生产函数的估计

1、生产函数估计与预测方法介绍一、生产函数的估计1含义我们在?经济学?课程的学习中已经知道，产量是由生产要素的投入数量和 组合关系决定的。那么生产函数的估计实际就是客观反映生产量与各生产要素投 入量之间的函数关系。2 方法与步骤估计生产函数最常用的方法是利用实际收集到的一组数据进行回归分析，这种方法较为客观，通过它得到的信息比拟完全和精确。为了完成回归分析，我们必须首先构造一个生产函数并确定函数的具体形 式；然后再在收集数据的根底上用回归分析方法求出函数的具体参数值；最后， 我们还需要检验回归结果对数据的拟合程度，以及回归分析的前提条件是否成 立，因为一个没有显著函数关系或回归分析前提条件不成立的

2、回归分析结果是没 有意义的。(1) 影响变量的选取就一个具体的回归分析而言，各个变量必须具有特定的含义。在进行回归分 析时，我们应该对于研究对象具有深入的了解， 否那么在函数构造这一步可能会漏 掉一些很重要的解释变量。在进行回归分析时应注意不要漏掉重要的解释变量， 但这并不意味着解释变量越多越好，因为在模型中包括一些并不重要的解释变量 反而会引起一些统计上的问题，一般来说，当解释变量超过5至6个时，就可能 降低模型的自由度，甚至引起多重共线性问题，这些都会影响到模型的解释力。 对于一些属性因素，如年龄、季节、性别等，如不同的属性表现对被解释变量有 明显不同的影响时，还需设计虚拟变量。(2) 生

3、产函数形式确实定上面所构造的生产函数只涉及了变量的选取，但为了完成回归分析，我们必 须确定生产函数的具体形式。生产函数可采用多元线性的，但一般最常用的是柯 布一道格拉斯生产函数AX1b1X2b2(3) 数据的收集当模型的具体形式已经确定下来之后，我们需要针对模型中的变量收集样本 数据。数据类型包括时序数据和截面数据。回归分析中也会碰到数据缺乏的情况， 这时我们就不得不做一些理论上简化，(4) 建立回归方程及参数估计1) 一元线性回归模型 总体回归模型如果两个变量在总体上存在线性回归关系，可以用下式表示Y =a bx ；随机误差公式中a,b是总体回归模型的参数，；是X变量以外其它所有影响因素对

4、丫 值的总合影响，故称随机干扰项。如果在一定时期内一些因素的单独影响都比拟 零散、微弱，就可以不把它们单独列为自变量，而合并为一个随机因素。在一个 模式中是否存在随机误差，表达了确定型依存关系和统计型依存关系的区别。随机误差表达了在X取既定值时丫的变异。 假定前提a. ；是随机变量对应于某个X既定值，；的符号和绝对值的大小是随机的，它既独立于 X的 取值，也独立于前一项；值。b. ；服从正态分布影响丫的其它因素的作用趋于互相抵消，E ；=0，丫的期望值落在总体回 归线上，在给定X值后，丫值围绕丫的期望值呈正态分布。c. 对于任何x值，名有恒定的方差b y,x 同方差性。无论X取什么值，丫值围绕

5、总体回归线的变异程度相同。 总体回归直线方程与样本回归直线方程如果从总体回归函数，YX ；中排除；，就得到表示丫值随X取值而定的正态分布期望值与X值关系的方程一总体回归直线方程 巴,x =a + bx上式说明，在X的值给定的条件下，丫的期望值是X的严密的线性函数。卩y,x 称为丫的条件平均数，对于一个双变量协变总体，当自变量X取特定值时，因变 量取值服从如下 正态分布丫 NWyxtryx根据样本数据拟合的直线，称为样本回归直线。?ti&t，t=i,2，,式中丫是样本回归线上与X相对应的丫值，可视为,x的估计，称为丫的估计值或拟合值，召为截距，！?为斜率，表示当X变化1个单位时丫的变化量，它 们

6、是总体回归系数a,b的估计值。实际观测到的变量丫值，并不完全等于?，如果用e表示两者之差，它与总体误差项；相对应e -Y _ ?te 称为残差由上述可知，样本回归直线是对总体回归直线的近似反映。回归分析的主要任务就是采用适当的方法，充分利用样本所提供的信息，使得样本回归直线尽可 能地接近真实的总体回归直线。 回归模型参数的估计a. 回归系统的估计根据样本资料确定样本回归方程时，一般总希望丫的估计值从整体来看尽可 能接近实际观测值。即残差et的总量越小越好，为了防止q简单的代数和会相互 抵消，也便于数学上的处理，通常采用残差平方和 3e2作为衡量偏差的尺度。最 小二乘法就是根据这一思路，通过使残

7、差平和和为最小来估计回归系数的一种方 法。q =喀=弟 一 ？2 二沖-？-bXt2很明显，残差平方和Q的大小将依赖于召和R的取值。根据微积分求极小值 的原理，Q对?和b?的偏导必须为零n aSYXt =YYt ?AXt +t?LXtIXtYt二 bxXxXi(xX)2芜必m丫nxt -xt)a =Y -bX召，I?的具体数值即回归系数的估计值随选取的样本不同而不同，所以它是 随机变量。b. 总体方差的估计除了 a,b之外，一元线性回归模型还包括了另一个未知参数，总体方差 y,x， 它可以反映理论模型误差的大小。在数学上，九 的无偏估计是sy,x。n为样本容量，Sy,x称为估计标准误差。它可用

8、于描述用样本数据拟合回归直线时， 在X取特定值时丫观察值对于相 应的拟合值的离散程序。c. 最小二乘估计量的性质最小二乘法是估计方法中的一种，最小二乘估计量是总体回归系数的无偏估 计量，数学上还可进一步证明，在所有的无偏估计量中回归系数的最小二乘估计 量的方差最小；同时随着样本容量的增大，其方差会不断缩小，所以它又是最优 和一致估计量。2多元线性回归模型现实中，某一现象的变动常受多种现象变动的影响， 右这种场合，仅仅考虑 单个变量是不够的，这就产生了测定多因素之间相关关系的问题。 研究在线性相 关条件下，两个或两个以上自变量对一个因变量的数量变化关系，称为多元线性回归分析，它是一元线性回归模型

9、的扩展，其根本原理与一元线性回归模型相类 似，只是在计算上比拟繁琐。 总体回归函数与总体回归直线 rXit 2X2t-k Xkt；t:表示截距，j表示在其它自变量保持不变的情况下，自变量 Xj变动一个单位所引起的因变量丫平均变动的数额，成为偏回归系数。 前提假定与一元线性前提假定相同，另外再加上，回归模型所包含的自变量之间不能 具有较强的线性关系。 样本回归方程丫?二：？ ?XitXkt (t=1,2, , n) 模型的估计以三元线性回归方程为例，即Y1X12X2ta.回归系数的估计最小二乘法MinQ 二 g2 二 AYt 一丫?2 二 3丫一 彳xit - ？2X2t2龙丫 =n 0? +吃

10、 + 际X2!：X2Y =哦丸+畀龙x2 +区龙X：b.总方差的估计S2iet2Sy.12 一n样本容量，k:方程中回归系数的个数S：n2称为回归估计的标准误差，越小说明样本回归方程的代表性越强Sy,x任Y2_ 辑纠丫 _ 0Ix2Y33非线性回归模型如果因变量和自变量之间是非线性关系，我们就必须采用非线性回归模型， 但对非线性回归模型的估计必须首先将其转化为线性函数， 然后再利用先行回归 方法估计各参数。非线性回归模型主要有以下几种： 幕函数bl b2二 axi X2两边取对数，得:lnY = In a bl n x P I nx2令：Y =lnYA = lna x/ = Inxx2 = I

11、n x2丫 二 A bx； b2x2这种形式就是前面的三元线性回归方程。利用前文所述方法估计模型参数。 特点：方程中的参数可以直接反映因变量 丫对于某一个自变量的弹性。Zy必b axjx；2 Xi/Y 中0血；2/丫 =b:X Y即，bi是在其它因素不变的条件下，Xi变动1渐引起丫变动的百分比 指数型：丫二abb；2两边取对数，得:InY = In a x； In b| x21n b2令 Y= I nY A=I na B； nb B2 = I nd，那么Y =A BiXi B2X2 多项式函数23Y = a bx cx dx令： =x23x2 =x x3 =xY = a bx1 cx2 dx3

12、非线性回归方程转化为线性回归方程后，可利用前文所述方法，估计各参数, 最后利用反函数转化为最初形式。5回归模型的检验1经济学检验经济学检验主要是检验参数估计值的符号和取值区间所显示的自变是与应 变量的变化关系是否与理论和人们的实践经验相一致。2统计学检验利用统计学中的抽样理论来检验样本回归方程的可靠性。a.拟合程度的评价所谓拟合程度，是指样本观测值聚在样本回归线周围的紧密程度， 判断回归 模型拟合程序优劣最常用的数量指标是可决系数， 该指标是建立在对总离差平方 和进行分解的根底上。Yt -丫=Y? -Y Yt -Y?=Y?-Y et总离差=可解释离差+未解释离差两边取平方，得ZYt 一丫2 二

13、Y? -丫 g2 22丫？ -丫丫 -Y?二 z(丫？ 一丫)2 z(丫 -Y?)2SST =SSR SSE离差平方和=回归平方和+残差平方和显而易见，如果各个样本观察点与样本回归直线靠得越紧，SSR在SST中所占比重超越大，因此可定义这一比例为可决系数。SSR , SSE ,二(Yt -Y?)2112SST SSTp -Y)20乞r2辽1可决系数越大，方程拟合度越高，在多元线形回归方程中，为了 更准确地衡量回归方程的拟合程度，常使用经调整的多元可决系数。2(Y -Y?)2 /(n -k)i(Y -Y?)2/( n -1)Sy,xSy_ 2S(lY2_d)/(n_1)nn为样本容量，k为模型中

14、回归系数的个数b.显著性检验。i. 回归系数的显著性检验主要目的是为了检验与各回归系数对应的自变量对因变量的影响是否显著， 以便对自变量的取舍作出正确判断， 一般来说，当发现某个自变量的影响不显著 时，应将其从模型中删除。这样才能够做到以尽可能少的自变量去到达尽可能高 的拟合优度。回归系数的检验主要是对各自变量斜率的检验。检验y和X之间是否具备一定的线性回归关系就是判断总体斜率 - j是否等 于0,如果 j=0，那么Y对X的回归不成立。因此关于1 j假设检验将以S =0的 零假设出发，分为以下步骤：i 提出假设Ho：=O 零假设Hi : j - 0备择假设显著水平=0.05ii检验统计量及概率

15、分布因为X是服从正态分布,?j也服从正态分布一般来说二是未知的, 本时，回归系数的估计值服从我们用其无偏估计量 Sj?j来代替，当样本为小样tn_ k分布。那么用t检验统计量iii判断，查表得如七.，其值由显著水平和自由度n-k决定,如果tj 1心，那么拒绝H0,即认为Xj对丫的影响是显著的。如果订tn，那么接受原假设,即认为Xj对丫的影响是不显著的。ii. 回归方程的显著性检验多元线性回归模型包括了多个回归系数， 所以还需对整个回归方程模型进行 显著性检验，以检验回归模型总体函数的线性关系是否显著，这主要是在方差分 析根底上米取F检验完成的。k =0H1 :打不全为0SSR(k -1)SSE

16、(n -k)f(n,n _k)(ii)进行方差分析，列出回归方差分析表离差名称平方和自由度均方和回归平方和SSR= I(Y? -Y)2k-1SSR/(k-1)SSE/( n-k)残差平方和SSEYq2n-k总离差平方和SST=H(Yt _Y)2(n-1)(iii )根据方差分析的结果求F统计量，即(iv )根据自由度和给定的显著性水平：，查F分布表中的理论临界值 F，当F -F：，拒绝原假设，即认为总体回归函数中各自变量与因变量的线性回归关系显著。反之认为所建立的回归模型没意义。3) 经济计量学检验在回归分析之前，我们提出了一些回归型的假设前提，以便于使用最小二乘 法拟合回归方程，并作出一系列

17、的推断。任何一条假设前提不符合都会使回归分 析不尽合理，甚至误入歧途。所以当我们拟合出回归方程后，需要回过头来审查 一下这些假定前提是否成立。如不成立，需作相应调整和改动。i. 自相关。样本数据按时间顺序展开时，因变量随机误差独立性的前提往往不能成立， 残值无法呈随机分布，而是在这些残值本身之间形成了某种链式效应(即自相 关)，样本中的因变量可能受过去变动趋势的影响。如果自相关存在，那么就意味有一种有显著影响的因素一时序没有在回归模 式的考虑之中，从而以使误差平方和 SSE不是最小值。检验方法：按时间顺序给残差散点图或使用杠宾一沃岭检验(DW)解决方法：增设滞后变量以改良模型，既然时序造成因变

18、量值的前后链式影 响，在回归模型中将前期因变量作为本期自变量值来对待。ii. 异方差对于在自变量取任何一组特定值时条件平均数的方差恒定的前提假设不成立，估计标准误差就无法作为,x的无偏估计量。因而就无法进行参数的检验和 因变量的估计检验方法： 绘制残值对自变量的散点图， 看残值的离散度是否随自由度的变 化而有规律的扩大与缩小，如是那么有异方差。解决方法：实施变量转换， 即用一个与现行自变量有函数关系的自变量进入 回归方程或采用加权最小二乘法。iii. 非正态性如果随机误差分布不是正态或趋于正态， 就失去了对回归系数进行 t 检验和 对因变量进行估计的依据。绘制残值的直方图， 通过直方图可以粗略地检验残值是否趋于正态分布， 这 种方法要求有一定大的样本容量，其它方法可采用拟合优度检验法。解决方法：进行变量转换。应有助于改变它的分布状况。iv. 多重共线性采用回归分析时， 我们假设解释变量之间是线形无关的， 如果这个假设被违 背，就产生了多重共线问题， 在实际应用多元回归分析时， 多变共线性是难免产 生的，问题在于程度的强弱。较弱的多重共线性对回归模型的有效性影响不大， 较强