含参导数问题

1、由参数引起的血案含参导数问题、已知两个函数 f(x) 8x2 16x k , g(x) 2x3 5x2 4x，按以下条件求k的范围。(1)对于任意的x 3,3，都有f(x) g(x)成立。(构造新函数，恒成立问题)(与恒成立问题区别看待)(注意Xi,X2可以不是同一个x)(2)若存在 x0 3,3，使得 f (x0) g (x0)成立。(3)若对于任意的 xi、X2 3,3,都有 f(xi) g(X2).(4)对于任意的x1 3,3,总存在x0 3,3,使得g(x0)f (x1)。(注意：哪个函数的值域含于哪个函数的值域取决于：谁的x是任意取的，谁的x是总存在的。)3,3 ,使得 g(xj f

2、(xo) g(X2)成立;Ra的取值范围是,(5)若对于任意x03,3 ,总存在相应的x, x2(与(4)相同)1 2二、已知函数 f xalnxx2 (1 a)x， a2(1)函数f (x)在区间(2, +s )上单调递增，则实数 函数f(x)在区间(2,3)上单调，则实数a的取值范围是三、设函数f(x) 3x ax3 ( a R)，若对于任意的x 1,1都有f (x)1成立，求实数a的取值范围四、含参数导数问题的三个基本讨论点一、求导后，考虑导函数为零是否有实根(或导函数的分子能否分解因式)，从而引起讨论。二、求导后，导函数为零有实根(或导函数的分子能分解因式)，但不知导函数为零的实根 是

3、否落在定义域内，从而引起讨论。三、求导后，导函数为零有实根(或导函数的分子能分解因式)，导函数为零的实根也落在定义域内，但不知这些实根的大小关系，从而引起讨论。1例1、设函数f (x)x3 2ax2 3a2x a(a R).求函数f (x)的单调区间和极值；3(可因式分解，比较两根大小，注意别丢两根相等情况)解:f (x)x224ax-3a (x a)(x 3a)因此0 时，f (x)0时，在区间(,a),(3a,0，(,)是函数的单调减区间；无极值;(,a),(3a,)上，f (x)0 ； 在区间(a,3a)上,)是函数的单调减区间，(a,3a)是函数的单调增区间,f (x)0，f (x)0

4、，10分4 c函数的极大值是 f(3a) a ；函数的极小值是 f(a) aa3 ；3a 0时，在区间(，3a),(a,)上，f (x)0 ；在区间(3a,a)上, 因此(，3a),(a,)是函数的单调减区间，(3a,a)是函数的单调增区间43函数的极大值是f (a) a a ,函数的极小值是 f(3a) a32例1变式若f '(x) x (a 1)x a，若x (0,),讨论f (x)的单调性。(比较根大小，考虑定义域)例2、已知a是实数，函数f x x x a。（不知导函数为零的实根是否落在定义域内，从而引起讨论）求函数f x的单调区间；（主要看第一问，第二问选看）设g a为f x

5、在区间0,2上的最小值。(i)解：（I）函数的定义域为0,x ax 、x 72lx3x a2 I0 ，由 f (x)0 得ax3a考虑一是否落在导函数 f （x）的定义域 0,3内，需对参数a的取值分a 0及a0两种情况进行讨论。(1)当a 0时，则f （x）0在0, 上恒成立，所以f x的单调递增区间为0, 。(2)当a 0时,由 f (x)因此，当a0时，fx的单调递减区间为0,3，f x的单调递增区间为|,所以0,2，6时，f2a ；a2,，即6时，fax 在 0,32a 3aO9上单调递减，在a,2上单调递增,3在0,2上单调递减，所以f 2,2 2写出g a的表达式；（ii ）求a的

6、取值范围，使得60,综上所述,2a3,a2 2 a（ii）令 6 g a 2。 若a 0，无解； 若0 a 6，由62 Ja2解得3 a 6 ；33若a 6，由62 2 a2 解得 6 a 23. 2。例3已知函数f x 2aX 2 a - x2 1x R其中a R。当a 0时,求函数f x的单调区间与极值。解：由于a 0，所以f x22a x 1 2x 2ax2. 2x 1a2 1c12a x a x a2彳2。x 1由f x 0，得x1a的取值分a 0和a1,X2 a0两种情况进行讨论。a。这两个实根都在定义域R内，但不知它们之间的大小。因此，需对参数（1） 当a 0时，则X1X2。易得f

7、 x在区间1,a, a内为减函数，在区间1-,a为增函a数。故函数f X在X11处取得极小值faa2;函数f x在X2 a处取得极大值f(2)当a 0时,X1X2。易得fx在区间,a)，(）内为增函数，在区间（a,丄）为减函数。a故函数f X在X11处取得极小值fa函数fX在X2a处取得极大值f a1。例4、已知函数f （x）(a 1)ln x ax2(I)讨论函数f（X）的单调性;（*第二问选做*）(II)设a 1.如果对任意x1,x2(0,) , | f(X1) f (X2) 4| XX2 |，求a的取值范围。解：（I）a 1f (X)的定义域为(0, +8). f '(x) a一

8、12axx2 ax2 a0 时，f '（x） >0, 故 f （x）在（0, +8）单调增加;1 时，f '(x) v 0，故 f (x)在(0,+8）单调减少;当-1a v 0 时，令 f '(x) =0,解得 xa 12a则当(°J 时，f'(X) >0; X (a 1,)时，f'(x) v 0.2a故 f (x)在(0,即）单调增加，在 寸葺,）单调减少（n）不妨假设 X1 X2，而a v -1，由（I）知在（0, +8）单调减少，从而等价于NX(0,), f (X1)X1,X2(0,f(X2)4 * X2f(X2) 4X2f

9、(Xi)4x1令 g(x)f(x)4x ,则g'(x)乞2axx4等价于g(X)在(0, +8)单调减少，即40.4 x 从而a 上X2x212 21(2x 1)2 4x222x122(2x 1)222故a的取值范围为(2x21x 2例 5、已知函数 f ( X)=In(1+ x )- x + x ( k > 0)。2(I )当k=2时，求曲线y= f ( x)在点(1 ,f (1)处的切线方程；(n )求f(x)的单调区间。解: (I )当 k 2 时，f (x) ln(1x)1f '(x)1 2x1 x由于 f(1) ln2, f '(1)所以曲线f (x)在

10、点(1,f (1)处的切线方程为3 y ln2 (x 1)2(II)f©)x(kx k 1), x1,3x2y2ln 2 30).当 k 0 时，f'(x)1 x.所以,在区间(1,0)上，f'(x)0 ；在区间(0,)上,f '(x)0.故f(x)得单调递增区间是(1,0)，单调递减区间是(0,).当 0 k 1 时，由 f '(X) X(kx k 10，得 X1 0 , x2所以，在区间(1,0)和(1 X1 k,)上, f '(X)0 ;在区间(0,k故f (x)得单调递增区间是1 k(1,0)和(T,)，单调递减区间是0k1 kJ) 上

11、, f'(x) k“c 1 k、(0, ).k当 k 1 时，f'(x)故f (x)得单调递增区间是(1,).当 k 1 时，f'(x) x(kx k卩0，得x11 X1 k所以没在区间(1,=)和(0,)上, f '(x)k1 kW ( 1)，X20.1 k0 ;在区间(-k,0) 上, f '(x)0k1 k)，单调递减区间是(,0)k1 k 故f(x)得单调递增区间是(1,)和(0,k1. 一般先去求两根，最好是将导函数因式分解，方便直接看出根。有时甚至要考虑导函数等于 零是否有根，如二次函数判别式小于零时就没根。2. 两根大小不确定时需要对参数分情况讨论两根大小(别忽略了二次函数两根相等情况)3. 如