微积分课件：8-2 对面积的曲面积分 (第一类曲面积分)

1、一、概念的引入一、概念的引入二、对面积的曲面积分的定义二、对面积的曲面积分的定义三、计算法三、计算法四、小结四、小结 第二节第二节 对面积的曲面积分对面积的曲面积分 (第一类曲面积分第一类曲面积分)一、概念的引入一、概念的引入 若若曲曲面面 是是光光滑滑的的, 它它的的面面密密度度为为连连续续函函数数),(zyx , 求求它它的的质质量量.实例实例 所谓曲面光滑所谓曲面光滑即曲面上各点处都即曲面上各点处都有切平面有切平面, ,且当点在且当点在曲面上连续移动时曲面上连续移动时, ,切平面也连续转动切平面也连续转动. .二、第一类曲面积分的定义二、第一类曲面积分的定义1.1.定义定义即即 dSzy

2、xf),(iiiniiSf ),(lim10 记为记为 dSzyxf),(.2.2.第一类曲面积分的性质第一类曲面积分的性质则则及及可可分分为为分分片片光光滑滑的的曲曲面面若若,)121 叫被积函数，叫被积函数，其中其中),(zyxf.叫积分曲面叫积分曲面 dSdS面面积积元元素素 )()2曲面面积曲面面积SdS三、计算法三、计算法22 , , ( , ) 1;xyxyDf x y z x yzzdxdy dSzyxf),()y, x(zz:. 1 若曲面若曲面则则按照曲面的不同情况分为以下三种：按照曲面的不同情况分为以下三种：22 , ( , ), 1;xzxzDf x y x z zyy

3、dxdz dSzyxf),(则则)z , x(yy. 2 ：若曲面若曲面22 ( , ), , 1.yzyzDf x y zy zxx dydz dSzyxf),(),(. 3zyxx ：若曲面若曲面则则例例1 1积积分分曲曲面面 ：yz 5 ,解解投影域投影域 ：25| ),(22 yxyxDxy dszyx)(故故 xyDdxdyyyx)5(2 xyDdxdyx)5(2.2125 221xydSzzdxdydxdy2)1(01 ,2dxdy xyDdxdy52yxD例例: :计算曲面积分计算曲面积分,dzS其中其中 是球面是球面222zyx被平面被平面)0(ahhz截出的顶部截出的顶部.

4、.解解: :yxDyxyxaz),( ,:2222222:hayxDyx221yxzz 222yxaazSd20da0)ln(2122222haraahaaln2yxDyxayxa222dd22022dhararr2aoxzyha思考思考: :若若 是球面是球面2222azyx被平行平面被平行平面 z z = =h h 截截出的上下两部分出的上下两部分, ,) (dzS0则hhoxzy) (dzShln4aa0,x y 1 10,0,被被积积函函数数关关于于z z为为奇奇函函数数若若 关关于于平平面面对对称称,I=,I=2I2I被被积积函函数数关关于于z z为为偶偶函函数数利利用用对对称称性性

5、化化简简计计算算0,x z 1 10,0,被被积积函函数数关关于于y y为为奇奇函函数数若若 关关于于平平面面对对称称,I=,I=2I2I被被积积函函数数关关于于y y为为偶偶函函数数0,y z 1 10,0,被被积积函函数数关关于于x x为为奇奇函函数数若若 关关于于平平面面对对称称,I=,I=2I2I被被积积函函数数关关于于x x为为偶偶函函数数解解依对称性知：依对称性知：2222抛抛物物面面zxyzxy关关于于xoz,yozxoz,yoz坐坐标标面面对对称称，(1 为为第第一一卦卦限限部部分分曲曲面面)xyzdxdyzzdSyx221 dxdyyx22)2()2(1 原式原式dSxyz

6、|dSxyz 14dxdyyxyxxyxyD2222)2()2(1)(4 其其中中1| ),(22 yxyxDxy, 0, 0 yx 利用极坐标利用极坐标 trxcos , trysin ,rdrrrttrdt 102222041sincos4 drrrtdt21050412sin22 令令241ru duuu251)41(41 .42015125 计计算算 xdS, 其其中中 是是圆圆柱柱面面 122 yx,平平面面2 xz及及0 z所所围围成成的的空空间间立立体体的的表表面面.例例4 4解解 321 其其中中1 ：0 z,2 ：2 xz,3 ：122 yx.投投影影域域1D：122 yx显

7、显然然 011 DxdxdyxdS, 01112 DdxdyxxdS讨讨论论3 时时, 将将投投影影域域选选在在xoz上上.（注意：注意：21xy 分为左、右两片分为左、右两片） 3xdS 31xdS 32xdS（左右两片投影相同）（左右两片投影相同） xzDzxdxdzyyx2212xoz xzDdxdzxxx22112 1120212xdzdxxx, xdS 00.四、几何与四、几何与物理意义物理意义(2)(2)当当 (x,y,z)(x,y,z)表表示示 面面密密度度时时, ,M M (x,y,z)dS;(x,y,z)dS; (1)(1)当当 f(x,y,z)1f(x,y,z)1时时, ,

8、 曲曲面面面面积积S1dS;S1dS; (3)(3) 曲曲面面对对 x x轴轴及及 y y轴轴的的转转动动惯惯量量 , ,22222222xyxy2222z zI(yz )I(yz ) dS,I(xz )dS,I(xz ) dSdSI(xy )I(xy ) dSdS (4)(4) 曲曲面面的的重重心心坐坐标标x xdSydSydSzdSzdSdSx,y,z.x,y,z.dSdSdSdSdSdS例例5 5：求半径为求半径为a a 的均匀球壳的均匀球壳 对其直径轴的转动惯对其直径轴的转动惯量量. .2222x xI(yz )I(yz ) dSdS 2222222 2 (xyz )dS(xyz )d

9、S3 3 4 48 8a a3 3 思考题思考题: 设设),0(:2222 zazyx在在第第 为1一卦限中的部分一卦限中的部分, 则有则有( ).;d4d)(1 SxSxA;d4d)(1 SxSyB;d4d)(1 SxSzC.d4d)(1 SzyxSzyxDC四、小结四、小结2、对面积的曲面积分的解法是将其化为投影、对面积的曲面积分的解法是将其化为投影域上的二重积分计算域上的二重积分计算.1、 对面积的曲面积分的概念对面积的曲面积分的概念; dSzyxf),(iiiniiSf ),(lim10 （按照曲面的不同情况分为三种）（按照曲面的不同情况分为三种）思考题思考题 在对面积的曲面积分化为二

10、重积分在对面积的曲面积分化为二重积分的公式中的公式中, 有因子有因子 , 试说明试说明这个因子的几何意义这个因子的几何意义.221yxzz 思考题解答思考题解答是曲面元的面积是曲面元的面积,dS2211),cos(yxzzzn 221yxzz 故故 是曲面法线与是曲面法线与 轴夹角的余弦轴夹角的余弦的倒数的倒数.z一、一、 填空题填空题: :1 1、 已知曲面已知曲面 的面的面a积为积为, , 则则 ds10_；2 2、 dszyxf),(= = yzDzyzyxf),),(_dydz；3 3、 设设 为球面为球面2222azyx 在在xoy平面的上方部平面的上方部分分, ,则则 dszyx)

11、(222_；4 4、 zds3_, ,其中其中 为抛物面为抛物面)(222yxz 在在xoy面上方的部分；面上方的部分；5 5、 dsyx)(22_, ,其中其中 为锥面为锥面22yxz 及平面及平面1 z所围成的区域的整个边界曲面所围成的区域的整个边界曲面. .练练 习习 题题二二、计计算算下下列列对对面面积积的的曲曲面面积积分分: : 1 1、 dszxxxy)22(2, ,其其中中 为为平平面面 622 zyx在在第第一一卦卦限限中中的的部部分分； 2 2、 dszxyzxy)(, ,其其中中 为为锥锥面面22yxz 被被 柱柱面面axyx222 所所截截得得的的有有限限部部分分 . . 三三、求求抛抛物物面面壳壳)10)(