微积分课件：8-6 高斯公式与散度

1、一、高一、高 斯斯 公公 式式二、简单的应用二、简单的应用三、物理意义三、物理意义-通量与散度通量与散度四、小结四、小结 第六节第六节 高高 斯公斯公 式与散度式与散度 设空间闭区域设空间闭区域 由分片光滑的闭曲面围成由分片光滑的闭曲面围成, ,函数函数),(zyxP、),(zyxQ、),(zyxR在在 上具有上具有一阶连续偏导数一阶连续偏导数, , 则有公式则有公式 RdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxP)(一、高一、高 斯斯 公公 式式dSRQPdvzRyQxP)coscoscos()( 或或这这里里 是是 的的整整个个边边界界曲曲面面的的外外侧侧， cos,cos,cos是是 上

2、上点点),(zyx处处的的法法向向量量的的方方向向余余弦弦. .证明证明设设闭闭区区域域 在在面面xoy上上的的投投影影区区域域为为xyD. .xyzo 由由1 , ,2 和和3 三三部部分分组组成成, ,),(1:1yxzz ),(2:2yxzz 3 1 2 3 xyD根据三重积分的计算法根据三重积分的计算法dxdydzzRdvzRxyDyxzyxz ),(),(21.),(,),(,12 xyDdxdyyxzyxRyxzyxR根据曲面积分的计算法根据曲面积分的计算法,),(,),(11 xyDdxdyyxzyxRdxdyzyxR( (1 取取下下侧侧, , 2 取取上上侧侧, , 3 取取

3、外外侧侧) ),),(,),(22 xyDdxdyyxzyxRdxdyzyxR,),(,),(,12 xyDdxdyyxzyxRyxzyxR于于是是R(x,y,z)dxdyR(x,y,z)dxdy . 0),(3 dxdyzyxR.),( dxdyzyxRdvzR,),( dydzzyxPdvxP同理同理,),( dzdxzyxQdvyQ RdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxP)(-高斯公式高斯公式和并以上三式得：和并以上三式得：GaussGauss公式的实质公式的实质 表达了空间闭区域上的三重积分与其边界表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系曲面上的曲面积分之

4、间的关系.)coscoscos()( dSRQPdvzRyQxP 由两类曲面积分之间的关系知由两类曲面积分之间的关系知二、简单的应用二、简单的应用使用使用Guass公式时应注意公式时应注意:(1)(1)1. P,Q,RC ()1. P,Q,RC ()xozy1解解, 0,)(yxRQxzyP , 0, 0, zRyQzyxP dxdydzzy)(原式原式.29 (利用对称性利用对称性)xyzoh xyDxyzoh 1 解解空间曲面在空间曲面在 面上的投影域为面上的投影域为xoyxyD)(:2221hyxhz 补充补充曲面曲面 不是封闭曲面不是封闭曲面, 为利用为利用高斯公式高斯公式取上侧，取上

5、侧，1 构构成成封封闭闭曲曲面面，取取外外側側1 .1 围成空间区域围成空间区域,上上使使用用高高斯斯公公式式在在 zdvdvzyxdSzyx2)(2)coscoscos(1222 xyxyh h0 0D D2zdzdxdy2zdzdxdy h h2 20 02z2z z dzz dz .214h 112222)coscoscos(dSzdSzyx xyDdxdyh2.4h 故所求积分为故所求积分为 dSzyx)coscoscos(222421h 4h .214h 例例4:4:222222I(yx)dydz(zy)dzdx(xz)dxdyI(yx)dydz(zy)dzdx(xz)dxdy 设设

6、 为曲面为曲面21,222zyxz取下侧取下侧, , 求求 解解: 作取上侧的辅助面作取上侧的辅助面1:1z1:),(22yxDyxyxI1111 3 d x d ydz3 d x d ydz 2 2(x1)d x d y(x1)d x d y xyD 2 21 13 3 (2z)dz(2z)dz 2 20 0d d 1 122220 0(r cos(r cos 1)d r1)d r 9 9 4 4 1zoxy211( (见见习习题题课课) )例例: :设设 是一光滑闭曲面是一光滑闭曲面, ,azuyuxuuCzyxu 222222)2(,),(所围立体所围立体 的体积为的体积为V V, ,试

7、证试证.d31aVSnu )(的外法向量的外法向量为为 n三、物理意义三、物理意义-通量与散度通量与散度设设有有向向量量场场 kzyxRjzyxQizyxPzyxF),(),(),(),( 沿沿场场中中某某一一有有向向曲曲面面的的第第二二类类曲曲面面积积分分为为1.1. 通量通量( (或流量或流量) )的定义的定义: : RdxdyQdzdxPdydzSdF2. 2. 散度的定义散度的定义: :zRyQxPFdivdivFzyxFzRyQxPkzyxRjzyxQizyxPzyxFzyx 即即记为记为处的散度处的散度在点在点为为称数量称数量设向量场设向量场,),(),(),(),(),(),(高

8、斯公式可写成高斯公式可写成 SdFdVFdiv.的的边边界界曲曲面面的的外外侧侧是是空空间间闭闭区区域域其其中中 设设有有向向量量场场),(zyxF, ,在在场场内内作作包包围围点点M 的的闭闭曲曲面面 , , 包包围围的的区区域域为为V, ,记记体体积积为为V. . 源头强度在立体源头强度在立体 上的三重积分等于单位时间内上的三重积分等于单位时间内流体通过流体通过 的边界流向外侧的总流量的边界流向外侧的总流量.,)(, 0,0)(, 0,0)(为为无无源源场场称称在在场场内内处处处处为为零零如如果果处处有有负负源源在在称称有有时时当当处处有有正正源源在在称称有有时时当当FMFdivMFsdF

9、MFdivMFsdFMFdiv 高斯公式的物理意义高斯公式的物理意义: 222222r r例例4 :4 : 设设 Af(r),rxyz ,Af(r),rxyz ,求求div Adiv Ar r)(,)(,)(:zrrfyrrfxrrfA 解解)( )(2rfrrfAdiv 222222222222例例5 :5 : 求求向向量量A(xyz) i(yzx)j(zxy)kA(xyz) i(yzx)j(zxy)kxyzxyz从从1 1的的内内部部穿穿过过外外部部的的通通量量abcabc( (习习题题课课的的课课外外作作业业) )总结总结:第二类曲面积分计算第二类曲面积分计算IPdydzQdzdxRdx

10、dy 闭合闭合()PQRIdVxyz 非闭非闭补充曲面再用高斯补充曲面再用高斯公式公式 化化为为第第一一类类曲曲面面积积分分I=(Pcos +Qcos +Rcos )dSI=(Pcos +Qcos +Rcos )dS( (指指定定) )投投影影化化为为二二重重积积分分四、小结四、小结 SdFdVFdiv（1）应用的条件）应用的条件（2）物理意义）物理意义2、高斯公式的实质、高斯公式的实质1、高斯公式、高斯公式 RdxdyQdzdxPdydzdVzRyQxP)(思考题思考题曲面应满足什么条件才能使高斯公式成立？曲面应满足什么条件才能使高斯公式成立？思考题解答思考题解答曲面应是分片光滑的曲面应是分

11、片光滑的闭闭曲面曲面.一、一、 利用高斯公式计算曲面积分利用高斯公式计算曲面积分: :1 1、dxdyzdzdxydydzx333 , ,其中其中 为球面为球面 2222azyx 外侧；外侧；2 2、 zdxdyydzdxxdydz, ,其中其中 是界于是界于0 z和和 3 z之间的圆柱体之间的圆柱体922 yx的整个表面的外的整个表面的外 侧；侧；3 3、 xzdydz, , 其中其中是上半球面是上半球面 222yxRz 的上侧的上侧 . .练习题练习题二、证明二、证明: :由封闭曲面所包围的体积为由封闭曲面所包围的体积为 dszyxV)coscoscos(31 , ,式中式中 cos,co

12、s,cos是曲面的外法线的方向余弦是曲面的外法线的方向余弦 . .三、求向量三、求向量kxzjyxizxA22)2( , ,穿过曲面穿过曲面 : :为为立方体立方体ayax 0,0, ,az 0的全表面的全表面, ,流流向外侧的通量向外侧的通量 . .四、求向量场四、求向量场kxzjxyieAxy)cos()cos(2 的散的散度度 . .五、设五、设),(,),(zyxvzyxu是两个定义在闭区域是两个定义在闭区域 上的上的具有二阶连续偏导数的函数具有二阶连续偏导数的函数, ,nvnu ,依次表示依次表示 ),(,),(zyxvzyxu沿沿 的外法线方向的方向导的外法线方向的方向导数数 . .证明证明: :dsnu