中心组合设计方法CCD介绍

1、Chapter 11Part I :反應曲面技術(Response Surface Methodology)&SixDOE Class_90a2Why/When to Use RSM? 已知此反應變數(Response Variable)受數個因子之影響. 必須經由實驗設計所證實. 吾人想知道此反應變數之最佳值 目標值 最大值 最小值 目的: 如何設定因子之水準(區間), 使反應變數 達到最佳值.&SixDOE Class_90a3RSM之基本原理 真正的函數關係 Y = f(x1, x2) + e反應曲面(Response Surface) = f(x1, x2) 若因子之區

2、間縮小, 則 f(x1, x2) 可用多項式來趨近. 如:Y = b0+b1x1+b2x2+bkxk+e (first order)Y = b0+bixi+biix2i+ bijxixj+e (second order)&SixDOE Class_90a4反應曲面 - Example&SixDOE Class_90a5The Method of Steepest Ascent 目的: 為能快速達到最佳反應變數值之鄰近區域. 假設: 在遠離最佳反應變數值的地方, 一般而言, 使用 First-order Model 已經足夠. Steepest Ascent 是一種沿著最陡峭的路

3、徑(亦即反應變數增加最快之方向), 循序往上爬升的方法. 若用以求極小值, 則稱為 Steepest Descent. &SixDOE Class_90a6Steepest Ascent - 圖解&SixDOE Class_90a7Steepest Ascent - Example “525.DX5” 因子: 1: 反應時間 (35 min.) 2: 反應溫度 (155 oF)反應變數 Y: 平均產出水準 (40%) Coded Variable (X1;X2) = (-1 1; -1 1) Natural Variable ( 1; 2) = (30 40; 150 160)

4、&SixDOE Class_90a8Example 525 之實驗數據重複中心點 Error 之估算 First-order Model是否合適 ( Fit? )&SixDOE Class_90a9Example 之 ANOVA Table&SixDOE Class_90a10Example之分析結果 實驗所得之回歸模式(Regression Model)為y = 40.44 + 0.775x1 + 0.325x2 x1與x2之係數(0.775 and 0.325)相對於係數之standard error = sqrt(MSE/d.f.e) = 0.10大的多; 故兩係

5、數均顯著. 下次實驗之移動方向: 以移動係數最大之因子一個單位 (以Coded Variable 為基礎), 故選擇 x1 = 1, 則x2 = (0.325/0.775) x1 = 0.42 &SixDOE Class_90a11Example 之後續實驗結果(一)&SixDOE Class_90a12Example 之後續實驗結果(二)&SixDOE Class_90a13Example 之後續實驗結果(三)-ANOVA 實驗所得之回歸模式(Regression Model)為y = 78.97 + 1.00 x1 + 0.50 x2 需進一步之實驗以求取最佳點.&

6、amp;SixDOE Class_90a14Steepest Ascent 步驟 2k + nc center point 或 CCD 或 其他 First-order Model 顯著, 且Curvature不顯著; 否則已在最佳點附近. 取係數之絕對值最大者; 選定其Step Size xi. 其他因子之Step Size = xi / bi = xk / bk 將xi換算成Natural Variable; 回到第一步驟.&SixDOE Class_90a15Second-order Model 之分析當非常接近最佳點時, First-order Model便不再適用; 此時應用

7、 Second-order Model 或更高階之Model來趨近真實反應曲面的曲線(曲面)情形.&SixDOE Class_90a16Central Composite Design (CCD) - Example “534.DX5”&SixDOE Class_90a17CCD 結構圖&SixDOE Class_90a18CCD Example 之 ANOVA&SixDOE Class_90a19CCD Example 之反應曲面&SixDOE Class_90a20CCD Example 之反應曲面_Contour PlotChapter 11Par

8、t II: 反應曲面技術- 設計之選擇- Optimization- EVOP&SixDOE Class_90a22反應曲面技術選擇設計之原則 在試驗區間內, 提供合理的資料點分布 允許 Model 適合度之分析 (Lack of Fit) 允許區隔化 (Blocking) 允許高階 Model 被循序漸近式的建立起來 提供自然誤差 (Pure Error) 之估計 較少的實驗次數 較少的因子水準數 估計 Model 參數之計算過程應儘量簡單&SixDOE Class_90a23一階 Model 之 RSM 設計 考慮因素: 直交 (Othogonal) 2k + nc cen

9、ter point 2k-p + nc center point, 但必須為解析度III以上, Why? Simplex Design k 個因子, 使用 k+1 次(頂點)實驗&SixDOE Class_90a24Simplex Design&SixDOE Class_90a25設計之比較 - Example 23 無法估算 Pure Error - 4 d.f. 之 Lack-of-fit 缺點 : Model是否合適無法得知 23-1 + 4 center point 3 d.f. 之 Pure Error - 1 d.f. 之 Curvature 缺點: 交互作用無法得

10、知 23-1, n = 2 4 d.f. 之 Pure Error - 無法估算 Lack-of-fit 缺點: 交互作用及二次項無法得知 最好用23 + 4 center point&SixDOE Class_90a26二階 Model 之 RSM 設計(1/4) 考慮因素: 直交 (Orthogonal) 與 可旋轉性 (Rotatable) Central Composite Designs (CCDs) 2k 或2k-1 (解析度V) + 2k 個軸點 (Axial Points) + nc center point Factoral Points 2k或2k-1 (解析度V)

11、 : 估算主作用及兩因子交互作用 Axial Points: 估算純粹之二次項 Center Points:估算純粹之二次項及 Pure Error&SixDOE Class_90a27Information Surfaces and Contours_22 Design&SixDOE Class_90a28Information Surfaces and Contours_32 Design&SixDOE Class_90a29Information Surfaces and Contours_Second-order Rotatable Design&Six

12、DOE Class_90a30CCD 圖示&SixDOE Class_90a31常用之 CCDs&SixDOE Class_90a32&SixDOE Class_90a33二階 Model 之 RSM 設計(2/4) Face-centered Central Composite Design (FCCD) 除了 a = 1以外, 其餘與 CCDs同 當部份因子之水準數只有三個, 或為離散性質時 可旋轉性 (Rotatability) 較差, 應儘量避免使用&SixDOE Class_90a34二階 Model 之 RSM 設計(3/4) Box-Behnken

13、 Design 各因子皆為三水準 (-1, 0, 1) 任意兩因子做22, 而其他因子固定在說水準, 在加上 nc center points Rotatability 較 CCDs 來得差些, 但亦不錯 當 k = 3 時, 實驗次數較 CCD 來得少 12+nc Vs. 14+nc.當 k = 4 時, 實驗次數與 CCD 同 = 24+nc.當 k = 5 以上時, 實驗次數較 CCD 來得多.&SixDOE Class_90a35Box-Behnken Design (k = 3)&SixDOE Class_90a36Box-Behnken Design (k = 4,

14、 5)&SixDOE Class_90a37二階 Model 之 RSM 設計(4/4) Hybrid Designs 前面 k-1 個因子水準組合利用 CCDs, 最後一個 (kth) 因子之水準運用對稱之原理來決定 非常有效率 (Small Sample Size) 適用因子數 k = 3,4,6,7&SixDOE Class_90a38Hybrid Design 範例Hybrid 310Hybrid 311A&SixDOE Class_90a39Hybrid Design 範例 Hybrid 416A, 416B, 416C&SixDOE Class_90

15、a40Design Optimality Criteria D-Optimality and D-Efficiency Rotatability Model 中係數估算之準確性 A-Optimality Model 中係數之變異程度 G- and Q-Optimality 用 Model 來預測實驗區間之準確性&SixDOE Class_90a41適用之二階 RSM Designs&SixDOE Class_90a42Evolutionary Operation (EVOP) 當吾人運用實驗設計及反應曲面技術得到最佳之因子水準組合之後, 在某些情況下, 最佳值的位置會漂移 (d

16、rift). 以致於所求得之因子水準組合不再適用. EVOP 即是一種實驗方法, 直接在線上操作, 用以對應此種漂移現象, 確保得以產生最佳值之因子水準組合. 2k + center point, 以 cycle 之方式進行.&SixDOE Class_90a43EVOP 之圖示&SixDOE Class_90a44EVOP Example (1/5)&SixDOE Class_90a45EVOP Example (2/5)&SixDOE Class_90a46EVOP Example (3/5)&SixDOE Class_90a47EVOP Examp

17、le (4/5)&SixDOE Class_90a48EVOP Example (5/5)Chapter 11Part III: 混合設計(Mixture Designs/Experiments)&SixDOE Class_90a50混合設計之目的 前所提及的反應曲面技術設計, 每一因子水準之選擇皆與其他因子無關 (Independent); 然而, 實際的系統中, 常會因為某一因子水準之選擇, 而使得另一因子的水準必須固定在某一數值上 (Dependent). 此時, 吾人便必須使用混合設計 (Mixture Designs) 才能將此種現象呈現出來. Example: 化學

18、/醫藥的配方中各元素之水準.&SixDOE Class_90a51混合設計之數學關係式 假設 x1,x2,.,xp 為一混合物之各組成元素所佔比例, 則0 xi 1, i = 1, 2, ., p且x1 + x2 + . + xp = 1 (i.e. 100%)&SixDOE Class_90a52混合設計之圖示&SixDOE Class_90a53三重線性座標系統 (Trilinear Coordinate System)&SixDOE Class_90a54p, m Simplex Lattice Designp 個因子, 每個因子取 m + 1 個水準.&

19、amp;SixDOE Class_90a55Simplex Centroid Design p 個因子取 2p-1 次實驗&SixDOE Class_90a56Mixture Models Linear:Y = bixi Quadratic:Y = bixi + bijxi xj Cubic:Y = bixi + bijxi xj + sijxixj(xi - xj) + bijkxi xj xk Special Cubic:Y = bixi + bijxi xj + bijkxi xj xk&SixDOE Class_90a57Example “556.DX5”因子: 用以生產纖維, 並編成線, 做成布料. x1: 聚乙