二次型第一节二次型与其矩阵表达

1、二次型第一节二次型与其矩阵表达第一节第一节二次型二次型及其矩阵表示及其矩阵表示二次型的定义二次型的定义二次型的表示法二次型的表示法矩阵的合同矩阵的合同非退化线性变换（非退化线性变换（可逆线性变换）可逆线性变换）用配方法化二次型为标准形用配方法化二次型为标准形称为称为n元二次型。元二次型。二次型的定义二次型的定义 定义定义5.15.1含有含有n个变量个变量的二次齐次函数的二次齐次函数nxxx,21 如不特别声明，今后我们只讨论实二次型如不特别声明，今后我们只讨论实二次型ija当系数当系数取复数时取复数时,称为复二次型称为复二次型;当系数当系数取实数时取实数时,称为实二次型称为实二次型.ija例如

2、：例如：都是二次型。都是二次型。不是二次型。不是二次型。只含有平方项的二次型只含有平方项的二次型称为二次型的标准形（或法式）。称为二次型的标准形（或法式）。例如：例如：都为二次型；都为二次型；为二次型的标准形。为二次型的标准形。1 1用和号表示二次型用和号表示二次型二次型的表示法二次型的表示法2 2用矩阵表示二次型用矩阵表示二次型由此可见由此可见任给一个二次型，可唯一确定一个对称矩阵；任给一个二次型，可唯一确定一个对称矩阵；反之，任给一个对称矩阵，可唯一确定一个二次型。反之，任给一个对称矩阵，可唯一确定一个二次型。即二次型与对称矩阵之间是一一对应关系即二次型与对称矩阵之间是一一对应关系!TfX

3、 AX 二次型二次型把对称矩阵把对称矩阵称为二次型称为二次型的矩阵的矩阵Af也把二次型也把二次型称为对称矩阵称为对称矩阵的二次型的二次型fA对称矩阵对称矩阵的秩称为二次型的秩称为二次型的秩的秩Af 定义定义5.25.2例例1 写出下列二次型的矩阵表达式写出下列二次型的矩阵表达式jiijaa解解 按按的要求不改变完全平方项，把的要求不改变完全平方项，把交叉乘积项的系数取半得：交叉乘积项的系数取半得：注意注意仅当仅当A满足满足AAT时时,为二次型的矩阵表示式为二次型的矩阵表示式),(321xxxf二次型二次型的矩阵为：的矩阵为：则二次型为则二次型为以以为矩阵二次型的为矩阵二次型的001010100

4、例例2：求二次型：求二次型的矩阵的矩阵f11031223002A 解：解：1100121001020027A 解：解：1000021100022100002100002100002A 解：解：12323101012A 例例3：求对称矩阵：求对称矩阵所对应的二次型。所对应的二次型。A1232221231213(,)22 3f xxxxxxx xx x 解：解：例例3：已知二次型：已知二次型的秩为的秩为2，求参数，求参数c。222123123121323( ,)55266f x x xxxcxx xx xx x f51315333Ac 解：解：关系式关系式记作（记作（2）称为由变量称为由变量到变量

5、到变量的一个线性变量的一个线性变量替换，简称线性变换。替换，简称线性变换。非退化线性变换（可逆线性变换）非退化线性变换（可逆线性变换） 定义定义5.35.3系数系数矩阵矩阵称为线性变换矩阵称为线性变换矩阵C若若是可逆矩阵，是可逆矩阵，则称线性变换（则称线性变换（2）是非退化线性变换）是非退化线性变换或可逆线性变换或可逆线性变换C若若是正交矩阵，是正交矩阵，则称线性变换（则称线性变换（2）是正交线性变换）是正交线性变换系数矩阵系数矩阵则线性变换（则线性变换（2）可记作：）可记作：n元变量元变量说明：说明：对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的线性变换对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可

6、逆的线性变换使二次型只含平方项使二次型只含平方项.,1nTijiji jfX AXa x x 即二次型即二次型经过可逆线性变换经过可逆线性变换CYX 这种只含平方项的二次型，称为二次型的标准型这种只含平方项的二次型，称为二次型的标准型2221122nnfk yk yk y 使得使得解解 2321xxx 例例1 1 2321xxx 用配方法化二次型为标准形用配方法化二次型为标准形所用变换矩阵为所用变换矩阵为其矩阵其矩阵所用变换矩阵为所用变换矩阵为因原二次型矩阵为因原二次型矩阵为通过计算可以验证通过计算可以验证是对角矩阵是对角矩阵即二次型即二次型由此可见由此可见要把二次型化为标准型，关键在于求出一个非奇异矩阵要把二次型化为标准型，关键在于求出一个非奇异矩阵，使得，使得是对角矩阵。是对角矩阵。上列是通过配方法把二次型化为标准型，间接找到非奇异矩上列是通过配方法把二次型化为标准型，间接找到非奇异矩阵阵，一般说来，这种方法较麻烦。后面将介绍用初等变，一般说来，这种方法较麻烦。后面将介绍用初等变换和正交变换的方法求矩阵换和正交变换的方法求矩阵注意注意CCC经过非退化线性变换经过非退化线性变换CYX 可化为可化为则则分析：分析：矩阵的合同矩阵的合同因为因为:以上说明：以上说明： 定义定义5.45.4 定义定义5.55.5等价的二次型等价的二次型,它们的矩阵之间是合同的它们的矩阵之