微积分课件：第一章习题课

1、第一章 函数与极限(习题课）（一）函数的定义（一）函数的定义（二）极限的概念（二）极限的概念（三）连续的概念（三）连续的概念一、主要内容函函 数数的定义的定义反函数反函数隐函数隐函数反函数与直接反函数与直接函数之间关系函数之间关系基本初等函数基本初等函数复合函数复合函数初等函数初等函数函函 数数的性质的性质单值与多值单值与多值奇偶性奇偶性单调性单调性有界性有界性周期性周期性双曲函数与双曲函数与反双曲函数反双曲函数左右极限左右极限两个重要两个重要极限极限求极限的常用方法求极限的常用方法无穷小无穷小的性质的性质极限存在的极限存在的充要条件充要条件判定极限判定极限存在的准则存在的准则无穷小的比较无穷

2、小的比较极限的性质极限的性质数列极限数列极限函函 数数 极极 限限axnn limAxfxx )(lim0Axfx )(lim等价无穷小等价无穷小及其性质及其性质唯一性唯一性无穷小无穷小0)(lim xf两者的两者的关系关系无穷大无穷大 )(limxf左右连续左右连续在区间在区间 a,ba,b上连续上连续连续函数连续函数的的 性性 质质初等函数初等函数的连续性的连续性间断点定义间断点定义连连 续续 定定 义义0lim0 yx)()(lim00 xfxfxx 连续的连续的充要条件充要条件连续函数的连续函数的运算性质运算性质非初等函数非初等函数的连续性的连续性 振荡间断点振荡间断点 无穷间断点无穷

3、间断点 跳跃间断点跳跃间断点 可去间断点可去间断点第一类第一类 第二类第二类 求极限的常用方法求极限的常用方法1.利用连续性求极限利用连续性求极限;2.消去零因子法求极限消去零因子法求极限;3.无穷小因子分出法求极限无穷小因子分出法求极限;4.利用无穷小运算性质求极限利用无穷小运算性质求极限;5.利用左右极限求分段函数分段点处极限利用左右极限求分段函数分段点处极限;6.利用分子或分母有理化利用分子或分母有理化;7.利用两个重要极限；利用两个重要极限；8.利用等价无穷小替换；利用等价无穷小替换； 9.利用极限存在准则求极限利用极限存在准则求极限10.其它方法其它方法二、典型例题二、典型例题例例1

4、 1.)16(log2)1(的定义域的定义域求函数求函数xyx 解解, 0162 x, 01 x, 11 x 214xxx, 4221 xx及及).4 , 2()2 , 1(即即例例3 3).1()1)(1)(1(lim,1242nxxxxxn 求求时时当当解解将分子、分母同乘以因子将分子、分母同乘以因子(1-x), 则则xxxxxxnn 1)1()1)(1)(1)(1(lim242原式原式xxxxxnn 1)1()1)(1)(1(lim2422xxxnnn 1)1)(1(lim22xxnn 11lim12.11x .)0lim,1(12 nxxn时时当当例例4 4.)sin1tan1(lim

5、310 xxxx 求求解解 解法讨论解法讨论则则设设,)(lim, 0)(lim xgxf)(1ln)(lim)()(1limxfxgxgexf )()(limxfxge .)()(limxfxge )()(1ln(xfxf 310)1sin1tan1(1limxxxx 原式原式310sin1sintan1limxxxxx 301sin1sintanlimxxxxx 301cos)sin1()cos1(sinlimxxxxxx xxxxxxxcos)sin1(1cos1sinlim20 21.21e 原式原式例例6 6.1,2cos1,1)(的连续性的连续性讨论讨论 xxxxxf 解解改改写写

6、成成将将)(xf 1, 111,2cos1,1)(xxxxxxxf.), 1(),1 , 1(),1,()(内内连连续续在在显显然然 xf,1时时当当 x )(lim1xfx )1(lim1xx. 2 )(lim1xfx 2coslim1xx. 0)(lim)(lim11xfxfxx .1)(间间断断在在故故 xxf,1时时当当 x )(lim1xfx 2coslim1xx. 0 )(lim1xfx )1(lim1xx. 0)(lim)(lim11xfxfxx .1)(连连续续在在故故 xxf.), 1()1,()(连连续续在在 xf例例7 7).()21(1 , 0),1()0(,1 , 0)( ffffxf 使得使得证明必有一点证明必有一点且且上连续上连续在闭区间在闭区间设设证明证明),()21()(xfxfxF 令令.21, 0)(上连续上连续在在则则xF),0()21()0(ffF ),21()1()21(ffF 讨论讨论:, 0)0( F若若, 0 则则);0()210(ff , 0)21( F若若,21 则则);21()2121(ff 则则若若, 0)21(, 0)0( FF )21()0