利用DFT做连续信号的频谱分析 一、利用DFT计算连续信号的频谱

1、2.2 利用利用DFT做连续信号的频谱分析做连续信号的频谱分析 一、利用DFT计算连续信号的频谱分析过程采样截短DFT)(ajX)(atx( )x n)(jeX( )( )( )NNxnx n Rn)(jNeX)(kXNNkjNeX/2)(v 从图中可以看出，这是一次次的近似过程，首先，用离散采样信号的 DTFT 来近似连续信号 的傅立叶变换 ，其次，将x(n) 截短，这一过程等效于用一矩形序列RN(n)与x(n)相乘，其DTFT为v 最后，再对截短的信号作DFT)(jweX)(txa)( jXa)()()(jwNjwjwNeReXeX二、频谱分析的近似过程出现问题及解决办法1、混叠（1）混叠

2、现象对连续信号x(t)进行数字处理前，要进行采样采样序列的频谱是连续信号频谱的周期延拓，周期为fs，如采样率过低，不满足采样定理，fs2fh，则导致频谱混迭，使一个周期内的谱对原信号谱产生失真，无法恢复原信号，进一步的数字处理失去依据。nanTttxnTx)()()(v（2）解决办法 在采样前利用一模拟低通滤波器将原始信号的上限频率 限制在采样频率的一半，即加一抗混叠滤波器。maxf2、泄漏(1)产生原因处理实际信号序列x（n）时，一般总要将它截断为一有限长序列，长为N点，相当于乘以一个矩形窗w(n)=RN(n)。矩形窗函数，其频谱有主瓣，也有许多副瓣，窗口越大，主瓣越窄，当窗口趋于无穷大时，

3、就是一个冲击函数。我们知道，时域的乘积对应频域的卷积，所以，加窗后的频谱实际是原信号频谱与矩形窗函数频谱的卷积，卷积的结果使频谱延伸到了主瓣以外，且一直延伸到无穷。当窗口无穷大时，与冲击函数的卷积才是其本身，这时无畸变，否则就有畸变。例如，信号为，是一单线谱，但当加窗后，线谱与抽样函数进行卷积，原来在0处的一根谱线变成了以0为中心的，形状为抽样函数的谱线序列，原来在一个周期（s）内只有一个频率上有非零值，而现在一个周期内几乎所有频率上都有非零值，即的频率成份从0处“泄漏”到其它频率处去了。考虑各采样频率周期间频谱“泄漏”后的互相串漏，卷积后还有频谱混迭现象产生。（2）解决办法：增加截短的长度N

4、，以减小泄漏。nTje0Tjex3、栅栏效应（1）栅栏效应的产生N点DFT是在频率区间0，2上对信号频谱进行N点等间隔采样，得到的是若干个离散的频谱点X（k），且它们限制在基频的整数倍上，这就好像在栅栏的一边通过缝隙看另一边的景象一样，只能在离散点处看到真实的景象，其余部分频谱成分被遮挡，所以称之为栅栏效应。（2）减小栅栏效应方法：尾部补零，使谱线变密，增加频域采样点数，原来漏掉的某些频谱分量就可能被检测出来。4、 DFT的分辨率 v 填补零值可以改变对DTFT的采样密度，人们常常有一种误解，认为补零可以提高DFT的频率分辨率。事实上我们通常规定DFT的频率分辨率为 ，这里的N是指信号x(n)

5、的有效长度，而不是补零的长度。不同长度的x(n)其DTFT的结果是不同的；而相同长度的x(n)尽管补零的长度不同其DTFT的结果应是相同的，他们的DFT只是反映了对相同的DTFT采用了不同的采样密度。 Nfs/Nfs/参数选择的一般原则： (1)若已知信号的最高频率 ，为防止混叠，选定采样频率 ；(2)根据频率分辩率 ，确定所需DFT的长度(3) 和N确定以后，即可确定相应模拟信号的时间长度这里T是采样周期。maxfmax2ffsfffNs/NTfNs/sf5、周期信号的谱分析 对于连续的单一频率周期信号 ， 为信号的频率。 可以得到单一谱线的DFT结果，但这是和作DFT时数据的截取长度选得是

6、否恰当有关，截取长度N选得合理， 可完全等于 的采样。 )2sin()(tftxaaaf)(kXN)(ajXv例例2-1 对连续的单一频率周期信号 v按采样频率 采样，截取长度N分别选N =20和N =16，观察其DFT结果的幅度谱。 v解解 此时离散序列 v，即k=8。用MATLAB计算并作图，函数fft用于计算离散傅里叶变换DFT，程序如下： )2sin()(tftxaavk=8; vn1=0:1:19; vxa1=sin(2*pi*n1/k); vsubplot(2,2,1) vplot(n1,xa1) vxlabel(t/T);ylabel(x(n); vxk1=fft(xa1);xk

7、1=abs(xk1); vsubplot(2,2,2) vstem(n1,xk1) vxlabel(k);ylabel(X(k); vn2=0:1:15; vxa2=sin(2*pi*n2/k); vsubplot(2,2,3) vplot(n2,xa2) vxlabel(t/T);ylabel(x(n); vxk2=fft(xa2);xk2=abs(xk2); v subplot(2,2,4) vstem(n2,xk2) vxlabel(k);ylabel(X(k);051015-1-0.500.51t/Tx(n)0510150246810kX(k)051015-1-0.500.51t/Tx(n)0510150246810kX(k)(a)(b)(c)(d)不同截取长度的正弦信号及其DFT结果v计算结果示于图 (a)和(b)分别是N=20