随机变量与其分布

1、随机变量与其分布 在在 1100 这这 100 个数中任取一个个数中任取一个, 用用X表示取得的数值表示取得的数值, 则则 X 是一随机变量是一随机变量, 试用试用X 表示下列事件表示下列事件 ：（1）取得的数为偶数）取得的数为偶数 （ ）（2）取得的数为奇数）取得的数为奇数 （ ）（3）取得的数为两位数）取得的数为两位数 （ ）解答返回 已知随机变量已知随机变量X的所有可能取值的所有可能取值是是0, 1, 2, 3, 取这些值的概率依次为取这些值的概率依次为0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 试写出试写出X的分布函数的分布函数. 2.3 含含10个次品的某批产品共个次品的某批产品共100

2、个个, 求任意取出的求任意取出的5个产品中次品数的概率分个产品中次品数的概率分布布.解答返回解答设随机变量设随机变量X的分布函数为的分布函数为0 ,0s in,01()0 .9 ,121 ,2xxxFxxx 解答返回 1 ,1 ,2 ,11 .P XP XPXPX 求求 在下列函数中在下列函数中, 哪些函数是随机变哪些函数是随机变量的分布函数量的分布函数(在括号内填上在括号内填上“是是”或或“否否”, 并简要说明理由并简要说明理由) ?e,0(1)( )()0,011(2)( )arctan()21sgn( )(3)( )()2xxF xxF xxxF x 解答返回 一匹零件中有一匹零件中有9

3、个正品和个正品和3个次品个次品. 安装机器时从这批零件中任取安装机器时从这批零件中任取1个使用个使用. 如如果取出的次品不再放回去果取出的次品不再放回去 , 求在取出正品求在取出正品前已取出的次品数前已取出的次品数X的分布律的分布律. 对某一目标进行射击对某一目标进行射击, 直至击中时为止直至击中时为止. 如果每次射击的命中率为如果每次射击的命中率为 p, 求射击次数求射击次数的概率分布的概率分布. 解答返回解答 进行进行8次独立射击次独立射击, 设每次击中目标设每次击中目标的概率为的概率为 0.3, 问击中几次的可能性最大问击中几次的可能性最大? 并并求相应的概率求相应的概率.解答返回解答

4、已知一本书中一页的印刷错误的个数已知一本书中一页的印刷错误的个数X服从泊松分布服从泊松分布 P(0.2) , 试计算试计算X的概率分布的概率分布(近似到小数点后近似到小数点后4位位) , 并求一页上印刷错误并求一页上印刷错误不多于不多于1个的概率个的概率. 站为站为300个用户服务个用户服务. 设在设在1小时小时内每一用户使用内每一用户使用 的概率为的概率为 0.01 , 求在求在1小时小时内有内有4个用户使用个用户使用 的概率的概率 ( 先用二项分布计先用二项分布计算算, 再用泊松分布近似计算再用泊松分布近似计算, 并求两次计算的并求两次计算的相对误差相对误差) .解答返回解答 设公共汽车站

5、每隔设公共汽车站每隔 5 分钟有一辆汽车通分钟有一辆汽车通过过, 乘客在任一时刻到达汽车站都是等可能的乘客在任一时刻到达汽车站都是等可能的. 求乘客的候车时间不超过求乘客的候车时间不超过 3 分钟的概率分钟的概率. ( (柯西分布柯西分布) )设连续型随机变量设连续型随机变量X的分的分布函数为布函数为 F(x)=A+Barctanx , - - x +求求: (1) 系数系数 A, B ; (2) X 落在区间落在区间(-(-1 , 1) )内的概率内的概率; (3) X 的分布密度的分布密度 f (x) .解答返回 2.14 设随机变量设随机变量 X 服从指数分布服从指数分布 , 证证明明:

6、 对任意非负实数对任意非负实数 s及及t , 有有 ( (拉普拉斯分布拉普拉斯分布) )设连续型随机变量设连续型随机变量X的分布密度为的分布密度为 f (x)=Ae x , - - x +求求: (1) 系数系数 A ; (2) X 的分布函数的分布函数 F (x) .( )e 解答返回解答 P Xst XsP Xt 设随机变量设随机变量 X 服从正态分布服从正态分布N(1,4), 试利用正态分布函数的关系计算下列事件的概试利用正态分布函数的关系计算下列事件的概率率: (1)2.2 ; (2)11 ; (3)4.56P XP XP X 2.16 设随机变量设随机变量 X 服从参数为服从参数为,

7、 的正态的正态分布分布N(, 2), 求求 X 落在区间落在区间( -k, +k )内的内的概率概率( k=1, 2, 3,) .解答返回解答（1）取得的数为偶数）取得的数为偶数 （ ）（2）取得的数为奇数）取得的数为奇数 （ ）（3）取得的数为两位数）取得的数为两位数 （ ） 在在1100这这100个数中任取一个个数中任取一个, 用用 X表示取得的数值表示取得的数值, 则则 X 是一随机变量是一随机变量, 试用试用X 表示下列事件表示下列事件 ： 211, 2, 50Xkk 21, 2, 50Xk k 10,11, 99Xk k 已知随机变量已知随机变量X的所有可能取值的所有可能取值是是0,

8、 1, 2, 3, 取这些值的概率依次为取这些值的概率依次为0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 试写出试写出X的分布函数的分布函数.解解 由分布函数的定义可得由分布函数的定义可得 ()0 ,00.1 ,010.3 ,120.6 ,231 ,3kxF xPXxPXkxxxxx 设取出的设取出的5个产品中次品数为个产品中次品数为X, 则则X服从超几何分布服从超几何分布, 它的所有可能取值是它的所有可能取值是 0, 1, 2, 3, 4, 5. 所求分布律为所求分布律为 含含10个次品的某批产品共个次品的某批产品共100个个, 求求任意取出的任意取出的5个产品中次品数的概率分布个产品中次品数的概

9、率分布.5-10905100C C,0,1,2,3,4,5CiiP Xii 解解即即0123450.5838 0.3394 0.0702 0.0064 0.0002 0.0000X 设随机变量设随机变量X的分布函数为的分布函数为0 ,0sin,01()0 .9 ,121 ,2xxxFxxx 1 ,1 ,2 ,11 .P XP XP XP X 求求解解 1(1)0.91(1)(10)0.9sin1P XFP XFF 222(2 0)( 2)0.9 00.911012(0) 1(2 0)0 1 0.90.1P XP XP XFFP XP XP XFF e,0(1)( )()0,011(2)( )a

10、rctan()21sgn( )(3)( )()2xxF xxF xxxF x 在下列函数中在下列函数中, 哪些函数是随机变哪些函数是随机变量的分布函数量的分布函数(在括号内填上在括号内填上“是是”或或“否否”, 并简要说明理由并简要说明理由) ?;0( )xF x 否否时时递递减减;( )F xx 否否在在0 0点点非非右右连连续续;( )F x是满足3个性质是满足3个性质 因取出的次品不再放回因取出的次品不再放回, 所以所以X的所有可能的所有可能取值是取值是0, 1, 2, 3. 设设 Ai 为为 “第第i次取出的是合格次取出的是合格品品”, i=1, 2, 3, 4, 则则 一匹零件中有一

11、匹零件中有9个正品和个正品和3个次品个次品. 安装安装机器时从这批零件中任取机器时从这批零件中任取1个使用个使用. 如果取出的次如果取出的次品不再放回去品不再放回去 , 求在取出正品前已取出的次品数求在取出正品前已取出的次品数X的分布律的分布律.解解 1930()124P XP A 1212312343991()12114432992()121110220321913()1211109220P XP A AP XP A A AP XP A A A A 于是于是01233991444220220X 用用 Ai 表示表示 “第第i次击中次击中” , 则则 P(Ai) = p , i= 1, 2,

12、, 且因各次射击击中与否是相互且因各次射击击中与否是相互独立的独立的, 所以所以 A1 , A2 , 相互独立相互独立. 对某一目标进行射击对某一目标进行射击, 直至击中时为直至击中时为止止. 如果每次射击的命中率为如果每次射击的命中率为 p, 求射击次数的求射击次数的概率分布概率分布. 解解 设设 X 为射击次数为射击次数, 则其可能的取值则其可能的取值 1, 2, 且事件且事件 X=k 表示表示 “前前 k-1 次未击中次未击中, 第第k次次击中击中”.所以所以11111()()() ()(1),1,2,kkkkkP XkP AAAP AP AP Appk 即即X服从参数为服从参数为p的几

13、何分布的几何分布.11kkXkAAA 即即 设击中目标的次数为设击中目标的次数为X, 则则X 服从二项分服从二项分布布B(8, 0.3), 其分布律为其分布律为 进行进行8次独立射击次独立射击, 设每次击中目标的概设每次击中目标的概率为率为 0.3, 问击中几次的可能性最大问击中几次的可能性最大? 并求相应的并求相应的概率概率. 88C 0.3 0.7,0,1, 2, 8kkkP Xkk 解解 8811818C 0.3 0.72.711C0.3 0.70.72 ,1;2 ,111kkkkkkP XkkP XkkP XkP XkkkP XkP Xk 因因所所以以当当时时当当时时故故 k=2时时P

14、X=k取得最大值取得最大值, 相应的概率相应的概率为为228C 0.3 0.76 (0.2965) 已知一本书中一页的印刷错误的个数已知一本书中一页的印刷错误的个数X服从泊松分布服从泊松分布 P(0.2) , 试计算试计算X的概率分布的概率分布 (近近似到小数点后似到小数点后4位位) , 并求一页上印刷错误不多于并求一页上印刷错误不多于1个的概率个的概率. 0.20.2e,0,1, 2,kP Xkkk ！解解 因参数为因参数为0.2, 所以分布律为所以分布律为0123440.8187 0.1638 0.0164 0.0011 0.00010kX 即即故故 一页上印刷错误不多于一页上印刷错误不多

15、于1个的概率为个的概率为101 0.9825P XP XP X 设设X为为1小时内使用小时内使用 的户数的户数. 因各用户因各用户使用使用 与否相互独立与否相互独立, 所以所以XB(300, 0.01) 站为站为300个用户服务个用户服务. 设在设在1小时小时内每一用户使用内每一用户使用 的概率为的概率为 0.01 , 求在求在1小时小时内有内有4个用户使用个用户使用 的概率的概率 ( 先用二项分布计先用二项分布计算算, 再用泊松分布近似计算再用泊松分布近似计算, 并求两次计算的并求两次计算的相对误差相对误差) .442963004C0.01 0.990.1689P X 从从而而4334e0.

16、1680(3)4P X 泊泊松松分分布布近近似似！解解 0.1689 0.16800.530.1689两两次次计计算算的的相相对对误误差差为为： 由题意知乘客的候车时间由题意知乘客的候车时间X在区间在区间0,5上服从均匀分布上服从均匀分布, 设公共汽车站每隔设公共汽车站每隔 5 分钟有一辆汽车分钟有一辆汽车通过通过, 乘客在任一时刻到达汽车站都是等可能乘客在任一时刻到达汽车站都是等可能的的. 求乘客的候车时间不超过求乘客的候车时间不超过 3 分钟的概率分钟的概率. 0.2,0,5( )0,xf x 其其他他解解 于是于是, 乘客的候车时间不超过乘客的候车时间不超过 3 分钟的概率分钟的概率30

17、030.2d0.6PXx 故其分布密度为故其分布密度为 ( (柯西分布柯西分布) )设连续型随机变量设连续型随机变量X的分布的分布函数为函数为 F(x)=A+Barctanx , - - x +求求: (1) 系数系数 A, B ; (2) X 落在区间落在区间(-(-1 , 1) )内的概率内的概率; (3) X 的分布密度的分布密度 f (x) .11(1)()0,()1,2FFAB 由由可可得得解解 11( )arctan2F xx从而从而1(2) 11(1)( 1)2PXFF 21(3)( )( )(1)Xf xF xx 的的分分布布密密度度 ( (拉普拉斯分布拉普拉斯分布) )设连续

18、型随机变量设连续型随机变量X的分布密度为的分布密度为: f (x)=Ae x , - - x +求求: (1) 系数系数 A ; (2) X 的分布函数的分布函数 F (x) .0(1)1( )d2e d2xf xxAxA 由由11,( )e22xAf x 得从而得从而001e d ,012( )ed21e de d,021e ,0211e ,02xxxxxxxxxxxF xxxxxxx 解解 (2) X的的分分布布函函数数为为 因为因为X 服从指数分布服从指数分布 , 所以其分布所以其分布函数为函数为 ( )e 1e,0( )0,0 xxF xx ,1( )exx P XxF x 故故对对任任意意非非负负实实数数 设随机变量设随机变量 X 服从指数分布服从指数分布 , 证明证明: 对任意非负实数对任意非负实数 s及及t , 有有 ( )e P Xst XsP Xt证证 于是于是()eee s ttsP Xs tP XsP Xs t XsP XsP Xs tP XtP Xs 设设 X 的分布函数为的分布函数为F(x), 标准正态分布标准正态分布N(0,1) 的分布函数为的分布函数为 , 则则 设随机变量设随机变量 X 服从正态分布服从正态分布 N(1,4) , 试利用正态分布函数的