三角函数高考题及练习题含答案

1、.三角函数高考题及练习题（含答案）1. 掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质；会用“五点法”作出正弦函数及余弦函数的图象；掌握函数yAsin(x)的图象及性质2. 高考试题中，三角函数题相对比较传统，位置靠前，通常是以简单题形式出现，因此在本讲复习中要注重三角知识的基础性，特别是要熟练掌握三角函数的定义、三角函数图象的识别及其简单的性质(周期、单调性、奇偶、最值、对称、图象平移及变换等)3. 三角函数是每年高考的必考内容，多数为基础题，难度属中档偏易这几年的高考加强了对三角函数定义、图象和性质的考查在这一讲复习中要重视解三角函数题的一些特殊方法，如函数法、待定系数法、数形结合法等1.

2、函数y2sin21是最小正周期为_的_(填“奇”或“偶”)函数答案：奇解析：ycossin2x.2. 函数f(x)lgxsinx的零点个数为_答案：3解析：在(0，)内作出函数ylgx、ysinx的图象，即可得到答案3. 函数y2sin(3x)，的一条对称轴为x，则_答案：解析：由已知可得3×k，kZ，即k，kZ.因为|<，所以.4. 若f(x)2sinx(0<<1)在区间上的最大值是，则_答案：解析：由0x，得0x<，则f(x)在上单调递增，且在这个区间上的最大值是，所以2sin，且0<<，所以，解得.题型二 三角函数定义及应用问题例1设函数f(

3、)sincos，其中角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P(x，y)，且0.(1) 若点P的坐标是，求f()的值； (2) 若点P(x，y)为平面区域上的一个动点，试确定角的取值范围，并求函数f()的最小值和最大值解：(1) 根据三角函数定义得sin，cos， f()2.(本题也可以根据定义及角的范围得角，从而求出 f()2)(2) 在直角坐标系中画出可行域知0，又f()sincos2sin，当0，f()min1；当，f()max2.(注： 注意条件，使用三角函数的定义，一般情况下，研究三角函数的周期、最值、单调性及有关计算等问题时，常可以先将函数化简变形为yAsin(x

4、)的形式)如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角、，它们的终边分别与单位圆相交于A、B两点，已知A、B的横坐标分别为、.求：(1) tan()的值；(2) 2的值解：由题意得cos ，cos ，、，所以sin ，sin ，因此tan 7，tan .(1) tan()3.(2) tan(2)tan()1.又2，所以2.题型二 三角函数的图象与解析式问题例2函数f(x)Asin(x)(A、是常数，A>0，>0)的部分图象如图所示(1) 求f(0)的值；(2) 若0<<，求函数f(x)在区间上的取值范围解：(1)由题图可知A，2.又2×2k，2k(

5、kZ)， f(0)sin.(2) ，f(x)sin.因为0x，所以2x，所以0sin1，即f(x)的取值范围为0，(注：本题主要考查正弦、余弦、正切函数及yAsin(x)的图象与性质以及诱导公式，运用数形结合思想，属于中档题)已知函数f(x)Asin xBcos x(A、B、是常数，0)的最小正周期为2，并且当x时，f(x)max2.(1) 求f(x)的解析式；(2) 在闭区间上是否存在f(x)的对称轴.如果存在，求出其对称轴方程；如果不存在，请说明理由解：(1) 因为f(x)sin(x)，由它的最小正周期为2，知2，.又当x时，f(x)max2，知2k(kZ)，即2k(kZ)，所以f(x)2

6、sin2sin(kZ)故f(x)的解析式为f(x)2sin.(2) 当垂直于x轴的直线过正弦曲线的最高点或最低点时，该直线就是正弦曲线的对称轴，令xk(kZ)，解得xk(kZ)，由k，解得k.又kZ，知k5，由此可知在闭区间上存在f(x)的对称轴，其方程为x.题型三 三角函数的性质与图象的移动问题例3把函数f(x)sin2x2sinxcosx3cos2x的图象沿x轴向左平移m个单位(m>0)，所得函数的图象关于直线x对称(1) 求m的最小值；(2) 证明：当x时，经过函数f(x)图象上任意两点的直线的斜率恒为负数；(3) 设x1，x2(0，)，x1x2，且f(x1)f(x2)1，求x1x

7、2的值(1) 解：f(x)sin2x2sinxcosx3cos2xsin2x3·cos2xsin2x2cos2.因为将f(x)的图象沿x轴向左平移m个单位(m>0)，得到g(x)2的图象，又g(x)的图象关于直线x对称，所以2k，即m(kZ)因为m>0，所以m的最小值为.(2) 证明：因为x，所以4<2x<，所以f(x)在上是减函数所以当x1、x2，且x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，从而经过任意两点(x1，f(x1)和(x2，f(x2)的直线的斜率k<0.(3) 解：令f(x)1，所以cos.因为x(0，)，所以2x.所以2x或2x

8、，即x或x.因为x1、x2(0，)，x1x2，且f(x1)f(x2)1，所以x1x2已知函数f(x)2sinx，其中常数>0.(1) 若yf(x)在上单调递增，求的取值范围；(2) 令2，将函数yf(x)的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数yg(x)的图象，区间a，b(a，bR且a<b)满足：yg(x)在a，b上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的a，b中，求ba的最小值解：(1) 因为>0，根据题意有 0<.(2) f(x)2sin2x，g(x)2sin212sin1，g(x)0sinxk或xk，kZ, 即g(x)的零点相邻间隔依次为和，故若yg(x

9、)在a，b上至少含有30个零点，则ba的最小值为14×15×. 已知函数f(x)sin(x)cos(x)(0<<，>0)为偶函数，且函数yf(x)图象的两相邻对称轴间的距离为.(1) 求f的值；(2) 将函数yf(x)的图象向右平移个单位后，得到函数yg(x)的图象，求函数g(x)的单调递减区间解：(1) f(x)sin(x)cos(x)22sin.因为f(x)为偶函数，所以对xR，f(x)f(x)恒成立，因此sinsin，即sinxcoscosxsinsinxcos()cosxsin，整理得sinxcos0.因为0，且xR，所以cos0.又0，故.所以f

10、(x)2sin2cosx.由题意得2×，所以2，故f(x)2cos2x，因此f2cos.(2) 将f(x)的图象向右平移个单位后，得到f的图象，所以g(x)f2cos2cos.当2k2x2k(kZ)，即kxk(kZ)时，g(x)单调递减，因此g(x)的单调递减区间为(kZ)题型四 三角函数图象及性质、三角公式综合运用例4 已知函数f(x)2sin2cos2x1，xR.(1) 求f(x)的最小正周期；(2) 若h(x)f(xt)的图象关于点对称，且t(0，)，求t的值；(3) 当x时，不等式|f(x)m|<3恒成立，求实数m的取值范围解：(1)因为f(x)coscos2x2sin

11、，故f(x)的最小正周期为.(2) h(x)2sin.令2×2tk(kZ)，又t(0，)，故t或.(3) 当x时，2x， f(x)1，2又|f(x)m|3，即f(x)3mf(x)3， 23m13，即1m4.已知函数f(x)Asin(x)(A>0，>0，|<)，在同一周期内，当x时，f(x)取得最大值3；当x时，f(x)取得最小值3.(1) 求函数f(x)的解析式；(2) 求函数f(x)的单调递减区间；(3) 若x时，函数h(x)2f(x)1m有两个零点，求实数m的取值范围解：(1) 由题意，A3，T2，2.由2×2k得2k，kZ.又 <<， f

12、(x)3sin.(2) 由2k2x2k，得2k2x2k，即kxk，kZ.函数f(x)的单调递减区间为，kZ.(3) 由题意知，方程sin在上有两个根 x， 2x.， m13，7)1. (2013·江西卷)设f(x)sin3xcos3x，若对任意实数x都有|f(x)|a，则实数a的取值范围是_答案：a2解析：f(x)sin3xcos3x2sin，|f(x)|2，所以a2.2. (2013·天津卷)函数f(x)sin在区间上的最小值是_答案：3. (2013·全国卷)函数ycos(2x)(<)的图象向右平移个单位后，与函数ysin的图象重合，则|_答案：4. (

13、2014·北京卷)设函数f(x)Asin(x)(A、是常数，A>0，>0)若f(x)在区间上具有单调性，且fff，则f(x)的最小正周期为_答案：解析：由f(x)在区间上具有单调性，ff知，函数f(x)的对称中心为，函数f(x)的对称轴为直线x，设函数f(x)的最小正周期为T，所以T，即T，所以，解得T.5. (2014·福建卷)已知函数f(x)cosx(sinxcosx).(1) 若0<<，且sin，求f()的值；(2) 求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间解：(解法1)(1) 因为0<<，sin，所以cos.所以f(). (2)

14、因为f(x)sinxcosxcos2xsin2xsin2xcos2xsin，所以T.由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.所以f(x)的单调递增区间为，kZ.(解法2)f(x)sinxcosxcos2xsin2xsin2xcos2xsin.(1) 因为0<<，sin，所以.从而f()sinsin.(2) T.由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.所以f(x)的单调递增区间为，kZ.6. (2013·北京卷)已知函数f(x)(2cos2x1)sin2xcos4x.(1) 求f(x)的最小正周期及最大值；(2) 若，且f()，求的值解：(1) 因为f(x)(2cos2x1)s

15、in2xcos4xcos2xsin2xcos4x(sin4xcos4x)sin，所以f(x)的最小正周期为，最大值为.(2) 因为f()，所以sin1.因为，所以4，所以4，故.(本题模拟高考评分标准，满分14分)设a>0，函数f(x)asinxcosxsinxcosx，x的最大值为G(A)(1) 设tsinxcosx，x，求t的取值范围，并把f(x)表示为t的函数m(t)；(2) 求G(A)解：(1) tsinxcosxsin. x， x，sin1， 1t，即t的取值范围为1，(3分)(另解： x， tsinxcosx.由2x0，得0sin2x1， 1t) tsinxcosx， sin

16、xcosx，(5分) m(t)a·tat2ta，t1，a>0.(7分)(2) 由二次函数的图象与性质得：当<，即a>2(1)时，G(A)m()a； (10分)当，即0<a2(1)时，G(A)m(1).(13分) G(A)(14分)1. 若x，则函数ytan2xtan3x的最大值为_答案：8解析：令tanxt(1，)，y，y(t)，得t时y取最大值8.2. 已知函数f(x)2cos2xsin2x，求：(1) f的值；(2) f(x)的最大值和最小值解：(1) f2cossin21.(2) f(x)2(2cos2x1)(1cos2x)3cos2x1，xR.因为cosx1，1，所以当cosx±1时，f(x)取最大值2；当cosx0时，f(x)取最小值1.3. 已知A为ABC的内角，求ycos2Acos2的取值范围解： ycos2Acos2111cos. A为三角形内角， 0A，1cos1， ycos2Acos2的取值范围是，4. 设函数f(x)cos2x4tsincos4t3t23t4，xR，其中|t|1，将f(x)