苏教版高中数学必修4弧度制教案

1、课题：弧度制教材：苏教版普通高中课程标准实验教科书数学必修4、教学目标1 理解1弧度的角及弧度制的定义，领会其必要性和合理性.2 会根据定义求任意角的弧度数及进行角度数与弧度数的互化.3 理解任意角的集合与实数集的一一对应关系，掌握弧度制下的弧长公式与 扇形面积公式.二、教学重点弧度制的探究生成及如何约定新制度弧度制下的单位 1.三、教学难点弧度制的生成与理解.四、教学方法与教学手段课堂采用启发引导，合作探究的教学模式，利用几何画板辅助教学，从活动中体会数形结合、以形助数的数学思想.五、教学过程思考：点P的位 置与哪些几何量 有关？体会学习弧度制的必要性探究：能否像度量 长度那样，用十进 制的

2、实数来度量 角的大小呢？问题1:同一个量，它的 度量结果可以用不同的 单位表示吗？学生举例，发现探究的可行性问题2:哪些几何量能唯 一确定角的大小.独立探究，小组交流问题3:如何建立一种新 的度量角的制度呢？类比几何量长度，知识 迁移，独立探究，小组交 流问题4:角度与弧度如何 互化？类比长度单位制的构建齐 过程，完成探究发现角的'新单位制弧度制构建 的过程.提炼概括：从特殊事物中揭示一般规 律：单位制构建的一般过 程.1创设情境，引出必要思考：点P的位置与哪些几何量有关呢？师生活动：将所得几何量分为两大类：六十进 制的角及十进制的长度.小结：数学就是建立量与量关系的模型，在同 一运动

3、中，两类几何量度量进制的不一致会给我 们的数学研究带来很多不便.探究：能否像度量长度那样，用十进制的实数来度量角的大小呢?【设计意图】客观世界变化万千，为了研究它们的规律，我们常常需要用数学的眼光去观 察我们现实生活中的各种现象，以摩天轮为例，师生一起抽象建模进行研究刻画点 P的位置的几何量，发现分为角及长度这两类几何量，它们度量的不一致会给我们 的数学研究带来很多的不方便， 让学生体会到学习弧度制的必要性. 此时适时渗透 数学史并引出本节课探究主题：能否像度量长度那样，用十进制的实数来度量角的 大小呢？问题1：现实生活中有没有同一个几何量，它的度量结果可以用不同的单位表 示呢？请举出相应例子

4、？预设：学生举出各种具有不同单位的量的例子.小结：既然有这样的量，说明我们可以尝试去建立新的度量角的单位制【设计意图】引导学生通过类比生活中的量，发现同一个量存在不同的单位制， 说明角的 度量存在其余单位制的可能性.2. 合作探究，凸显生成问题2：图中哪些几何量能唯一确定角 a？师生活动：学生经过独立思考，有了自己的探究结果后，先生生交流，再师生交流教师板书可能方案，让学生们说一说，教师追问学生为什么？ 几何画板作 图验证.预设1:弧长、弧长比半径.师生活动：学生阐述，教师板书所有方案后，教师先用几何画板作图，从形'的角度进行验证，而后教师通过追问，让学生从 数的角度进行说理，然后学生

5、评 价学生，学生自主区分可行方案并阐述其理由，最后师生一起总结，弧长与半径的 比值可以唯一确定角的大小，而在半径给定的圆中，弧长也是可以唯一确定角的大小的，其实就是用l唯一确定角的大小的一个特例！值得注意的是，当半径取1个单位长度时，弧长与角的数值相等！预设2:学生层次比拟高，问角a与哪些长度有关，还未展开探究，学生直接lo得出利用弧长占整个圆周的比即2n=3600，算出角a的度数.师生活动：通过追问，区分一个几何量为何不可行，从而深化认识.小结：早在几百年前，数学家们就发现了角 a的大小可以由r唯一确定，瑞士 大数学家欧拉为此也做了很多奉献， 通过刚刚的同学们的探究，我们也得出了同样 的结论

6、，说明同学们的认知水平很高，和大数学们家有一样的想法！【设计意图】学生先经过独立思考，再充分交流.在探究中，凸显了弧度制概念的生成，学 生亲身经历探究寻找以及思辨的过程，明白了弧度制选用弧长与半径的比来度量角 的合理性.如此设计源于：章建跃教授曾在?关于弧度制的教学?中提到：弧度制 定义的合理性应从： 如此度量角的大小是唯一确定的给出.最后，以夸奖的形式 适时渗透数学史：早在几百年前，数学家们就发现了角a的大小可以由1的比值唯r一确定，瑞士大数学家欧拉为此也做了很多奉献，既自然，又能让学生感受到探究 成功被肯定的喜悦.3. 类比迁移，构建概念问题3：如何建立一种新的度量角的制度呢？师生活动1：

7、为解决问题3回忆已有的经验，即类比学生身高的表示方法，可 以用米表示，也可以用尺寸表示，从中寻找建立新制度的研究方向.小结：有了约定的单位1,就可以定量表示出其余的所有长度，即：一生二， 二生三，三生万物！历史上，对同一个单位制，单位的约定也曾出现过不统一，例 如，战国时期，一尺的长度是不一样的，这给人们的生活带来很多不便，所以秦始 皇统一六国时，就统一了度量衡，推动了当时社会的开展！师生活动2：为解决问题3继续回忆已有的经验，回忆在角度制下，角的度量 单位：1°的角规定通过课堂引导性提问，阐述 1°的角的规定的合理性.小结：1°的角的大小与所在圆的半径无关；给出

8、这样规定后，所有角的度1数就确定了；适时渗透数学史：之所以用圆周的舟所对应的圆心角规定为1°360的角据说是因为古巴比伦科学家发现 360个太阳刚好能围成一整圈由以上两 个活动可见，对于一种单位制，约定及认识它的单位1是多么的重要！师生活动3：学生根据之前活动经验，先自己独立探究：如何建立一种新的度 量角的制度，再小组交流.预设：学生主动明确接下来研究方向，先约定单位1，即令r=1，即l=r，从图形上，长度等于半径长的弧所对的圆心角约定为新制度的单位1,能主动提出接下来需要利用单位1,定量表示其余的角通过课堂引导性提问互动，得出任意角弧 度数的计算公式.小结：把长度等于半径长的弧所对

9、的圆心角，叫做 1弧度的角，记作1rad.有 了任意角弧度数的计算公式后，任意一个角都可以定量表示了那么，用弧度作为 度量角的单位制称为弧度制.它就是我们今天探究发现的新的度量角的单位制-弧度制.【设计意图】因为学生不知该如何建立一种新的度量角的制度，所以此问题引导学生从已 有经验出发，寻找解决问题的方法.这时教师通过追问，以具体尺和 米为例,师生一起摸索几何量长度从构建到使用单位制的过程，让学生感受到，认识一种新的单位制，首先得明确它的单位1,只有明确单位1后，才可以定量表示其余的长 度.对于具体几何量角，让学生回忆初中1°的角的规定，充分说明角度制下单位1 的约定的合理性，再次强

10、化：对于一种单位制，应该先约定单位1,才能定量表示出其余的角.最后引导学生类比迁移，自主探究完成几何量角新单位制弧度制 中单位1的约定，然后类比所得经验，定量表示出任意角弧度数，最后完成对弧度制的构建.4. 相互转化，揭示联系互化练习：请将量角器上各角进行弧度与角度的互化追问：通过学习 弧度制度 量角已经有两种不同的方法，接下 来应该要解决什么问题？预设：单位换算.追问：怎么换算？师生活动：找出换算关系：360°= 2 n radrad 0.01745rad,度-57.30°,进行方法交流.1 =面彳人1801rad=：学生独立完成换算练习后互化练习：请将F列角进行角度与弧

11、度的互化.(1) -3.5(2)lP15f追问：这些非整角，你会互化吗？ 师生活动：学习先独立完成练习，然后再进行方法交流.【设计意图】引导学生主动思考接下来应完成单位换算. 课堂上以量角器形式给出互化练 习，避开枯燥无味，提升课堂活泼程度.5. 运用新知，加深认识正实数负实数 /角的集合实数集R师生活动：通过课堂对话，在弧度制下，探究角的集合与实数集 R之间构成 一 对应关系.小结：弧度制下，角的集合与弧度数的集合之间建立起一一对应的关系，即角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系！【设计意图】让学生明确：角的概念推广之后，无论是角度制还是弧度制都能在角的集合和实数的集合之间建立一种 对应

12、关系.练习：(1在弧度制下，弧长公式如何表示？(2)在弧度制下，扇形面积公式如何表示？其中I是扇形弧长，r是圆的半径.扇形圆心角为 arad (IM <n).师生活动：学生独立计算出弧度制下的弧长公式及扇形面积公式后，给出角度制下的相应公式进行比照，发现弧度制下公式更简洁.小结：这也表达了我们数学的简洁美！其实弧度制的优越性远不止那么多，就 让我们慢慢去感受，慢慢去发现吧！【设计意图】通过角度制与弧度制下弧长及扇形面积公式的比照，感受公式的简洁美!1r小活动：你能用不同的方法度量角的大小吗？ 预设：方法1:量角器量角.方法2:量出弧长，量出半径利用公式|«计算出角的弧度数.方法

13、3:构造三角形.小结：对于方法1是同学们小学就会的，对于方法2,我们再次感受到：通过量弧长及半径，就可以唯一确定a的大小，特别提醒，当半径长度为1个单位长 度时，弧有多大，角就有多少弧度，这表达了弧度制的本质：用线段长度度量角的大小.对于方法3:可以利用构造直角三角形解决 a是特殊角的情况，对于更一般 的角，将是我们后继将要学习的内容(利用正余弦定理解决等等).【设计意图】引导学生加深对弧度制本质的理解， 即:弧度制的本质是用线段长度度量角的 大小.6. 小结反思归纳提升小结:长度/单也米珠、单如尺_> 2尺360度二2rr弧度"单位1度2度 、 =单位1弧度一>2弧度

14、/小结：今天我们类比长度单位制构建的过程，探究发现了角的新单位制弧度 制构建过程它们都是从现实的度量需要开始，经历了约定单位1,定量表示， 单位换算这样的过程，这个过程就是我们研究单位制的 一般过程拓展研丸运用“单位制构建的一般过程.你会研尤其它量的单位制吗？课后作业；巴o匀题 1.1： 3, 4. 8【设计意图】本节课类比长度的单位制构建的过程，探究发现了角度的新单位制弧度制 构建的过程，设置 拓展研究的目的是让学生去思考：构建一种单位制的一般过程, 即从特殊事物中揭示一般规律.最后设置的拓展探究，实质上是对本节课进行了高 度提炼概括：我们不仅要学习弧度制，我们还要明白构建一种单位制的一般过程是 什么，还要会运用此经验去研究更多的量，从而完成对本节课的总结！六、教学设计说明1 关于新课导入：如何激发学生学习 弧度制的求知欲，让学生感受到学习 新知的必要性.本节课选择从生活的大场景，到本章引言中的例子摩天轮这个具体 的小场景，从学生生活中熟悉的现象出发，发现同一运动中既有大量的角又有各种 长度，发现度量进制不一致给数学研究带来不便， 从而让学生体会到学习弧度制的 必要性.2. 关于弧度制概念生成探究：这是本节课的教学