2019届福建省福州市高三第三次(5月)质量检测数学(文)试题(解析版)

1、第1 1页共 1616 页2019 届福建省福州市高三第三次（5 月）质量检测数学（文）试题一、单选题1已知集合创：宓护右劎-沁虢，灣：制:急心了二，则號阮（）A開-3兀1B- r|-l.r02.丁x-y-l 0-DO厂汕2j+oo)【答案】B B【解析】 先作出可行域，结合图形，考虑.一的几何意义. .【详解】根据题意，画出可行域，如图阴影部分所示， _表示可行域内的点 缶壮*与迸仃【点睛】本题主要考线性规划，考查数学运算能力，数形结合的思想所以sin2二COS2i 3丿2t211ii2t.根据题意t三i0,11,此时y = 2t单调递增，所(CL2 6JT9 9 若B B.(-00厂2u

2、p+ooj连线的斜率z E (-002 U )+C C.第7 7页共 1616 页2 21010.已知O为坐标原点，过双曲线 牛占可a 0, b 0的左焦点F作一条直线，a b与圆O : x2ya2相切于点T,与双曲线右支交于点P,M为线段FP的中点. .若该第8 8页共 1616 页TF【点睛】本题主要考查双曲线的定义和几何性质，考查数学运算能力则数列bn的最大项是（）【答案】B B【详解】根据题意，当n=1时，1-丄二丄，ai=2;双曲线的离心率为MF-|OMTFA A .丄【答案】B B【解析】结合双曲线的定义可知点 P P 到两个焦点的距离之差为常数2 2a,MF-OM转化为定义式，T

3、F利用圆的切线的性质可求【详设双曲线的另一个焦点为F2，连接OT,OM，则OT _ PF，且OMPF2，在Rl FTO中,由OF = c, OT = a，得TF = b,所以MF - OM2PF-2PF2专TF1、1、1)1-1-1a1丿鬼丿ilx10.【点睛】本题主要考查对数函数图像及不等式的解法，考查数形结合的思想，运算求解能力. .1414 某市电视台对本市 20192019 年春晚的节目进行评分，分数设置为分，分，分，g g 分，分五个等级. .已知打 Y Y 名大众评委对其中一个舞蹈节目评分的结果如图，则这众评委的分数的方差为 _【答案】【解析】结合评分图先求出平均值，再求解方差【详

4、解】分数的平均值为一：、x=-=100所以-匚- =-1 -匚-二二 .乂二- 二16x100【点睛】本题主要考查频率分布条形图的识别，数据平均值与方差，考查数据处理能力名大第1313页共 1616 页1515 已知抛物线 務严一抚勺! 测上一点到焦点一和点幼的距离之和的最小值为则此抛物线方程为_【答案】一 _【解析】利用抛物线的定义，求出未知数p.p.【详解】到焦点与点的距离之和等于点至U准线的距离与到点的【答案】2【解析】结合几何体的内切球的特点，把几何体分割为四个小几何体，小几何体的体积之和等于大几何体的体积 【详解】因AD =CD =1，且ACD为直角三角形，所以CD _ AD，又CD

5、 BD,BD一AD =D，所以CD平面ABD，所以CD _ AB 又由AB二AD =1,BD = .2得AB_ AD所以AB _平面ACD，所以AB AC，易得AC “2，设内切球的半径为r，则1根据抛物线的定义,距离之和，其最小值为点_到准线的距离，即一，所以_，所以抛物线方【点本题主要考查抛物线的方程和几何性质，考查数学运算能力，数形结合思想 1616 九章算术中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳌臑”如图，平面四边形ABCD中，AB二CD= 1,BD二2, BD _ CD, ,将其沿对角线BD折成一个鳌臑A-BCD，则该鳌臑内切球的半径为第1414页共 1616 页S|_ABCS_AC

6、DS_ABDSBCD332整理可得16 - 6z2-4-18=0(1) 求AC的长；(2) 若.ADC=60,AD = .3，求ACD的大小. .【答案】(1 1) 3 3 ； ( 2 2)ACD =30. 【解析】 在厶ABE中, ,使用正弦定理，在ACBE中，使用余弦定理可求 AC.AC.在.ADC中，由正弦定理可得sin- ACD，进而可求角 ACD. .【详解】解：1设AC =3z，在ABE中，由余弦定理可得162+(2z) -4cos BEA =3-4丁322z162cz -9在ACBE中，由余弦定理可得cos BEC3 2汉皱3汉z由于.BEA . BEC =180，所以cos B

7、EA =-cos BEC所以162+(2z) _43242z3Up第 1010 页共 1616 页本题主要考查数学文化，空间几何体与球的相切问题，考查空间想象能力 三、解答题1717 如图，在平面四边形ABCD中，AB=2,BC=3，点E在线段AC上，且AE二2EC,【点解得h第1616页共 1616 页解得 z=1z=1 （负值舍去），所以AC =3.1所以sin . ACD二-. .2因为 ADACAD koko ) )0.050.050.400.400.250.250.150.150.100.100.050.05k00.4550.4550.7080.7081.3231.3232.0722

8、.0722.7062.7063.8413.8411【答案】(1 1)详见解析；(2 2)丄. .7【解析】(1 1)根据频数分布表先求出列联表，再利用卡方公式计算；(2 2)先求出所有基本事件空间，再求2位同学的红包金额都在1120,160的事件，从而可求概率. .【详解】1填写表格如下:不近觇总计红包金K不低于80元279红包命薇帳于初元74IIXJ.il9II202202 4 -7 7所以K23.430 2.706. .911911故有90%的把握认为红包金额的大小与近视有关2由题意，红包金额在80,120的同学有4位，设为 代B,C,D，红包金额在120,160的同学有3位，设为a,b,

9、c,则从中抽取2位的基本事件有A, B , A,C , A,D , A,a , A,b , A,c , B,C , B,D , B,a ,B, b , B,c , C,D , C,a , C,b , C,c , D,a , D,b , D,c ,a,b , a,c , b,c共21种. .其中满足这2位同学的红包金额都在120,160的基本事件为a,b , a,c , b,c，共QA3种，设这2位同学的红包金额都在120,160的基本事件为M，则P M3217第1818页共 1616 页【点睛】第1919页共 1616 页本题主要考查独立性检验思想，古典概型的求解，主要考查数据分析能力2 2佃

10、.已知椭圆C :X22 =1 a b 0的左焦点为F -1,0，过F且垂直于x轴的a b直线被椭圆截得的弦长为3. .(1 1)求椭圆C的方程；(2(2)已知点M -4,0，过F作直线I交椭圆于 A,A, B B 两点，证明：.FMA二.FMB. .2 2【答案】(1 1) y1； (2 2)详见解析43【解析】(1 1)根据焦点坐标可得C=1，结合弦长及a,b,c的关系可得椭圆的方程;(2) .FMA =/FMB转化为kAM- kBM=0，结合韦达定理可证【详解】c =1,fa解得b2 2所以椭圆C的方程为=1=1. .43(2 2)当I与x轴重合时，.FMA二.FMB = 0o;当I与x轴

11、垂直时，直线MF恰好平分.AMB，则.FMA二.FMB;当I与x轴不重合也不垂直时，设直线I的方程为y = kx，1 k = 0. .代入椭圆方程可得3 - 4k2x28k2x 4k2-12= =0 0 . .直线MA, MB的斜率之和为y1.y2_ 力X24y?捲4X14X24x14x24=2,设A x1,y1,B X2,y2,x,X2，23 4k2_4k2-123 4k2(1(1 )由第2020页共 1616 页k x11 x24 k x21 x14X14 X24第2121页共 1616 页2x1x25 x1x28xi4X24所以kAM- kBM =0 故直线MA,MB的倾斜角互补，所以.

12、FMA = . FMB. .综上，.FMA二.FMB.【点睛】本题主要考查椭圆的几何性质和标准方程，直线与椭圆的位置关系，主要考查数学运算能力 22020 .已知函数f x = xexa x-1i亠b在点0, f 0处的切线方程为Sx-y-dO. .(1) 求 a,a, b b 的值；(2) 证明：当x 0时，f xi2elnx 1. .【答案】(1 1)a = -1,b=0; (2 2)详见解析. .【解析】(1 1)利用导数的几何意义，结合切线方程可求a,b;a,b;(2 2)构造新函数g x = f x -2elnx-1，求解新函数的最小值，从而可证 . .【详解】(1 1)因为x =

13、x 1 ex，2a x-1，函数f x在点 0,0, f f 0 0 处的切线方程的斜率为3，所以f 0 =1 -2a =3，解得a - -1. .2又f (0 )= 1，所以一(0 -1) +b = -1，解得b =0.2(2)由()得f x二xex-：x-1.2设g x = f x ?-2eln x -1 = xex-2eln x -1-1，则g x = x 1 ex-空-2 x -1. .x2e令h x i；hx 1 ex2 x -1,x 0,则x2e2eh x = x 2 ex-xex2 ex-1彎.xx所以当 0,=0,=时，hx -0,故h x在0,；上单调递增又h 1 =0,所以

14、当x0,1时，gx x ：0 0 ；当x 1,=时，gx x 0.0. 所以g x在0,1上单调递减，在h血)上单调递增. .因为c 4k2-122牙3 4k28k2,3+4k28k224 40k224 32k23+4k2第2222页共 1616 页所以当x=1时，g x取得最小值g 1二e-1 .0. .所以g x 0,即f x 2eln x 1. .【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、极值以及导数的几何意义，考查逻辑推理能力和数学运算能力. .Jx = 2 t cos ,2121 在直角坐标系xOy中，直线I的参数方程为(t为参数)，以坐y =一2 +tsi na,标原点为极点，

15、x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为Y -2云_2二0.I 4丿(1) 求曲线C的直角坐标方程；(2) 若直线I与曲线C的交点为P,Q，求弦长PQ的最小值. .2 2.【答案】(1)x -1亠i y 14； (2 2)2 . 2 【解析】(1 1)利用极坐标和直角坐标的互化公式可求；(1 1)利用圆的性质可知弦长PQ的最小时，直线 I I 垂直于过点A(2,-2 )的直径，结合勾股定理可求 【详解】(1) 根据题意， 詔-2、2COS -2=0,即卩即-2：攻二2 &二2 0I 4丿x =COST22将 _ .,代入得曲线C的直角坐标方程为x-1 i亠i y 1 i =4 y sin(2)由题意，直线经过圆内定点A2,-2,设圆心C(1,1 )到直线I的距离为d， 因为d W|AC = J(1_2)2+(T + 2)2= J2,所以PQ|=24-d2启24-2 =2血，当直线l与AC垂直时，等号成立. .故弦长PQ的最小值为2 J2. .【点睛】第2323页共 1616 页本题主要考查极坐标方程、参数方程与直角坐标方程的相互转化、弦长的最值问题. .第2424页共 1616 页2222 .已知. .【答案】（“阀歎就或；（2）；【解析】（1 1）利用零点分段讨论法，去掉绝对值，求解不等式;【详解】解得“0或X 2 5，故不等式代力5的解集为xx 5）