06机械振动基础

1、机械振动基础机械振动基础本章内容：本章内容：6.1 简谐振动简谐振动6.2 简谐振动的合成简谐振动的合成6.3 阻尼振动和受迫振动简介阻尼振动和受迫振动简介zxc6.1.1 简谐振动简谐振动 定义定义: : 特点特点: (1)等幅振动等幅振动 (2)周期振动周期振动6.1 简谐振动简谐振动x是描述位置的物理量是描述位置的物理量,如如 y , z 或或 等等.) cos()(tAtx m)()(Ttxtxl 谐振子谐振子1. 受力特点受力特点机械振动的力学机械振动的力学特点特点线性恢复力线性恢复力kxFmxOzxc2. 动力学方程动力学方程makxF0dd222xtx) cos()(tAtx动力

2、学方程动力学方程其中其中 为为 固有固有(圆圆)频率频率mk 3. 速度和加速度速度和加速度 ) sin( tAv)2 cos( tA)cos(vvtA)cos(2tAa)cos(aatAzxc6.1.2 谐振动谐振动的振幅、周期、频率和相位的振幅、周期、频率和相位 1. 振幅振幅 A2. 周期周期T 和频率和频率 vv = 1/T (Hz)3. 相位相位(1) ( t + + ) 是是 t 时刻的相位时刻的相位 (2) 是是 t =0 时刻的相位时刻的相位 初相初相mxO相位的意义相位的意义:) cos()(tAtx)cos(2tAa)sin(tAvv 相位确定了振动的状态相位确定了振动的状

3、态. .v 相相位每改变相相位每改变 2 2 振动重复一次振动重复一次, ,相位相位 2 2 范围内变化范围内变化, ,状态不重复状态不重复. . txOA-A = 2 zxcxtoA1A2- A2x1x2T同相同相v 相位差相位差 )cos(1111tAx)cos(2222tAx)()(1122tt12时）（当12m1xOm2当当 212k当当- A1x2TxoA1- A1A2- A2x1t反相反相两振动步调相同两振动步调相同, ,称称同相。同相。) 12(12k两振动步调相反两振动步调相反 , , 称称反相。反相。zxc6.1.3 振幅和初相位的确定振幅和初相位的确定) cos()(tAt

4、xcos0Ax ) sin( tAvsin 0Av22020vxA)arctan(00 xv注意注意:如何确定最后的如何确定最后的 .zxc6.1.4 谐振动的能量谐振动的能量( (以水平弹簧振子为例以水平弹簧振子为例) )1. 动能动能221vmEk)(sin2122tkA2max21kAEk2 41d1kAtETETttkk2. 势能势能221kxEP)(cos2122tkA3. 机械能机械能221kAEEEPk（简谐振动系统机械能守恒）（简谐振动系统机械能守恒）0minkEzxc6.1.5 谐振动旋转矢量表示法谐振动旋转矢量表示法 t + oxxtt = 0 Ava)sin(tAv)2c

5、os(tA)cos(2tAa)cos(vvtA)cos(aatA特点特点:直观方便直观方便.)cos()(tAtxzxc例例 物理摆物理摆如图所示如图所示, 设刚体对轴的转设刚体对轴的转 动惯量为动惯量为J. 设设 t = 0 时摆角向右最大为时摆角向右最大为 0.求求振动周期和振动方程振动周期和振动方程.解解JhmMsing0singJhm sin,5 时0gJhm JhmghmJTg2单单摆摆g2lT振动方程振动方程t cos0Cgmhzxc例例如图所示，一质点作简谐振动，在一个周期内相继通过距如图所示，一质点作简谐振动，在一个周期内相继通过距离为离为12cm的两点的两点A和和B，历时，历

6、时2s，并且在，并且在A，B两点处具有两点处具有相同的速率；再经过相同的速率；再经过2s后，质点又从另一方向通过后，质点又从另一方向通过B点。点。AB解解Ox质点运动的周期和振幅。质点运动的周期和振幅。求求由题意可知，由题意可知，AB的中点为平衡位置，周期为的中点为平衡位置，周期为T = 4 2 = 8 (s)cm6Axcm6Bx设平衡位置为坐标原点，则设平衡位置为坐标原点，则)2cos(tAx设设 t = 0 时，质点位于平衡位置，则振动方程可写为时，质点位于平衡位置，则振动方程可写为t = 1 时时, 质点位于质点位于B点点, 所以所以 ) 282cos(6 A)282cos(tAcm 2

7、6Azxc6.2 谐振动的合成谐振动的合成6.2.1 同方向同频率谐振动的合成同方向同频率谐振动的合成1. 分振动分振动 : 2. 合振动合振动 :)cos()cos(2211tAtAtAAtAA sin)sinsin( cos)coscos(22112211cosAsinA) cos( sinsincoscostAtAtAx)cos(212212221AAAAA22112211coscossinsintanAAAA)cos(111tAx)cos(222tAx21xxxr 结论：结论：合振动合振动 x 仍是简谐振动仍是简谐振动zxcr 讨论讨论: (1)若两分振动同相若两分振动同相,即即 2

8、1= 2k (k=0,1,2,)(2)若两分振动反相若两分振动反相,即即 2 1= (2k+1) (k=0,1,2,)当当 A1=A2 时时, A=0则则 A=A1+A2 , 两分振动相互加强，两分振动相互加强，则则A=|A1-A2|, 两分振动相互减弱，两分振动相互减弱，当当 A1=A2 时时 , A=2A1)cos(212212221AAAAAzxcr 旋转矢量法处理谐振动的合成旋转矢量法处理谐振动的合成11 A2 A2Ax2x1x21xxxO1221xxx) cos(tA)cos(212212221AAAAA22112211coscossinsintanAAAA1. 分振动分振动)cos

9、(111tAx)cos(222tAx 2. 合振动合振动zxc6.2.2 同方向不同频率谐振动的合成同方向不同频率谐振动的合成 拍拍1. 分振动分振动 :tAx cos111tAx222cost11 A2 At2Ax2x1x21xxxO21 2. 合振动合振动 :21xxx当当 时时, , 当当 时，时，合振动振幅的频率为合振动振幅的频率为: :21AAA21AAA2 )(12kt ) 12( )(12ktA 有最大值有最大值A有最小值有最小值t )(122 )(12T12122vvvr 结论：结论：合振动合振动 x 不再是简谐振动不再是简谐振动zxctAtAxxx2121coscos当当 2

10、 1 时时 , 2 - 1 2 + 1 ，令，令其中其中 )2cos(2)(12tAtA)2cos(cos12tt随随 t 缓变缓变随随 t 快变快变ttAxcos)(r 振幅相同不同频率的简谐振动的合成振幅相同不同频率的简谐振动的合成tAx11costAx22costtA)2cos()2cos(21212 2. 合振动合振动 :1. 分振动分振动 :r 结论：结论：合振动合振动 x 可看作是振幅缓变的简谐振动。可看作是振幅缓变的简谐振动。zxcxx2x1ttt3. 拍的现象拍的现象 OOO拍频拍频 : 单位时间内单位时间内合振动振幅强弱变化的次数，即合振动振幅强弱变化的次数，即 1212)2

11、()(vv/v拍原理的应用拍原理的应用zxc6.2.3 两个相互两个相互垂直谐振动的合成垂直谐振动的合成 利萨如图利萨如图1.1.分振动分振动2. 合运动合运动)(sin)cos(21221221222212AyAxAyAxr 讨论讨论 当当 = 2 1= k (k为整数为整数)时时: 0221222212AyAxAyAx当当 = ( 2k +1 ) /2 (k为整数为整数)时：时： 1222212AyAx021AyAx)cos(11tAx)cos(22tAyxyzxc = 0(第一象限第一象限) = /2 = = = 3 = 3 /2/2(第二象限第二象限)( (第三象限第三象限) )( (

12、第四象限第四象限) )(sin)cos(21221221222212AyAxAyAx12zxc6.3 阻尼振动和受迫振动简介阻尼振动和受迫振动简介6.3.1 阻尼振动阻尼振动1. 阻尼力阻尼力xf 2. 振动的微分方程振动的微分方程 xkxxm 022xxnx 式中，式中，2=k/m , n = /(2 m) (阻尼系数阻尼系数) 3. 几种阻尼振动模式几种阻尼振动模式 （1）小阻尼）小阻尼（3）大阻尼）大阻尼fvl0 x（2）临界阻尼）临界阻尼zxc（2）临界阻尼）临界阻尼( n2 = 2 )（1）小阻尼）小阻尼 ( n2 2 )r 阻尼的应用阻尼的应用TnT222zxc6.3.2 受迫振动

13、受迫振动1. 受力分析受力分析 弹性力弹性力阻尼力阻尼力 x 周期性干扰力周期性干扰力tFxkxxm sin 0 kx2. 受迫振动的微分方程受迫振动的微分方程tfxxnxsin220 tFFsin0）2(00；令：mFfmnmkkxF xF pNtFsin0 xl0 xzxc3.3.受迫振动微分方程的受迫振动微分方程的稳态稳态解为解为: :) sin(tBx其中，振幅其中，振幅 B 及受迫振动与干扰力之间的相位差及受迫振动与干扰力之间的相位差分别为：分别为：2/12222024)(nfB2202tannr 结论结论:振幅振幅 B 及受迫振动与干扰力之间的相位差及受迫振动与干扰力之间的相位差都都与起始条件无关。与起始条件无关。r 讨论讨论:（1）位移共振）位移共振(振幅取极值振幅取极值)（2）速度共振）速度共振(速度振幅取极值速度振幅取极值)zxc（1）位移共振）位移共振(振幅取极值振幅取极值)（振幅