线性代数课件：5-3 正定二次型

1、5.3 正定正定二次型二次型一、一、惯性定理惯性定理二、正二、正(负负)定二次型的概念定二次型的概念三、正三、正(负负)定二次型的判别定二次型的判别 一个实二次型一个实二次型, 既可以通过正交变换法化为标既可以通过正交变换法化为标准形准形, 也可以通过拉格朗日配方法化为标准形也可以通过拉格朗日配方法化为标准形. 用不同的方法其标准形的表达式一般来说是用不同的方法其标准形的表达式一般来说是不同的不同的, 但标准形中所含有的项数是确定的但标准形中所含有的项数是确定的,其项其项数等于二次型的秩数等于二次型的秩, 而且正系数的项数和负系数的而且正系数的项数和负系数的项数也分别相等项数也分别相等. 实二

2、次型的这个性质常称为惯性定理实二次型的这个性质常称为惯性定理 下面我们限定所用的变换为实变换下面我们限定所用的变换为实变换, 来研究二来研究二次型的标准形所具有的性质次型的标准形所具有的性质.一、惯性定理一、惯性定理定理定理5.3 (惯性定理惯性定理) 设有实二次型设有实二次型 f = xTAx, 其秩为其秩为r, 有两个有两个可逆变换可逆变换 x = Cy, x = Qy, 分别使分别使 f 化为标准形化为标准形:则则 k1, k2, , kr 中与中与 m1, m2, , mr 中正数的个数相等中正数的个数相等. , )0( ,2222211 irrkykykykf, )0( ,22222

3、11 irrmzmzmzmf二次型的标准形二次型的标准形中正系数的中正系数的个数个数称为二次型的称为二次型的正惯正惯性指数性指数,负系数的个数称为负惯性指数负系数的个数称为负惯性指数. 若二次型若二次型 f 的秩为的秩为r,正惯性指数为正惯性指数为 p , 则则f 的规范形为的规范形为:.221221rppyyyyf 二、正二、正(负负)定二次型的概念定二次型的概念定义定义5.4 设有二次型设有二次型 f = xTAx, 若对任何非零向量若对任何非零向量 x 0, 都有都有 f (x)0 (显然有显然有 f (0 )=0), 则称则称 f 为为正定二次型正定二次型 , 并称并称对称阵对称阵 A

4、 是正定的是正定的. (或称或称 A 是正定阵是正定阵).若对任何若对任何 x 0, 都有都有 f (x)0 ,则称则称 f 为为负定二次型负定二次型 ,并并称称对称阵对称阵 A 是负定的是负定的. (或称或称 A 是负定阵是负定阵).,164),(222zyxzyxf f 为正定二次型为正定二次型.例如例如:,3),(2221321xxxxxf 若若则则 f 不为正定二次型不为正定二次型.注意注意例例1 1 设设 A, B 均为正定阵均为正定阵, 证明证明 A+B 亦为正定阵亦为正定阵.三、正三、正(负负)定二次型的判别定二次型的判别定理定理5.4 实二次型实二次型 f = xTAx 为正定

5、的充要条件是为正定的充要条件是: 其标准形的其标准形的 n 个系数全为正个系数全为正,即正惯性指数为即正惯性指数为 n . 二次型二次型 f = xTAx 为正定等价于其矩阵为正定等价于其矩阵 A 为正定为正定.故判别二次型故判别二次型 f = xTAx 是否正定亦可转化为判别是否正定亦可转化为判别其矩阵其矩阵 A是否是否正定正定.推论推论1 对称阵对称阵 A 正定的充要条件是正定的充要条件是 A 的特征值全为的特征值全为正正.推论推论2 对称阵对称阵 A 正定的充要条件是正定的充要条件是 A均与单位阵均与单位阵E合合同同.例例2 2 判定二次型判定二次型的正定性的正定性.3123222132

6、14542),(xxxxxxxxf 解解f 的矩阵为的矩阵为:,502040202 A, 0)5)(4)(2(| EA由由, 6, 4, 1:321 得特征值得特征值故故 A 是正定阵是正定阵, 从而从而 f 是正定二次型是正定二次型.)., 2 , 1( ,212222111211nkaaaaaaaaakkkkkkk 定义定义5.5 对于对于 n 阶矩阵阶矩阵 A=(aij), 行列式行列式称为方阵称为方阵 A 的的 k 阶顺序主子式阶顺序主子式. 定理定理5.5 (霍尔维茨定理霍尔维茨定理)(1) 对称阵对称阵 A 为正定的充要条件是为正定的充要条件是 A 的各阶顺序主的各阶顺序主子式为正

7、子式为正. )., 2 , 1( , 0nkk 即即(2) 对称阵对称阵 A 为负定的充要条件是奇数阶顺序主子式为负定的充要条件是奇数阶顺序主子式为负为负, 偶数阶正偶数阶正. )., 2 , 1( , 0)1(nkkk 即即例例3 3 判定二次型判定二次型的正定性的正定性.yzxzxyzyxzyxf48455),(222 解解f 的矩阵为的矩阵为:,524212425 A它的顺序主子式它的顺序主子式:, 0511 a, 01122522211211 aaaa, 01| A故故 A 是正定阵是正定阵, 从而从而 f 是正定二次型是正定二次型.例例4 4 判定二次型判定二次型的正定性的正定性.xzxyzyxzyxf44465),(222 解解f 的矩阵为的矩阵为:,402062225 A它的顺序主子式它的顺序主子式:, 0511 a, 026622522211211 aaaa, 0104| A故故 A 是负定阵是负定阵, 从而从而 f 是负定二次型是负定二次型.100010041A例例5,问二次型问二次型AxxfT 是否正定？是否正定？例例6 6 t 取何值时取何值时, 二次型二次型正定正定.yzxztxyzyxf422