数列求和错位相减法-裂项相消法后附答案

1、精选优质文档-倾情为你奉上一、解答题1已知等差数列an的前n项和为Sn，且a2=3，S6=36（）求数列an的通项公式；（）若数列bn满足bn=2nan，nN*，求数列bn的前n项和Tn【详解】（）a2=3 ，a1+d=3 S6=36 ，6a1+15d=36 则a1=1，d=2an=2n-1.（）由（）可知，bn=2n2n-1Tn=12+322+523+(2n-3)2n-1+(2n-1)2n, 2Tn=122+323+524+(2n-3)2n+(2n-1)2n+1-Tn=2+222+223+224.+22n-（2n-1)2n+1=2+24（1-2n-1）1-2-（2n-1）2n+1 =-6+2

2、n+2-(2n-1)2n+1=-6+2n+1(3-2n)Tn=6+(2n-3)2n+12已知数列an的前n项和为Sn，且a1=2，an+1=Sn+2，nN*(1)求数列an的通项公式；(2)设bn=nan，求数列an的前n项和Tn【答案】（1）an=2n（2）2+(n-1)2n+1【详解】(1)an+1=Sn+2，nN*，Sn=an+1-2，即Sn+1=2an+1-2，Sn+2=2an+2-2，两式相减，得an+2=2an+2-2an+1，即an+2=2an+1，又a1=2，a2=S1+2=2+2=4，即数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以an=2n；(2)设bn=nan，则bn=n2n，

3、Tn=12+222+323+(n-1)2n-1+n2n，2Tn=122+223+324+(n-1)2n+n2n+1，两式相减，得：Tn=-12-122-123-12n-1-12n+n2n+1=n2n+1-(2+22+23+2n-1+2n)=n2n+1-2(1-2n)1-2=2+(n-1)2n+1【点睛】本题考查数列的递推关系，通项公式，前n项和，错位相减法，利用错位相减法是解决本题的关键，属于中档题3已知等差数列an的前n项和为Sn，满足Sn=an+122(nN*).数列bn的前n项和为Tn，满足Tn=2bn(nN*).（1）求数列an和bn的通项公式；（2）求数列anbn2的前n项和Sn.【

4、答案】（1）an=2n1,bn=12n1；（2）Sn=32n+32n.【解析】【分析】（1）根据题意，求得a1,a2，然后求得公差，即可求出数列an的通项，再利用bn=T1,n=1TnTn1,n2 求得bn的通项公式；（2）先求出anbn2的通项，然后利用数列求和中错位相减求和Sn.【详解】解：（1）由Sn=an+122，得S1=a1+122=a1，解得a1=1.由S2=a1+a2=1+a2=a2+122，解得a2=3或a2=-1.若a2=-1，则d=-2，所以a3=-3.所以S3=-3a3+122=1，故a2=-1不合题意，舍去.所以等差数列an的公差d=a2-a1=2，故an=2n-1.数

5、列bn对任意正整数n，满足Tn=2-bn.当n=1时，b1=T1=2-b1，解得b1=1；当n1时，bn=Tn-Tn-1=(2-bn)-(2-bn-1)=bn-1-bn，所以bn=12bn-1(n2).所以bn是以首项b1=1，公比q=12的等比数列，故数列bn的通项公式为bn=12n-1.（2）由（1）知anbn2=2n-12n，所以Sn=12+322+523+.+2n-32n-1+2n-12n，所以12Sn=122+323+.+2n-32n+2n-12n+1，-，得12Sn=12+222+223+.+22n-2n-12n+1=12+12+122+.+12n-1-2n-12n+1=12+12

6、1-12n-11-12-2n-12n+1=12+1-12n-1-2n-12n+1，所以Sn=3-2n+32n.4已知数列an的首项a1=1，且满足an+1=an2an+1(nN+).(1)求证：数列1an为等差数列，并求数列an的通项公式；(2)记bn=2nan，求数列bn的前项和为Tn【答案】（1）证明见解析，an=12n-1（2）Tn=(2n-3)2n+1+6【解析】【分析】(1)由an+1=an2an+1，得1an+1=2+1an，由此可判断1an为等差数列，可求1an，进而得到an;(2)求出bn，利用错位相减法可求Tn【详解】(1)由an+1=an2an+1，得1an+1=2+1an

7、，又1a1=1，1an为等差数列，首项为1，公差为2，1an=1+(n-1)2=2n-1，an=12n-1(2)bn=2nan=(2n-1)2n，Tn=12+322+523+(2n-1)2n，2Tn=122+323+524+(2n-1)2n+1，-得，-Tn=12+222+223+22n-(2n-1)2n+1=2+23+24+2n+1-(2n-1)2n+1=2+23(1-2n-1)1-2-(2n-1)2n+1=(3-2n)2n+1-6，Tn=(2n-3)2n+1+6【点睛】5已知等差数列an的前n项的和为Sn，a3=5，S10=100.（1）求数列an的通项公式；（2）设bn=2n(an+5)

8、，记数列bn的前n项和Tn，求使得Tnm恒成立时m的最小正整数.【分析】（1）先设设等差数列an的公差为d，由a3=5，S10=100列出方程组求出首项和公差即可；（2）由(1)先求出bn，再由裂项相消法求数列的前n项和即可.【详解】解：（1）设等差数列an的公差为d，因为a3=5，S10=100，所以a1+2d=510a1+45d=100 解得a1=1d=2所以数列an的通项公式为an=2n-1.（2）由（1）可知bn=2n(an+5)=2n(2n+4) =1n(n+2)=12(1n-1n+2)Tn=b1+b2+bn= 12(1-13)+(12-14)+(13-15)+ (1n-1-1n+1

9、)+(1n-1n+2)=1232-2n+3(n+1)(n+2),Tn0，所以q=3，所以an=3n-1， (2)bn= 1(n+2)log3an+1=1n(n+2) =12(1n-1n+2) Sn=12(1-13+12-14+1n-1-1n+1+1n-1n+2) =34-2n+32(n+1)(n+2)7已知数列an为等差数列，a7a2=10，且a1，a6，a21依次成等比数列.（1）求数列an的通项公式；（2）设bn=1anan+1，数列bn的前n项和为Sn，若Sn=225，求n的值.【分析】（1）设等差数列的公差为d，运用等差数列的通项公式和等比数列中项性质，解方程可得首项和公差，即可得到所

10、求通项公式；（2）求得bn=1anan+1=1(2n+3)(2n+5)=12（12n+3-12n+5），运用裂项相消求和可得Sn，解方程可得n【详解】（1）设数列an的公差为d，因为a7-a2=10，所以5d=10，解得d=2.因为a1，a6，a21依次成等比数列，所以a62=a1a21，即(a1+52)2=a1(a1+202)，解得a1=5.所以an=2n+3.（2）由（1）知bn=1anan+1=1(2n+3)(2n+5)，所以bn=12(12n+3-12n+5)，所以Sn=12(15-17)+(17-19)+.+(12n+3-12n+5) =n5(2n+5)，由n5(2n+5)=225，

11、得n=10.8设正项数列an的前n项和Sn，且2Sn是an与an+1的等比中项，其中nN*.（）求数列an的通项公式；（）设bn=(1)n+12an+1anan+1，记数列bn的前n项和为Tn，求证：T2n0，anan1=1n2，即数列an是首项为1，公差为1的等差数列.an=a1+n1d=1+n1=n.（）bn=1n+12n+1nn+1=1n+11n+1n+1，T2n=b1+b2+b3+b2n= 1+1212+13+13+14 +12n1+12n(12n+ 12n+1)=112n+10解得d=1q=2an=n，bn=2n.()由()知Sn=nn+12.cn=bn+1Sn=2n+2nn+1=2

12、n+21n-1n+1，Tn=2+22+23+2n+21-12+12-13+1n-1n+1.=21-2n1-2+21-1n+1=2n+1-2n+1【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的分组求和和裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题11已知数列an满足a1=1，an+1=3an，数列bn满足b1=1，且an+bn是公差为2的等差数列（）求an和bn的通项公式；（）求bn的前n项和Sn【答案】（）an=3n1，bn=2n3n1（）Sn=n(n+1)3n12【解析】【分析】（）利用等差数列以及等比数列的通项公式，转化求an和bn的通项公式；（）利用分组求和法求bn的前n项和Sn即可【详解】解：（）由a1=1，an+1=3an，an是首项为1，公比为3的等比数列.所以an=3n-1因为a1+b1=2，所以an+bn是首项为2，公差为2的等差数列可得an+bn=2+(n-1)2=2n所以b