经典力学：习题课8-振动

1、力学力学习题课习题课第8次 振动例例8.1 8.1 一质量为一质量为MM的盘子系于竖直悬挂的弹簧下的盘子系于竖直悬挂的弹簧下端，弹簧的劲度系数为端，弹簧的劲度系数为k k。现有一质量为。现有一质量为mm的小的小物体自离盘高物体自离盘高h h处自由下落掉在盘上，没有反弹。处自由下落掉在盘上，没有反弹。如以物体掉在盘上的瞬间作为计时起点，求盘如以物体掉在盘上的瞬间作为计时起点，求盘子的振动表达式（取物体掉在盘子后的平衡位子的振动表达式（取物体掉在盘子后的平衡位置为坐标原点，位移以向下为正）。置为坐标原点，位移以向下为正）。【解解】空盘振动时，角频率：空盘振动时，角频率：1kM 物体落在盘上后，角频

2、率：物体落在盘上后，角频率：2kMm 设新的平衡位置对应于弹簧的伸长量为设新的平衡位置对应于弹簧的伸长量为l l2 2，则，则2()klMm g 而物体未落在盘上时弹簧的伸长量为而物体未落在盘上时弹簧的伸长量为l l1 1，则，则1klM g 以新的平衡位置为原点，则以新的平衡位置为原点，则t t0 0时，盘子的初始位移时，盘子的初始位移021()MmM gm gyllgkkk 由动量守恒得由动量守恒得00()m vmM V （式中（式中v v0 0、V V0 0分别是物体落在盘上前后的速度）分别是物体落在盘上前后的速度）而而02vgh 故有故有02mVghmM 222220022222/ (

3、)()21()Vm gmkAyghkmMmm gkhkmMgM 求得振幅的初相求得振幅的初相00022arctarcan(tanarctan)mghVmMym gkkmMkhmMg 000y Acos 且此时物体向着且此时物体向着y y轴正方向运动，所以轴正方向运动，所以0 0在第三象限，在第三象限，即即032 注意到注意到cos()cos 于是得到于是得到221mghkkhkytkMmMmMm gcosarctan()()() 例例8.2 8.2 一不可伸长的细线穿过光滑桌面上的小一不可伸长的细线穿过光滑桌面上的小孔，一端系质量为孔，一端系质量为mm的小球，另一端系质量为的小球，另一端系质量

4、为MM的重物。小球在桌面上以角速度以匀角速的重物。小球在桌面上以角速度以匀角速 0 0作圆周运动，重物静止不动，若重物受到竖直作圆周运动，重物静止不动，若重物受到竖直向上的扰动。试证明：重物将上下谐振动，并向上的扰动。试证明：重物将上下谐振动，并求振动频率。求振动频率。【解解】重物静止时，线的张力为重物静止时，线的张力为T T0 0，小球的圆周运动，小球的圆周运动的半径为的半径为r r，200 0TMgmr 故有故有020(1)Mgr m M M受扰动后，张力受扰动后，张力T T和小球运动半径和小球运动半径r r皆随时间皆随时间t t变化，变化，M M的运动方程为的运动方程为2222()(2)

5、dlrd rMgTMM dtdt （l l是线的全长，为常量）是线的全长，为常量）m m的运动为径向运动与圆周运动的叠加，方程为的运动为径向运动与圆周运动的叠加，方程为2232drTmrm dt( ) （因为径向加速度为（因为径向加速度为）2rarr 消去消去T T可得到可得到22222d rd rM gmrmM dtdt 即即222()0(4)d rmMmrM g dt 由角动量守恒得由角动量守恒得22005Jm r=m r ( ) （4 4）带入（）带入（5 5）得）得222306d rJmMM g dtm r()( ) 由于是微扰，小球的半径由于是微扰，小球的半径 r r(t) (t)

6、可写成可写成0( )( )r trt 而而2222( )d rdtdtdt 33330000111311rrrrr 代入（代入（6 6）得）得3222003()10dJmMMg dtrmr 代入上式，得代入上式，得220030JM gm rm r 由（由（1 1），（），（5 5），有），有2203()0dM gmM dtr 或或22030()dM g dtmMr 这是典型的谐振动方程，振动的角频率和频率为这是典型的谐振动方程，振动的角频率和频率为0031322M gM g mMrmMr,()() 例例8.3 8.3 两个同频率的简振两个同频率的简振, ,它们的它们的x xt t图象如图所示图

7、象如图所示, ,求：求：(1)(1)两个简振的位相差两个简振的位相差; (2); (2)合振动的振动方程合振动的振动方程x so55cmt2x1xA1A2A248x so55cmt2x1xA1A2A248xx so55cmt2x1x48xx so55cmt2x1x48x so55cmt2x1xA1A2A248x so55cmt2x1xA1A2A248【解解】：(1) A(1) A1 1=A=A2 2=5 (cm) , T=4 (s)=5 (cm) , T=4 (s)12302 ,12s 22125 2AAAcm(2)142S ，5 224xtcosAAAA AAAtgAA 2211121211

8、2211222cos)sinsincoscos（ 由由得到得到例例8.4 8.4 写出单摆的周期相对变化写出单摆的周期相对变化dT/TdT/T与重力加速度的与重力加速度的相对变化相对变化dg/gdg/g之间的关系式之间的关系式, ,在在g=9.80cm/Sg=9.80cm/S-2-2处走时处走时准确的一只钟准确的一只钟, ,移至另一地点后每天慢移至另一地点后每天慢10S,10S,试用上述关试用上述关系式计算该地的重力加速度值。假设该钟用单摆计时。系式计算该地的重力加速度值。假设该钟用单摆计时。【解解】：对对 两边进行微分两边进行微分T = 2l g -2dTdgTg329 802 269 10

9、9 798ggdgm s. 3210229 802 2691086400dTdggm sT. 例例8.5 8.5 两相同的圆柱体，半径为两相同的圆柱体，半径为R R，它们的轴平行，且，它们的轴平行，且在同一水平面上，相距在同一水平面上，相距d=2Ld=2L，以相同的角速度并向相，以相同的角速度并向相反的方向绕轴迅速的旋转。在圆柱上放一块匀质木板，反的方向绕轴迅速的旋转。在圆柱上放一块匀质木板，木板与圆柱体间的滑动摩擦系数为木板与圆柱体间的滑动摩擦系数为 。若开始把木板放。若开始把木板放在平衡位置偏右在平衡位置偏右x x0 0位置，且给它一个向右的初速度位置，且给它一个向右的初速度v v0 0，

10、求木板的运动。求木板的运动。12.o omgN1xN2F2F1x.2dLcc 【解解】可将木板看作位于质心的一个质点，质量为可将木板看作位于质心的一个质点，质量为m m。对于固定对于固定O O点，应用角动量定理，点，应用角动量定理，12mg LxNL由、式可解出由、式可解出代入式得代入式得+0gxxL 02=2LTg 运动周期运动周期由牛顿定律由牛顿定律0Jrmvximxi注意注意1212=+=mx FFNN120NNmg则则0dJMdt有有210N LN Lmgx22mg LxNL0coscosgxAtAtL 通解为通解为固有频率固有频率0gL 最终得最终得由初始条件由初始条件000,txx

11、xv220000cosarctanv LgvLxxtgLxg 有有00cos,singAxAvL 得到得到2200v LAxg 00arctanvLxg 又因为又因为sin0 所以所以在第四象限，在第四象限，例例8.6 8.6 如图，一倔强系数为如图，一倔强系数为k k的轻弹簧，一端固定在的轻弹簧，一端固定在墙上，另一端连接一质量为墙上，另一端连接一质量为mm1 1的物体，放在光滑的水的物体，放在光滑的水平面上，一质量为平面上，一质量为mm2 2的物体跨过一质量为的物体跨过一质量为MM，半径为，半径为R R的定滑轮与的定滑轮与mm1 1相连，求此系统的振动圆频率。相连，求此系统的振动圆频率。2

12、m1mMkR解法一：以弹簧原长的端点为坐标原解法一：以弹簧原长的端点为坐标原点点, ,向右为向右为S S坐标轴正向坐标轴正向, m, m1 1 、m m2 2、M M受力如图所示，显然有：受力如图所示，显然有：gm11Tfgm2MR/1T2T/2TN111Tksm am s2222m gTm am sasRR 212102m gmmM sk sk2m gxsk20 xx 1212kmmM 2211()2TT RJMR解上述解上述4 4个方程，可得个方程，可得令令上式可化为上式可化为xs2m gxsk由于由于M M没有平动，只有转动，对于轴心应用角动量定理有，没有平动，只有转动，对于轴心应用角动

13、量定理有，212102m gmmM Sk Sk解法二：研究对象解法二：研究对象m m1 1 、m m2 2、M M、k k、地球。只有重力和弹簧的弹力、地球。只有重力和弹簧的弹力做功，因此系统的做功，因此系统的E E守恒。设守恒。设m m1 1运动到运动到o o点时，弹簧势能为零，点时，弹簧势能为零，m m2 2所在处的重力势能为为零，由于所在处的重力势能为为零，由于m m1 1的重力势能不变，则当的重力势能不变，则当m m2 2下降下降s s时：时：20 xx 1212kmmM 22222122111 110222 22ksmMRmm gsR 上式对上式对t t求导，可得求导，可得xs由于由

14、于2m gxsk令令例例8.7 8.7 如图，一弹簧振子的劲度系数如图，一弹簧振子的劲度系数k k1 1=9.8N/m=9.8N/m，质，质量量m=9.8m=9.810-2kg10-2kg，它的影子水平投射在一屏上，该，它的影子水平投射在一屏上，该屏的质量屏的质量M=0.98kgM=0.98kg，通过劲度系数，通过劲度系数k k2 2=98N/m=98N/m的弹的弹簧挂起来。开始时，把它们都从平衡位置拉下簧挂起来。开始时，把它们都从平衡位置拉下0.1m0.1m，先释放弹簧振子，如果要使影子在屏上振动的振幅为先释放弹簧振子，如果要使影子在屏上振动的振幅为0.050m0.050m，问要过多长时间释

15、放屏？并写出影子在屏上，问要过多长时间释放屏？并写出影子在屏上的振动方程。的振动方程。【解解】用用x x1 1、x x2 2分别表示分别表示m m、M M的坐标，向下为正，原点均取在平的坐标，向下为正，原点均取在平衡位置。衡位置。影子运动影子运动120.05cos 10 xxxt 12xxx影子在屏上的坐标表示为：影子在屏上的坐标表示为：如何求如何求t t0 0和和？释放振子时：释放振子时：0t 释放屏时：释放屏时：0tt111cos0.1cos10kxAttm振子运动：振子运动：22200cos0.1cos10kxAttttM屏运动：屏运动：【解法解法1 1】用分析法。用分析法。两式平方后再

16、相加得两式平方后再相加得1200.1cos100.1cos100.050cos 10 xxxtttt 展开后得展开后得000.1cos100.1cos10 cos100.1sin10 sin100.050cos10 cos0.050sin10 sinttttttt比较两边，比较两边，cos10 ,sin10tt的系数相等，得的系数相等，得00.10.1cos100.05cost 00.1sin100.05sint 22022 0.10.05cos100.87520.1t010arccos0.8750.5052tn 00.05050.628=0,1,2,.tn sn 【解法解法1 1】用分析法。

17、用分析法。00.05050.628=0,1,2,.tn sn 因为因为t t0 0须取正值（后释放屏）不取须取正值（后释放屏）不取0-0.0505ts01=cos0.100.10cos10=1.318()0.050arctrad =0.050cos 101.318xtm【解法解法2 2】用矢量作图法。见下图（用矢量作图法。见下图（a a），图（），图（b b）是两个）是两个t t0 0的解。的解。由图（由图（a a）010.052102arcsin+20.10tn 00.05050.628,0,1,2,.tn s n【解法解法2 2】用矢量作图法。见下图（用矢量作图法。见下图（a a），（），

18、（b b）是两个）是两个t t0 0的解。的解。由图（由图（b b）010.0521022arcsin+210.10tn00.05050.628,0,1,2,.tn s n 【解法解法2 2】用矢量作图法。用矢量作图法。00.05050.628, =0,1,2,.tn s n 可合写成可合写成10.0502=cos=1.318()0.10arcrad = cos 2x At 【解解】（1 1）=cos 2x At 22cos 2aAt 电子在振荡一周期内辐射的能量为电子在振荡一周期内辐射的能量为4222302244243032312cos211=161+ cos 482=/TTEkeAt dtcke AtdtcckeA 【解解】（2 2）( )( )= 2= 2( )-( +)( )dE tE tQE tE tTE t 振子的能量振子的能量22