微积分课件：9-1 常数项级数的概念与基本性质

1、一、级数的概念一、级数的概念二、基本性质二、基本性质三、收敛的必要条件三、收敛的必要条件四、小结四、小结 第一节第一节 常数项级数的概念常数项级数的概念 与基本性质与基本性质一、级数的概念一、级数的概念1. 1. 级数的定义级数的定义: : nnnuuuuu3211(常数项常数项)无穷级数无穷级数一般项一般项部分和数列部分和数列 niinnuuuus121级数的部分和级数的部分和,11us ,212uus ,3213uuus ,21nnuuus 2. 2. 级数的收敛与发散级数的收敛与发散: :如果如果ns没有极限没有极限, ,则称无穷级数则称无穷级数 1nnu发散发散. .即即 常常数数项项

2、级级数数收收敛敛( (发发散散) )nns lim存存在在( (不不存存在在) )例例 1 1 讨论等比级数讨论等比级数( (几何级数几何级数) ) nnnaqaqaqaaq20 )0( a的收敛性的收敛性. .解解时时如如果果1 q12 nnaqaqaqasqaqan 1,11qaqqan ,1时时当当 q0lim nnqqasnn 1lim,1时时当当 q nnqlim nnslim 收敛收敛 发散发散时时如果如果1 q,1时时当当 q,1时时当当 q nasn 发散发散 aaaa级级数数变变为为不不存存在在nns lim 发散发散 综上综上01,1,nnqaqq a a当当时时 收收敛敛

3、于于1-q1-q当当时时 发发散散例例 2 2 判判别别无无穷穷级级数数 )12()12(1531311nn 的的收收敛敛性性. .解解)12)(12(1 nnun),121121(21 nn)12()12(1531311 nnsn)121121(21)5131(21)311(21 nn)1211(21limlim nsnnn),1211(21 n,21 .21, 和为和为级数收敛级数收敛二、基本性质二、基本性质性性质质 1 1 如如果果级级数数 1nnu收收敛敛, ,则则 1nnku亦亦收收敛敛. .性性质质 2 2 设设两两收收敛敛级级数数 1nnus, , 1nnv, ,则则级级数数 1

4、)(nnnvu收收敛敛, ,其其和和为为 s. .推论推论: : 级数的每一项同乘一个不为零的常数级数的每一项同乘一个不为零的常数, ,敛散性不变敛散性不变. .结论结论: : 收敛级数可以逐项相加与逐项相减收敛级数可以逐项相加与逐项相减. .性性质质 3 3 若若级级数数 1nnu收收敛敛, ,则则 1knnu也也收收敛敛)1( k. .且且其其逆逆亦亦真真. .证明证明 nkkkuuu21nkkknuuu 21,kknss knknnnnss limlimlim 则则.kss 类似地可以证明在级数前面加上有限项不类似地可以证明在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性影响级数的敛散性.证明证明

5、 )()(54321uuuuu,21s .limlimssnnmm 则则,52s ,93s ,nms 推推论论 如如果果加加括括弧弧后后所所成成的的级级数数发发散散, ,则则原原来来级级数数也也发发散散. .注意注意收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛. )11()11(例如例如 1111 收敛收敛 发散发散三、收敛的必要条件三、收敛的必要条件级级数数收收敛敛n nn nlim u0.lim u0. 反反之之未未必必证明证明 1nnus,1 nnnssu则则1limlimlim nnnnnnssuss . 0 即即趋于零趋于零它的一般项它的一般项无限增大时无

6、限增大时当当,nun级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件: :注意注意1.1.如果级数的一般项不趋于零如果级数的一般项不趋于零, ,则级数发散则级数发散; ; 1)1(4332211nnn例如例如 发散发散2.2.必要条件不充分必要条件不充分. .?, 0lim但级数是否收敛但级数是否收敛有有 nnu n131211例如调和级数例如调和级数讨论讨论nnnssnn2121112 ,212 nn.,s其其和和为为假假设设调调和和级级数数收收敛敛)lim(2nnnss 于是于是ss , 0 .级数发散级数发散)(210 n便有便有.这是不可能的这是不可能的 nnnnn nn 1n 1例例3:3:若若

7、(u2007)2008,(u2007)2008,求求 lim ulim u1nnu 如如何何判判别别的的敛敛散散性性111.lim2.lim0lim0,nnnnnnnnnnuuuuu 考考察察若若发发散散若若未未必必收收敛敛, ,用用其其它它方方法法判判别别例例4 判断下列级数的敛散性判断下列级数的敛散性 n 1n 1n 1n 1n nn nn 1n 1n 1n 11010n nn 1n 1n n(1) ,100(1) ,100n1n13(-1)3(-1)(2) (2) 3 3n n(3) sin(3) sin2 21 1(4) 10(a0)(4) 10(a0)a a发散发散 1nn1n)31(31收敛收敛不存在不存在2nsinlimn 发散发散 1a 1a 发散发散收敛收敛四、小结四、小结1 1.