柱体移到 x=234mmx=234mm 处处。求圆柱体瞬时速度求圆柱体瞬时速度的近似值。的近似值。解，解，ms/mm6 .192225.3615t)y()x(trv2222 05 .112 2.2.32.2.3 一人在北京音乐厅内听音乐一人在北京音乐厅内听音乐，离演奏者离演奏者 17m17m。另一人在广州听同一另一人在广州听同一演奏的转播演奏的转播， 广州离北京广州离北京 2320km2320km， 收听者离收音机收听者离收音机 2

5、m2m， 问谁先听到声音？问谁先听到声音？声速为声速为340m/s,340m/s,电磁波传播的速度为电磁波传播的速度为s /m100 . 38 。解，解，128321tt) s (0136. 03402100 . 3102320t) s (05. 034017t 在广州的人先听到声音。在广州的人先听到声音。2.2.42.2.4 如果不允许你去航空公司问讯处，问你乘波音如果不允许你去航空公司问讯处，问你乘波音747747 飞机自北京不着陆飞行到巴黎，你能否估计大约用多少时间？如果飞机自北京不着陆飞行到巴黎，你能否估计大约用多少时间？如果能，试估计一下（自己找所需数据能，试估计一下（自己找所需数据

6、） 。无解，解，vst 2.2.52.2.5 火车进入弯道时减速，最初列车向正北以火车进入弯道时减速，最初列车向正北以 90km/h90km/h 速率行驶，速率行驶，3mi3min n后以后以 70km/h70km/h 速率向北偏西速率向北偏西030方向行驶。求列车的平均加速度。方向行驶。求列车的平均加速度。解，解，002220012002199.49,7659. 0sin,sin7030sin05. 091.913) s/m(071. 0)h/km(91.91305. 0378.2935tvaj)9030cos70(i60cos70vvv, j30cos70i60cos70v, j90v 2

7、.2.62.2.6（1 1）,kt2jtsinRitcosRr R R 为正常数为正常数。求求 t=0,t=0,/2/2 时的速时的速度和加速度度和加速度。 （2 2）,kt6jt5 . 4it3r32 求求 t=0,1t=0,1 时的速度和加速度（写出正交分解式时的速度和加速度（写出正交分解式） 。解解： （1 1）jtsinRitcosRdtvda,k2jtcosRitsinRdtrdv,kt2jtsinRitcosRr 当当 t=0t=0 时，时，无0aa,Ra, 2v,Rv, 0v , iRa ,k2jRvzyxzyx 当当 t=t=/2/2 时，时，0a,Ra, 0a, 2v, 0v

8、,Rv , jRa ,k2iRvzyxzyx （2 2）j9dtvda,kt18jt9i3dtrdv,kt6jt5 . 4it3r232 当当 t=0t=0 时，时， , j9a , i3v 当当 t=1t=1 时，时， ,k36j9a ,k18j9i3v 2.3.12.3.1 图中图中 a a、b b 和和 c c 表示质点沿直线表示质点沿直线运动三种不同情况下的运动三种不同情况下的 x-tx-t 图，试说图，试说明三种运动的特点（即速度，计时起明三种运动的特点（即速度，计时起点时质点的坐标，位于坐标原点的时点时质点的坐标，位于坐标原点的时刻刻） 。解，解，a a 直线的斜率为速度直线的斜率

9、为速度) s /m(732. 1120tgdtdxv0ax m20 x, 0t0 无) s (547.113/20| t ,60tg| t20, 0 x0 x00 x b b 直线的斜率为速度直线的斜率为速度) s (331.17577. 0/10| t ,30tg| t10)m(10 x, 0t) s/m(577. 030tgv0 x00 x00bx c c 直线的斜率为速度直线的斜率为速度) s (25| t)m(25x, 0t) s/m( 145tgv0 x00cx 2.3.22.3.2 质点直线运动的运动学方程为质点直线运动的运动学方程为 x=acost,x=acost, a a 为正

10、常数。求质点速度为正常数。求质点速度和加速度并讨论运动特点（有无周期性，运动范围，速度变化情况等和加速度并讨论运动特点（有无周期性，运动范围，速度变化情况等） 。解，解，)tcos(atcosaa),2tcos(atsinavxx 质点受力质点受力mxtcosmamaF ，是线性恢复力，质点，是线性恢复力，质点做简谐振动，振幅为做简谐振动，振幅为 a a，运动范围在，运动范围在axa ，速度具有周期性，速度具有周期性。2.3.32.3.3 跳伞运动员的速度为跳伞运动员的速度为,e1e1vqtqt v v 铅直向下，铅直向下，、q q 为正常量。求其加速度。讨论当时间足为正常量。求其加速度。讨论

11、当时间足够长时（即够长时（即 t t） ，速度和加速度的变化趋势。，速度和加速度的变化趋势。解，解，无2qtqt2qtqtqtqtqt)e1(qe2)e1()e1(qe)e1(qedtdva 0a,v,t 2.3.42.3.4 直线运动的高速列车在电子计算机控制下减速进站直线运动的高速列车在电子计算机控制下减速进站。 列车原行驶速列车原行驶速度为度为h/km180v0 ，其速度变化规律如图所示。求列车行驶，其速度变化规律如图所示。求列车行驶至至x=1.5kmx=1.5km 时加速度的大小。时加速度的大小。解，解，x52sinv10 x5cosvx5sinv5vdxdvdtdxdxdvdtdva

12、,x5cosvv20000 )s/m(747.0)h/km(67.967553sin18010a222 2.3.52.3.5 在水平桌面上放置在水平桌面上放置 A A、B B 两物体，用一不可伸长的绳索按图示的装两物体，用一不可伸长的绳索按图示的装置把它们连接起来置把它们连接起来。 C C 点与桌面固定点与桌面固定。 已知物体已知物体 A A 的加速度的加速度g5 . 0aA ，求物体求物体 B B 的加速度。的加速度。无解，解，以以 C C 为坐标原点，建立一维坐标系为坐标原点，建立一维坐标系 o-xo-x。设绳的总长度为。设绳的总长度为，B B 的坐标为的坐标为Bx，A A 的坐标为的坐标

13、为Ax，则得，则得 BAx4x3两端对两端对 t t 求导求导g83g5.043a43a,0a43a ,0dtxd4dtxd3ABBA2B22A2 2.3.62.3.6 质点沿直线的运动学方程为质点沿直线的运动学方程为2t3t10 x 。（1 1）将坐标原点沿）将坐标原点沿 oxox 轴正方向移动轴正方向移动 2m2m，运动学方程如何？初速度有无，运动学方程如何？初速度有无变化？变化？（2 2）将计时起点前移将计时起点前移 1s1s，运动学方程如何？初始坐标和初始速度都发生运动学方程如何？初始坐标和初始速度都发生怎样的变化？加速度变不变？怎样的变化？加速度变不变？解解， （1 1）2t3t10

14、 x 2xx, 2xx ，代入上式得：，代入上式得：, 2t103tx ,t3t102x22 xxvv , t610dtxddtdx 初速度不变。初速度不变。（2 2）2t3t10 x 无1tt , 1tt 代入上式得：代入上式得：7t4t3)1t (3)1t (10 x22 初坐标初坐标)m(7x, 0t 由由 0 0 变为变为-7m.-7m.4t6vx , ,初速度由初速度由 10m/s10m/s 变为变为 4m/s.4m/s.加速度不变，都是加速度不变，都是2s/m6. .以下四题用积分以下四题用积分2.4.12.4.1 质点由坐标原点出发时开始计时，沿质点由坐标原点出发时开始计时，沿

15、x x 轴运动，其加速度轴运动，其加速度s/cm t2a2x ，求在下列两种情况下质点的运动学方程求在下列两种情况下质点的运动学方程、出发后出发后 6s6s 时时质点的位置、在此期间所走过的位移及路程：质点的位置、在此期间所走过的位移及路程：（1 1）初速度）初速度0v0 ；（2 2）初速度）初速度0v的大小为的大小为 9cm/s,9cm/s,方向与加速度方向相反。方向与加速度方向相反。解解， （1 1） t0 xx0 xdtavv，,ttdt2v2t0 x t0 x0dtvxx，,t31dttx3t02 当当 t=6st=6s 时，时，)cm(72x6 , ,)cm(72072x , ,质点

16、运动的路程：质点运动的路程：)cm(72s (2)(2)9ttdt29v2t0 x , ,t9t31dt)9t (x3t02 , ,当当 t=6st=6s 时，时，无)cm(18x6 , ,)cm(18018x , ,3t ,0v,9tvx2x 质点运动的路程如图，质点运动的路程如图，t9t31x3 ，18x, 6t ,18x, 3t63 ，质点运动的路程：质点运动的路程：)cm(5418218s 2.4.22.4.2 质点直线运动瞬时速度的变化规律为质点直线运动瞬时速度的变化规律为. tsin3vx 求求3t1 至至5t2 时间内的位移。时间内的位移。解，解， tt11tdtsin3xxx，

17、)m(82. 3)3cos5(cos3| tcos3tdtsin3xxx535312 2.4.32.4.3 一 质 点 作 直 线 运 动 ， 其 瞬 时 加 速 度 的 变 化 规 律 为一 质 点 作 直 线 运 动 ， 其 瞬 时 加 速 度 的 变 化 规 律 为. tcosAa2x 在在 t=0t=0 时，时，,Ax, 0vx 其中其中 、A均为正常数均为正常数，求此质点的运动学方程。求此质点的运动学方程。解，解， t0 xx0 xdtavv， t0t02xtsinA) t(dtcosAdttcosAv t0 x0dtvxx，无tcosA| tcosAAdttsinAAxt0t0 2

18、.4.42.4.4 飞机着陆时为尽快停止采用降落伞制动飞机着陆时为尽快停止采用降落伞制动。刚着陆时刚着陆时，t=0t=0 时速度为时速度为0v且坐标为且坐标为 x=0.x=0.假设其加速度为假设其加速度为2xxbva ，b=b=常量，求此质点的运常量，求此质点的运动学方程。动学方程。解，解， t0vv2xx2xx2xxdtbvdv,bdtvdv,bvdtdvx0，,)1tbv(vv00 x t0 x0dtvxx，)1tbvln(b1| )1tbvln(b1)1tbv()1tbv(db1dt)1tbv(vx0t00t000t000 解以下四题中匀变速直线运动时应明确写出所选的坐标系、计时起点和解

19、以下四题中匀变速直线运动时应明确写出所选的坐标系、计时起点和初始条件。初始条件。2.4.52.4.5 在在 195m195m 长的坡道上，一人骑自行车以长的坡道上，一人骑自行车以 18km/h18km/h 的速度和的速度和-20cm/s-20cm/s2 2的加速度上坡的加速度上坡，另一自行车同时以另一自行车同时以 5.4km/h5.4km/h 的初速度和的初速度和 0.2m/s0.2m/s2 2的加速度的加速度下坡下坡。问问（1 1）经过多长时间两人相遇经过多长时间两人相遇； （2 2）两人相遇时两人相遇时，各走过多少路各走过多少路程。程。解，解，无建立坐标系建立坐标系 o-x,o-x,原点为

20、质点原点为质点 1 1 的初始位置。的初始位置。对上坡的质点对上坡的质点 1:t=0,v1:t=0,v1010=5m/s,=5m/s, x x1010=0,=0, a a1 1=-0.2m/s=-0.2m/s2 2, ,对下坡的质点对下坡的质点 2:t=0,v2:t=0,v2020=-1.5m/s,x=-1.5m/s,x2020=195m,=195m,a a2 2=-0.2m/s=-0.2m/s2 2, ,相遇时，相遇时，x x1 1=x=x2 2, ,所需时间设为所需时间设为 t t，则，则,ta21tvxta21tvx222020211010 ) s (30t,t2 . 021t5 . 1

21、195t2 . 021t522 质点质点 1 1 的速度表达式为：的速度表达式为：t2 . 05tavv1101 s25t , 0v1 ，所以质点所以质点 1 1 的路程为两段路程之和的路程为两段路程之和，如图所式如图所式。前前25s25s 的路程：的路程：无后后 5s5s 的路程：的路程：)m(655 . 25 .62s)m(5 . 252 . 021),m(5 .62252 . 021255122 质点质点 2 2 的路程：的路程：195-62.5+2.5=135(m)195-62.5+2.5=135(m)2.4.62.4.6 站台上送行的人站台上送行的人，在火车开动时站在第一节车厢的最前

22、面在火车开动时站在第一节车厢的最前面。火车开火车开动后经过动后经过t=24st=24s，第一节车厢的末尾从此人的面前通过第一节车厢的末尾从此人的面前通过。问第七节车厢问第七节车厢驶过他面前需要多长时间？火车作匀加速运动。驶过他面前需要多长时间？火车作匀加速运动。解，解，,242a,at2122 设火车第六节末尾经过此人的时间为设火车第六节末尾经过此人的时间为 t t6 6，火车第七节末尾经过此人的时间为火车第七节末尾经过此人的时间为 t t7 7，,at217 ,at2162726 ) s (71. 4)67(24ttt,72424/214t , 62424/212t6772726 2.4.7

23、2.4.7 在同一铅直线上相隔在同一铅直线上相隔 h h 的两点以同样的速率的两点以同样的速率 v v0 0上抛二石子上抛二石子， 但在高但在高处的石子早处的石子早 t t0 0秒被抛出。求此二石子何时何处相遇。秒被抛出。求此二石子何时何处相遇。无解，解，200020)tt (g21)tt (vgt21tvh 解出解出 t t 得：得：2tgvgtht000 ，将将 t t 代入代入20gt21tvhy ，得，得)4gtgthgvh(21y2020220 2.4.82.4.8 电梯以电梯以 1.0m/s1.0m/s 的匀速率下降，小孩在电梯中跳离地板的匀速率下降，小孩在电梯中跳离地板 0.50

24、m0.50m 高，高，问当小孩再次落到地板上时，电梯下降了多长距离？问当小孩再次落到地板上时，电梯下降了多长距离？解，解，无建立基本坐标系建立基本坐标系 o-x,o-x,原点固结在地面上，建立运动坐标系原点固结在地面上，建立运动坐标系xo 原点原点固结在电梯的地板。固结在电梯的地板。小孩相对运动参照系小孩相对运动参照系xo （电梯）跳起到落回地板所需时间设为（电梯）跳起到落回地板所需时间设为 t t，则则,)2t(g21h2 解出解出 tdtd 得，得，,gh22t 这段时间电梯下降的距离为这段时间电梯下降的距离为s , ,)m(638. 08 . 950. 0212gh2v2s0 2.5.1

25、2.5.1 质点在质点在 o-xyo-xy 平面内运动，其加速度为平面内运动，其加速度为, jtsinitcosa 位置和速度的初始条件为位置和速度的初始条件为 t=0t=0 时时ir , jv ，求质点的运动学方程并画出轨迹（本题用积分，求质点的运动学方程并画出轨迹（本题用积分） 。解，由解，由, jtsinitcosa 得得, tcosax tsinay 初始条件：初始条件：t=0t=0 时时,v,v0 x0 x=0,v=0,v0y0y=1,x=1,x0 0=1,y=1,y0 0=0=0无 t0 xx0 xdtavv, ,tsintdtcosvt0 x t0yy0ydtavv, ,tcos

26、tdtsin1vt0y t0 x0dtvxx, ,tcostdtsin1xt0 t0y0dtvyy, ,tsintdtcosyt0 tsinytcosx, jtsinitcosa 轨道方程：轨道方程：1yx22 2.5.22.5.2 在同竖直值面内的同一水平线上在同竖直值面内的同一水平线上 A A、B B 两点分别以两点分别以 30300 0、60600 0为发射为发射角同时抛出两小球欲使两小球相遇时都在自己的轨道的最高点，求角同时抛出两小球欲使两小球相遇时都在自己的轨道的最高点，求 A A、B B两点的距离。已知小球在两点的距离。已知小球在 A A 点的发射速率点的发射速率. s/m8 .

27、9vA 解，解，无,AB2/R2/R,HHBABA ,30sing2vH022AA ,60sing2vH022BB 022A30sing2v,60sing2v022B02022A2B60sin30sinvv ， AR),302sin(gv02A BR),602sin(gv02B )60sin120sin30sin1(g260sinv)120sinv60sinv(g212R2RAB0300202A02B02ABA 无)m(38. 2)60sin30sin1(g260sinv020202A 2.5.32.5.3 迫击炮弹的发射角为迫击炮弹的发射角为 60600 0, ,发射速率发射速率 150m/

28、s.150m/s.炮弹击中倾角炮弹击中倾角 30300 0的山的山坡上的目标，发射点正在山脚。求弹着点到发射点的距离坡上的目标，发射点正在山脚。求弹着点到发射点的距离 OA.OA.解，解，)1,.(xvg2x3y,xcosv2gtgxy2A20AA2A220AA 由几何关系：由几何关系：)3.(OA2130sinOAy)2.(OA2330cosOAx0A0A 将将(2)(2)、(3)(3)式代入式代入(1)(1)式式无)m(103 .15g3v2OA0OA0)1OAv2g3(OA22020 ，舍舍去去2.5.42.5.4 轰炸机沿与铅直方向成轰炸机沿与铅直方向成053俯冲时，在俯冲时，在 76

29、3m763m 高度投放炸弹，炸弹高度投放炸弹，炸弹离开飞机离开飞机 5.0s5.0s 时击中目标时击中目标。不计空气阻力不计空气阻力。 （1 1）轰炸机的速率是多少？轰炸机的速率是多少？（2 2）炸弹在飞行中经过的水平距离是多少？（）炸弹在飞行中经过的水平距离是多少？（3 3）炸弹击中目标前一瞬）炸弹击中目标前一瞬间的速度沿水平和铅直方向的分量是多少？间的速度沿水平和铅直方向的分量是多少？解，以投放炸弹处为坐标原点解，以投放炸弹处为坐标原点（1 1）,gt21t53cosvy200 ,t53cos2gty2v020 ) s/m(9 .212553cos258 . 97632v020 （2 2）

30、),m( 1 .85057986. 09 .212t53sinvx00 （3 3）) s/m( 1 .177gt53cosvv),s/m(17053sinvv00y00 x 无2.5.52.5.5 雷达观测员正在监视一越来越近的抛射体雷达观测员正在监视一越来越近的抛射体，在某一时刻在某一时刻，靠他得到靠他得到这样的信息这样的信息： （1 1）抛射体达到最大高度且以速率抛射体达到最大高度且以速率 v v 沿水平方向运动沿水平方向运动； （2 2）观察者到抛射体的直线距离为观察者到抛射体的直线距离为； （3 3）观测员观察抛体的视线与水平方向观测员观察抛体的视线与水平方向成成 角。角。问问： （1

31、 1）抛射体命中点到观察者的距离抛射体命中点到观察者的距离 D D 等于多少？等于多少？（2 2）何种情况下抛何种情况下抛体飞越观察者的头顶以后才击中目标？何种情况下抛体在未达到观测员体飞越观察者的头顶以后才击中目标？何种情况下抛体在未达到观测员以前就命中目标？以前就命中目标？解解， （1 1）2gt21sinH ，gsin2t ，命中点，命中点，gsin2vtvx00 命中点命中点观测者观测者 cosx观观察察者者抛射体命中点到观察者的距离抛射体命中点到观察者的距离 cosgsin2vxxD0观察者观察者命中点命中点（2 2）当当观观察察者者命命中中点点xx ， 飞 越 观 察 者 的 头

32、顶 击 中 目 标 ， 即， 飞 越 观 察 者 的 头 顶 击 中 目 标 ， 即无 cosgsin2v0 sin2gcosv0当当观观察察者者命命中中点点xx ，抛体在未达到观测员以前就命中目标，即，抛体在未达到观测员以前就命中目标，即 sin2gcosv02.6.12.6.1 列车在圆弧形轨道上自东转向北行驶，在我们所讨论的时间范围列车在圆弧形轨道上自东转向北行驶，在我们所讨论的时间范围内，其运动学方程为内，其运动学方程为2tt80s （长度：（长度：m m 时间：时间：s s） 。t=0t=0 时，列车在时，列车在图中图中 o o 点，此圆弧形轨道的半径点，此圆弧形轨道的半径 r=15

33、00m.r=1500m.求列车驶过求列车驶过 o o 点以后前进点以后前进至至1200m1200m 处的速率及加速度。处的速率及加速度。解，采用自然坐标系，解，采用自然坐标系，o o 为自然坐标系的原点。为自然坐标系的原点。由由2tt80s 得得t280dtdsv ，2dtdva ，当当 s=1200ms=1200m 时，由时，由2tt80s 得得,tt8012002 无,20t ,60t （舍去）因为当（舍去）因为当 t=60t=60 时，时，4060280v 当当) s/m(4020280v,20t ，即列车驶过，即列车驶过 o o 点以点以后前进至后前进至 1200m1200m 处的速率

34、为处的速率为 40m/s.40m/s.过过 o o 点以后前进至点以后前进至 1200m1200m 处的加速度：处的加速度：)s/m(2dtdva2 )s/m(067. 1150040rva222n ),s /m(267. 2067. 12aaa2222n2 可以算出可以算出a与与v的夹角为的夹角为 1521520 0。2.6.22.6.2 火车以火车以 200km/h200km/h 的速度驶入圆弧形轨道，其半径为的速度驶入圆弧形轨道，其半径为 300m300m。司机一。司机一进入圆弧形轨道立即减速，减速度为进入圆弧形轨道立即减速，减速度为 2g2g。求火车在何处的加速度最大？。求火车在何处的

35、加速度最大？最大加速度是多少？最大加速度是多少？解，解，, g2a ,gt2vv0 无R)gt2v(a20n ，,R)gt2v()g2(a2402 由上式可见由上式可见 t=0t=0 时（刚进入圆弧形轨道时时（刚进入圆弧形轨道时） ，a a 最大。最大。,Rvg4a2402max 代入数值得代入数值得)s/m( 1 .22300)3600/10200(8 . 94a22432max 2427aatg0n1 2.6.32.6.3 斗车在位于铅直平面内上下起伏的轨道运动斗车在位于铅直平面内上下起伏的轨道运动。 当斗车达到图中所示当斗车达到图中所示位置时位置时， 轨道曲率半径为轨道曲率半径为 150

36、m150m， 斗车速率为斗车速率为 50km/h,50km/h,切向加速度切向加速度 a a=0.4g.=0.4g.求斗车的加速度。求斗车的加速度。解，解，,Rva, g4 . 0a2n )s /m(126. 4aaa222n 无0n116.18aatg 加速度与水平方向的夹角加速度与水平方向的夹角00084.1116.1830 2.8.12.8.1 飞机在某高度的水平面上飞行飞机在某高度的水平面上飞行。机身的方向是自东北向西南机身的方向是自东北向西南，与正与正西夹西夹 15150 0角，风以角，风以 100km/h100km/h 的速率自西南向东北方向吹来，与正南夹的速率自西南向东北方向吹来

37、，与正南夹 45450 0角，结果飞机向正西方向运动。求飞机相对于风的速度及相对地面的速角，结果飞机向正西方向运动。求飞机相对于风的速度及相对地面的速度。度。解，基本参照系：地面解，基本参照系：地面运动参照系：风运动参照系：风研究对象：飞机研究对象：飞机绝对速度：绝对速度：机机地地v，相对速度：，相对速度：机机风风v，牵连速度：，牵连速度：风风地地v机机地地v= =机机风风v+ +风风地地v无（1 1）,15sinv135sinv00风地风地机风机风 ）（风风地地机机风风s/m9 .75v15sin135sinv00 （2 2）,15sinv30sinv00风地风地机地机地 ）（风地风地机地机

38、地s/m7 .53v15sin30sinv00 2.8.22.8.2 飞机在静止空气中的飞行速率是飞机在静止空气中的飞行速率是 235km/h235km/h，它朝正北的方向飞行，它朝正北的方向飞行，使整个飞行的时间内都保持在一条南北向的公路上空。地面观察者利用使整个飞行的时间内都保持在一条南北向的公路上空。地面观察者利用通讯设备告诉驾驶员正在刮着速率等于通讯设备告诉驾驶员正在刮着速率等于 70km/h70km/h 的风，但飞机仍能的风，但飞机仍能以以235km/h235km/h 的速率沿公路方向飞行的速率沿公路方向飞行。 （1 1）风的方向是怎样的？（）风的方向是怎样的？（2 2）飞机的）飞机

39、的头部指向哪个方向？也就是说，飞机的轴线和公路成怎样的角度？头部指向哪个方向？也就是说，飞机的轴线和公路成怎样的角度？无解，基本参照系：地面解，基本参照系：地面运动参照系：风运动参照系：风研究对象：飞机研究对象：飞机绝对速度：绝对速度：机机地地v，相对速度：，相对速度：机机风风v，牵连速度：，牵连速度：风风地地v机机地地v= =机机风风v+ +风风地地v,1489. 023535sin 43857. 800 81714.1757. 822000 2.8.32.8.3 一辆卡车在平直路面上以恒定速率一辆卡车在平直路面上以恒定速率 30m/s30m/s 行驶行驶， 在此车上射出一抛在此车上射出一抛

40、体，要求在车前进体，要求在车前进 60m60m 时，抛体仍落回到车上原抛出点，问抛体射出时时，抛体仍落回到车上原抛出点，问抛体射出时相对于卡车的初速度的大小和方向，空气阻力不计。相对于卡车的初速度的大小和方向，空气阻力不计。解解，以卡车为参照系以卡车为参照系，以起抛点为坐标原点以起抛点为坐标原点，建立直角坐标系建立直角坐标系 o-xy,o-xy,如图如图所示。以抛出时刻为计时起点。所示。以抛出时刻为计时起点。, ga, 0ayx 无.gt21tvdt)gtv(y, tvdtvx,gtvgdtvv,vv2y0t0y0 x0t0 x0y0t0y0yx0 x sinvv,cosvv0y0ox0得：得

41、：.gt21tsinvy, tcosvx200 由已知，由已知，0y, 0 x) s (23060t 时时，代入代入) s/m(8 . 9v2,2sin, 0cos1)2.(2g212sinv0),1,.(2cosv00200 ）得）得由（由（）得）得由（由（表明表明：抛射体相对卡车以抛射体相对卡车以 9.8m/s9.8m/s 的速率竖直上抛时的速率竖直上抛时，当卡车前进了当卡车前进了 60m60m，抛体落回抛射点。抛体落回抛射点。2.8.42.8.4 河的两岸互相平行，一船由河的两岸互相平行，一船由 A A 点朝与岸垂直的方向匀速行驶，点朝与岸垂直的方向匀速行驶，经经10min10min 到

42、达对岸的到达对岸的 C C 点点。 若船从若船从 A A 点出发仍按第一次渡河速率不变但垂直点出发仍按第一次渡河速率不变但垂直无地到达彼岸地到达彼岸 B B 点点，需要需要 12.5min12.5min。已知已知 BC=120m.BC=120m.求求（1 1）河宽河宽， （2 2）第第二次渡河时船的速率二次渡河时船的速率 u u， （3 3）水流速度）水流速度 v v解，第一次解，第一次)2,.(tBCv)1,.(tv11 水水岸岸船船水水第二次第二次)3.(sinvsinvv 船船水水船船水水船船岸岸）（船船水水水水岸岸4.cosvv )5.(tv2 船船岸岸由（由（1 1）式得）式得1tv

43、 船船水水由（由（3 3） （5 5）得）得2tsinv 船船水水02112.53, 8 . 0ttsin 由（由（2 2） （4 4）得）得无) s/m(3113.53cos600120costBCv ,cosvtBC011 船水船水船水船水由由（1 1）式式)m(20060031tv1 船船水水) s/m(2 . 013.53cos31cosvv0 船水船水水岸水岸2.8.52.8.5 圆弧公路与沿半径方向的东西向公路相交如图圆弧公路与沿半径方向的东西向公路相交如图。 某瞬时汽车甲向东某瞬时汽车甲向东以以 20km/h20km/h 的速率行驶；汽车乙在的速率行驶；汽车乙在030 的位置向东

44、北方向以速的位置向东北方向以速率率20km/h20km/h 行驶。求此瞬时甲车相对乙车的速度。行驶。求此瞬时甲车相对乙车的速度。解，基本参照系：地面解，基本参照系：地面运动参照系：乙车运动参照系：乙车研究对象：甲车。研究对象：甲车。甲甲乙乙乙乙地地甲甲地地vvv ) s/m(56. 5h/km20v 甲甲乙乙030 ( (东偏南东偏南060) )无第三章 动量定理及动量守恒定律（思考题）3.1 试表述质量的操作型定义。解答，kgvvmm00 式中kg1m0 （标准物体质量）0v ：为 m 与 m0碰撞 m0的速度改变v ：为 m 与 m0碰撞 m 的速度改变这样定义的质量， 其大小反映了质点在

45、相互作用的过程中速度改变的难易程度，或者说，其量值反映了质量惯性的大小。这样定义的质量为操作型定义。3.2 如何从动量守恒得出牛顿第二、第三定律，何种情况下牛顿第三定律不成立？解答，由动量守恒)pp(pp ,pppp22112121 ,pp21 tptp21 取极限dtpddtpd21 动量瞬时变化率是两质点间的相互作用力。无,am)vm(dtddtpdF111111 ,am)vm(dtddtpdF222222 21FF 对于运动电荷之间的电磁作用力，一般来说第三定律不成立。 （参见 P63最后一自然段）3.3 在磅秤上称物体重量，磅秤读数给出物体的“视重”或“表现重量” 。现在电梯中测视重，

46、何时视重小于重量（称作失重）？何时视重大于重量（称作超重） ？在电梯中， 视重可能等于零吗？能否指出另一种情况使视重等于零？解答，电梯加速下降视重小于重量；电梯加速上升视重大于重量；当电梯下降的加速度为重力加速度 g 时，视重为零；飞行员在铅直平面内的圆形轨道飞行，飞机飞到最高点时，gRv , 0mgRvmN ,NmgRvm22 飞行员的视重为零无3.4 一物体静止于固定斜面上。（1）可将物体所受重力分解为沿斜面的下滑力和作用于斜面的正压力。（2）因物体静止，故下滑力 mg sin与静摩擦力N0 相等。表示斜面倾角，N 为作用于斜面的正压力，0 为静摩擦系数。以上两段话确切否？解答，不确切。（

47、1）重力可以分解为沿斜面向下的和与斜面垂直的两个力。但不能说分解为沿斜面的下滑力和作用于斜面的正压力。（2）应该说，因物体静止，物体所受的力在斜面方向的分力的代数和为零。3.5 马拉车时，马和车的相互作用力大小相等而方向相反，为什么车能被拉动。分析马和车的受的力，分别指出为什么马和车能启动。解答，分析受力如图。地面反作用于马蹄子上的力使系统启动。无3.6 分析下面例中绳内张力随假想横截面位置的改变而改变的规律：（1）长为质量为 m 的均质绳悬挂重量为 W 的重物而处于静止。（2）用长为质量为 m 的均质绳沿水平方向拉水平桌面上的物体加速前进和匀速前进。对两种情况均可用F表示绳作用于物体的拉力，

48、不考虑绳因自重而下垂。（3）质量可以忽略不计的轻绳沿水平方向拉在水平桌面上运动的重物，绳对重物的拉力为F， 绳的另一端受水平拉力1F， 绳的正中间还受与1F的方向相同的拉力2F。（4）长为质量为 m 的均质绳平直地放在光滑水平桌面上，其一端受沿绳的水平拉力F而加速运动。（5）长为质量为 m 的均质绳置于水平光滑桌面上，其一端固定，绳绕固定点在桌面上转动，绳保持平直，其角速率为 。若绳保持平直，你能否归纳出在何种情况下绳内各假想横截面处张力相等。 （提示：可沿绳建立 ox 坐标系，用 x 坐标描写横截面的位置） 。解答，(1)ymgmgW)y(mgWT y 是在 0 至之间的任意位置。无（2）匀

49、速前进：wF ，FT 加速运动：,wF xxamFT （3）,2xo ,FFT21 ,x2 ,FT1 (4)xF)xm(mFT ,(5)无)2x2(mxdxmxdmT ,dxmdm222x2x2 若绳保持平直， 绳的两端受到大小相等方向相反的外力作用时， 绳静止或匀速直线运动。这时张力处处相等。若绳保持平直，绳的两端受到大小不等方向相反的外力作用时，绳加速直线运动，这时在忽略绳的质量时，张力处处相等。3.7 两弹簧完全相同，把它们串联起来或并联起来，劲度系数将发生怎样的变化？解答，如图，串联时：,2kkFmg 2kk 并联时：, 2/kkFmg k2k 。3.8 用两段同样的细线悬挂两物体，

50、若突然向下拉下面物体， 下面绳易断，无若缓慢拉，上面线易断。为什么？解答，突然向下拉下面物体时，由于上面物体要保持静止状态（惯性） ，由于过程的时间极短， 上面物体还没有来得及改变状态， 下面的绳就断了。若缓慢拉下面物体时， 上面物体能够来得及改变状态， 这样上面绳内的张力比下面绳内的张力大，所以上面绳易断。3.9 有三种说法：当质点沿圆周运动时，（1）质点所受指向圆心的力即向心力；（2）维持质点作圆周运动的力即向心力；（3）r/mv2即向心力。这三种说法是否正确？解答，以上说法都不确切。（1）如图F的n 方向投影为向心力，向心力为 inF。无（2）维持质点作圆周运动的力可能有 inF iF。

51、（3）r/mv2不是力，是外力对物体作用的瞬时效应。am是动量的变化率，dtpd)vm(dtddtvdmam 。3.10 杂技演员表演水流星，演员持绳的一端，另端系水桶，内盛水，令桶在铅直平面内作圆周运动，水不流出。（1）桶到达最高点除受向心力外，还受一离心力，故水不流出；（2）水受到重力和向心力的作用，维持水沿圆周运动，故水不流出。以上两种说法正确否？作出正确分析。解答，以上两种说法不正确。（1）向心力不是独立于其它相互作用之外的力，向心力为 inF。离心力为 inF的反作用力，它不作用于桶上。（2）在惯性系内，水沿圆周运动，所受的力为重力和桶对水的作用力即RvmmgN2 在非惯性系内，水除

52、受重力和桶对水的作用力外，还受惯性离心力无RvmF2c 3.11 游戏场中的车可在铅直圆环轨道上行驶，设车匀速前进。在图中标出的几个位置 E、 C、 A、 B、 D 上， 何处乘客对坐位的压力最大？何处最小？解答，,RvmcosmgN2 ,RvmcosmgN2 时时 0 , 1cos ，N 最小时时 , 1cos ，N 最大。在最下面。可以得出 D、E 点 N 最大。3.12 下面的动力学方程哪些线性哪些非线性？,xdtxdm222 非线性,tx2dtxdm222 线性无,tdtdxdtxdm322 线性,)dtdx(dtxdm222 非线性一次方程叫线性方程。n 阶线性方程具有下列形式) t

53、 (qx) t (px) t (p.x) t (px) t (pxn1n2n21n1)n( 对于 2 阶线性方程具有下列形式) t (qx) t (px) t (px21 3.13 尾部设有游泳池的轮船匀速直线航行，一人在游泳池的高台上朝船尾方向跳水， 旁边的乘客担心他跳入海中， 这种担心是否必要？若轮船加速行驶，这种担心有无道理？解答， （1）不必要。由伽利略下的相对性原理（2）若轮船加速行驶，这种担心有道理。在加速平动的非惯性中人除了受到物体的相互作用力外， 还受到与加速度方向相反的惯性力，此力有可能使他跳入海中。3.14 根据伽利略相对性原理，不可能借助于在惯性参照系中所作的力学实验来确

54、定该参照系作匀速直线运动的速度。 你能否借助于相对惯性系沿直线作变速运动的参照系中的力学实验来确定该参照系的加速度？如何无作？解答， gtga,gatg,cosTmg,sinTma测出，a 可求。3.15 在惯性系测得的质点的加速度是由相互作用力产生的，在非惯性系测得的加速度是惯性力产生的，对吗？解答，不对。 am)am(Fi，3.16 用卡车运送变压器，变压器四周用绳索固定在车厢内，卡车紧急制动时，后面拉紧的绳索断开了。分别以地面和汽车为参照系，解释绳索断开的原因。无解答，地面为参照系（惯性系） ，变压器为研究对象，其加速度向后，所以作用在变压器上的合力向后，后面的绳索作用在变压器的力比前面

55、的大。 （由于加速度较大，静摩擦力远远小于绳索的拉力，静摩擦力可以不考虑）汽车为参照系（非惯性系） ，变压器为研究对象，相互作用力和惯性力矢量和为零，可见，后面的绳索作用在变压器的力比前面的大。3.17 是否只要质点具有相对于匀速转动圆盘的速度，在以圆盘为参照系时，质点必受科里奥利力？解答，科里奥利力相相相相vm2vm2fk 无如图，质点具有相对于匀速转动圆盘的速度，在以圆盘为参照系时，质点不一定就受到科里奥利力。3.18 在北半球，若河水自南向北流，则东岸受到的冲刷严重，试由科里奥利力进行解释。 又问， 河水在南半球自南向北流， 哪边河岸冲刷较严重？解答，科里奥利力：相相相相vm2vm2fk 在北半球， 若河水自南向北流， 应用科里奥利力可判断东岸受到的冲刷严重。河水在南半球自南向北流时，西岸受到的冲刷严重。见图。3.19 在什么情况下，力的冲量和力的方向相同？解答，冲量是矢量，元冲量的方向总是与力的方向相同；至于在一段较长时间内， 力的冲量等于这段时间内各无