经典力学课件：第3章运动定理（2）功与能

1、第三章第三章牛顿力学的运动定理牛顿力学的运动定理（二）能量（二）能量3.2 3.2 功与能功与能一一功（功（workwork）1.1. 恒力对直线运动着的质点所作的功恒力对直线运动着的质点所作的功mmFFFnabr设质点在力设质点在力F F作用下沿直线运动，从作用下沿直线运动，从a a点到点到b b点，其位移为点，其位移为rr， F F与与rr的夹角为的夹角为 。 n说明说明F F对该质点所作的功对该质点所作的功A A为为cosAFrFr n定义：定义：功功A A是标量。是标量。若若/20A0，F F对质点作正功对质点作正功若若/2/2，A0A0A0，力作正功，导致动能增加，外部输入能量给质点

2、；，力作正功，导致动能增加，外部输入能量给质点；若若A0A0，力作负功，导致动能减少，质点输出能量给外部。，力作负功，导致动能减少，质点输出能量给外部。 动能定理是质点在运动过程中的功能关系，这个概念不能扩动能定理是质点在运动过程中的功能关系，这个概念不能扩大到其它含义，比如摩擦力作功与热能的关系。大到其它含义，比如摩擦力作功与热能的关系。1.1. 质点系的动能与动能定理质点系的动能与动能定理设质点系有设质点系有N N个质点。第个质点。第i i个质点：个质点：外力外力内力内力iFiijjiff力作功力作功0iiexiinikikAAAEE外力内力作功之和外力内力作功之和00iiexiiniii

3、ikikkkiiAAAAEEEEn 上式即为质点系的动能定理n 质点系的动能定理： 作用于质点系的所有外力所作功与所有内力所作功的总和等作用于质点系的所有外力所作功与所有内力所作功的总和等于质点系动能的增量。于质点系动能的增量。n 注意 质点系动量定理是矢量式，而质点系动能定理是标量式质点系动量定理是矢量式，而质点系动能定理是标量式。 质点系动量定理与质点系动能定理是相互独立的。质点系动量定理与质点系动能定理是相互独立的。 内力虽成对出现，但内力功的和不一定为零（因为各质点位内力虽成对出现，但内力功的和不一定为零（因为各质点位移不一定相同）。移不一定相同）。 内力的作用不改变体系的总动量，但一

4、般要改变体系的总动内力的作用不改变体系的总动量，但一般要改变体系的总动能。能。 2.2. 外力作功分析外力作功分析 外力作得总功是各个外力对各个质点作功之和，并非合外力外力作得总功是各个外力对各个质点作功之和，并非合外力作功；作功； 00iiiiPPexiexiexiiexPPiiiAAFdrFdr 当满足当满足 时的特例时的特例iexioFm a0000()iiiciiiiciiPPexiexiiexcPPiiPPiexciexPPiiAFdrFd rrFdrFdr第一项第一项000iiiiiiPPPiexciexccPPPiiFdrFdrFdr 为系统的合外力对质点系质心作的功000000

5、0000000iiciciciiiiciciiiiPPPiexiexiPPPiiiPPiiPPiittiiciicttiiFdrFdrm adrdram dramdtdtam v dtam v第二项第二项 当满足Fiex= mia0时，外力对质点系所作的功等于质点都集中在质心处，合外力对质心所作的功例如例如 重力作功重力作功iexiFm gk 000000()iiiiccrrexiiiirriiiiiiiiiiiiircccrAm gkdrgkm drm rm rgkmrrM gkMMM gkrrM gkdr 3.3. 内力作功之和与参照系无关内力作功之和与参照系无关 考虑质点系中任意两个质点

6、考虑质点系中任意两个质点 m mi i，m mj j 相互作用力（内力）为相互作用力（内力）为 f fij ij，f fji ji 在静止参照系在静止参照系S S下，下，t t时刻，速度为时刻，速度为v vi i，v vj j 在运动参照系在运动参照系SS ，在，在t t时刻，速度分别为时刻，速度分别为 v vi i，v vj j 运动参照系运动参照系SS 相对相对S S的速度为的速度为 v vo o应有应有,iiojjovvvvvv在在SS系，一对内力作的元功系，一对内力作的元功()()()()()()ijijijjiijijijijojioijijijijijioijijjdAdAfvfv

7、dtfvfvdtfvfvdtfvfvdtffv dtAdAfdf n 一对内力作的功与参照系无关一对内力作的功与参照系无关()ijijijijijijijijijijdAdAfdrfdrfv dtfv dtfvfvdt在在S S系，一对内力作的元功为系，一对内力作的元功为结论一对内力作功与参照系的选择无关。推论质点系的全部内力作功之和（总功）与参照系无关计算一对内力所作的功，最佳参照系是选择其中一个质点为参照物，并以该质点为坐标原点。因为因为 f fijij 和和 drdrijij 与参照系无关，所以质点系内的所有内力与参照系无关，所以质点系内的所有内力作的总功与参照系无关。作的总功与参照系无

8、关。体系的所有内力之和为零，但内力作的总功一般并不为零。体系的所有内力之和为零，但内力作的总功一般并不为零。n N N个质点的质点系个质点的质点系内力作的功为内力作的功为000()iijijiijijrrriniinijiijijijijrrriijijijijijijijrrAAfdrdrd rrfdrf drrdrdrij=，）rjrijrijrirjririrjrjrijrijri rjrij rijrijmimimjmjo例如：木块例如：木块m m和斜面和斜面M M系统，所有接触面都光滑，考虑内力作功系统，所有接触面都光滑，考虑内力作功N N 不垂直于不垂直于 v v1 1，A AN

9、N 00NN不垂直于不垂直于 v v2 2，A ANN0012Nv12Ndr即 0inNNAAA3.3 3.3 质点系的机械能定理质点系的机械能定理一一保守力与非保守力保守力与非保守力n保守力的定义（文字描述）：保守力的定义（文字描述）：力对质点所作的功与路径无关，仅与质点的始末位置有关，力对质点所作的功与路径无关，仅与质点的始末位置有关，这种力称为这种力称为保守力保守力；n保守力等价定义（数学描述）：保守力等价定义（数学描述）：对质点沿任意闭合回路作功为零的力叫对质点沿任意闭合回路作功为零的力叫保守力保守力n非保守力非保守力凡所功不仅与始、末位置有关，而且与具体路径有关，或沿凡所功不仅与始、

10、末位置有关，而且与具体路径有关，或沿任一闭合路径一周作功不为零的力称为任一闭合路径一周作功不为零的力称为非保守力非保守力。 ，称为称为耗散力耗散力（如滑动摩擦力（如滑动摩擦力），将），将机械能转化机械能转化为为热能热能。 ，（如，（如爆炸力），将其他形态的爆炸力），将其他形态的能能 （如化学能、电磁能）转化为如化学能、电磁能）转化为机械能。机械能。0Fdr0Fdrn保守系保守系在质点系内所有内力都是保守力，这样的质点系称为在质点系内所有内力都是保守力，这样的质点系称为保守保守（体）系（体）系。 更具普遍的意义更具普遍的意义环流为零的力场是环流为零的力场是 保守场保守场。如静电场力的环流也是零，

11、所如静电场力的环流也是零，所以静电场也是保守场。以静电场也是保守场。环流不为零的矢量场环流不为零的矢量场是是 非保守场非保守场。如磁场。如磁场。保守力的另一判据保守力的另一判据0FyyzzxxFFFFFFFijkyzzxxyn保守力的数学判据：保守力场的旋度恒为零保守力的数学判据：保守力场的旋度恒为零据据 stokes stokes 公式公式数学形式为数学形式为二二质点系的势能质点系的势能例例1 1 重力场重力场 物体物体m m与地球与地球M M合为一个质点系统，重力为保守力合为一个质点系统，重力为保守力（内力）。重力作功为（内力）。重力作功为其中其中( )PEzmgz0( )()conPPA

12、EzEz 或或0( )()conPPAEzEz例例2 2 弹簧弹力弹簧弹力 物体物体m m与地球与地球M M视为合系统，弹力为保守力（内视为合系统，弹力为保守力（内力）。弹力作功为力）。弹力作功为其中其中21()2PExkx0()()conPPAExEx0()()conPPAErEr例例3 3 万有引力万有引力 二质点系统，万有引力是保守力（内力）。二质点系统，万有引力是保守力（内力）。万有引力作功为万有引力作功为其中其中()PM mErGr n势能势能（ PotentialPotential） 定理：对于保守力场，可以定义一个标量函数定理：对于保守力场，可以定义一个标量函数 E EP P(r

13、)(r)，称为势，称为势能（或势函数、位能），使保守力作用质点运动从空间位置能（或势函数、位能），使保守力作用质点运动从空间位置r rA A到到r rB B所作的功为（证明从略）：所作的功为（证明从略）：()()()ABrrPBPAAErEr E EP P(r)(r)是标量形式函数，它仅取决于质点系各质点的相对位置是标量形式函数，它仅取决于质点系各质点的相对位置（位形），所以是位形函数：（位形），所以是位形函数：E EP P（x x，y y，z z）势能是相对性的。为确定质点系在任一给定位置的势能值，势能是相对性的。为确定质点系在任一给定位置的势能值，必须选定某一位置为参考位置（势能零点）。而

14、势能零点可必须选定某一位置为参考位置（势能零点）。而势能零点可根据问题的需要任意选择。根据问题的需要任意选择。零点势能的确定：令零点势能的确定：令 E EP P(r(r0 0) ) 0 0，并以，并以r r0 0为系统的零位形点，为系统的零位形点，最为简单。最为简单。nE EP P(r)(r)的几点说明：的几点说明：E EP P(r)(r)描述了系统具有潜在的作功能力，描述了系统具有潜在的作功能力，E EP P(r)(r)的变化度量了的变化度量了保守力所作的功保守力所作的功保守力作正功，保守力作正功， E EP P(r)(r) E EP P(r(r0 0) 0) 0) 0，使得势能增大，使得势

15、能增大实质上势能是相互作用能，属于有保守力作用的体系（质点实质上势能是相互作用能，属于有保守力作用的体系（质点系，对应一对内力作功之和系，对应一对内力作功之和) )。这也是为什么从保守内力作。这也是为什么从保守内力作功的概念引入功的概念引入E EP P(r)(r)。势能不依赖于参考系的选择（一对内力作功之和与参照系选势能不依赖于参考系的选择（一对内力作功之和与参照系选择无关），不要将势能零点的选择与参考系的选择相混淆。择无关），不要将势能零点的选择与参考系的选择相混淆。nE EP P(r)(r)的几点说明：的几点说明：000( )( )( )( )( )rrconconPPPrrPconPco

16、nAfdrdErErErdErfdrordErfdr 即即( )conPfEr ijkxyz 为哈密顿算子为哈密顿算子,PPPconxconconzEEEfffxyz yn用势能求保守力用势能求保守力例：重力例：重力( )PdmgzkfEzmgkdz 2oGMmGMmfijkrxyzrr 例：引力例：引力例：弹簧弹力例：弹簧弹力212PdfExkxikxidx() 三三势能曲线势能曲线表示势能表示势能E EP P(r)(r)与质点相对位置与质点相对位置r r关系的曲线为关系的曲线为势能曲线势能曲线用势能曲线求系统的平衡位置及判断平衡稳定性用势能曲线求系统的平衡位置及判断平衡稳定性平衡位置平衡位

17、置当物体系的互作用力当物体系的互作用力f f 0 0，系统处于平衡状态，该处的位形，系统处于平衡状态，该处的位形为平衡位形为平衡位形由由 求得对应平衡位置求得对应平衡位置r r0 0()0PErr重力势能重力势能引力势能引力势能引力势能引力势能弹力势能弹力势能双原子分子的势能曲线双原子分子的势能曲线斥力斥力吸引力吸引力平衡点平衡点平衡的稳定性平衡的稳定性0022( )0,0PPrrErErr稳定平衡，满足稳定平衡，满足0022()0,0PPrrErErr不稳定平衡，满足不稳定平衡，满足002200PPrrErErr(),随遇平衡，满足随遇平衡，满足例：双原子分子系统的势能函数满足例：双原子分子

18、系统的势能函数满足Lennard-JonesLennard-Jones势势1260002PrrEVrr137137000000000121212( )PErrVrrf rVrrrrrrrr ( )0PEf rr 令令求得平衡位置求得平衡位置0rr0,0rrf 当当斥力斥力0,0rrf 当当引力引力00148200002220012721370PrrVrrVErrrrr 因为因为所以在所以在r rr r0 0处是稳定平衡状态处是稳定平衡状态四四功能原理与机械能守恒功能原理与机械能守恒0exinKKAAAEE由质点系的动能定理：由质点系的动能定理：其中其中connconAA、分别是保守内力和非保守

19、内力所作的功分别是保守内力和非保守内力所作的功inconnconAAA0conPPAEE而而则有则有0000()()()()exnconKKPPexnconKPKPAAEEEEAAEEEE定义：定义： 为系统的机械能为系统的机械能( )( )( )KPE tEtEtn 功能原理 （work-energy theorem），也称机械能定理质点系统的外力作功和非保守内力作功之和等于系统机械能质点系统的外力作功和非保守内力作功之和等于系统机械能的变化量，即：的变化量，即：A Aex ex + A+ Anconncon = E(t) E(t = E(t) E(t0 0) )若若 A Aex ex +

20、A+ Anconncon 0 0，体系的机械能增加，体系的机械能增加若若 A Aex ex + A+ Anconncon 0 0 0，能量交换（如炸弹爆炸），能量交换（如炸弹爆炸）A Anconncon 0 0 0， E E增加，外界对系统输入能量；增加，外界对系统输入能量；A Aex ex 0M 抛掷体的质量抛掷体的质量 m m，则，则 u u 是个很小的量。是个很小的量。另一方面，也正因为轮船的质量很大，尽管速率的改变另一方面，也正因为轮船的质量很大，尽管速率的改变 u u 很小，很小，而动能的改变却是颇为可观的。而动能的改变却是颇为可观的。2220000111()222M vuMvMv

21、uMuMv un 问题分析问题分析n 问题分析问题分析相对于相对于“静止静止”参考系，物体动能的增长诚然是参考系，物体动能的增长诚然是 16 16 焦耳（向前焦耳（向前掷的情况）或掷的情况）或 0 0 焦耳（向后掷的情况），然而这并不等于所需作焦耳（向后掷的情况），然而这并不等于所需作的功，所需作的功应等于的功，所需作的功应等于“轮船轮船抛掷体抛掷体”系统的动能的增长；系统的动能的增长；必须计及轮船的动能的改变才可以得出正确的结果。必须计及轮船的动能的改变才可以得出正确的结果。 为了计算抛掷物体所需的功，竟需要计及轮船的运动情况的改变，这无疑是很不方便的。 因为轮船质量远远超过物体的质量，因为

22、轮船质量远远超过物体的质量，“轮船轮船抛掷体抛掷体”系统的质心系统的质心实际上也就是轮船的质心，轮船相对于它自己的质心，当然是始终实际上也就是轮船的质心，轮船相对于它自己的质心，当然是始终静止的。静止的。在质心坐标系中，轮船的动量始终是零，无需特别计及轮船动能；在质心坐标系中，轮船的动量始终是零，无需特别计及轮船动能；在质心系中，物体的速率也就是它相对于轮船的速率，不论向前掷在质心系中，物体的速率也就是它相对于轮船的速率，不论向前掷或向后掷，物体的速率都是从或向后掷，物体的速率都是从 0 0 变为变为 4 4米米/ /秒，动能的增长都是秒，动能的增长都是 8 8 焦耳。据动能定理，应对它作功焦

23、耳。据动能定理，应对它作功 8 8 焦耳，与在岸上抛掷物体的情焦耳，与在岸上抛掷物体的情况相同。况相同。 这里可以看到质心坐标系的优越处：无需计算轮船运动的改变就能得出正确的结果。 n 选取选取“轮船轮船抛掷体抛掷体”系统的质心系则比较方便。系统的质心系则比较方便。例：计算第三宇宙速度。从地面出发的火箭如具有第三宇宙速度，例：计算第三宇宙速度。从地面出发的火箭如具有第三宇宙速度，不仅能够脱离地球，而且可以逸出太阳系。不仅能够脱离地球，而且可以逸出太阳系。 【解解】由于由于火箭、太阳系统火箭、太阳系统的机械能守恒，火箭要逸出太阳系，其机的机械能守恒，火箭要逸出太阳系，其机械能械能 E E 至少应

24、等于零。在地球这样的距离上，这个判据成为：至少应等于零。在地球这样的距离上，这个判据成为： 21102MmEmvGR这里这里 R R1 1 为地球与太阳的距离。由上式解得：为地球与太阳的距离。由上式解得： 12/42.2 /vGM R千米 秒说明，在地球这样的距离，物体必须具有说明，在地球这样的距离，物体必须具有42.2 42.2 千米千米/ /秒的速率才可以秒的速率才可以逸出太阳系而飞往其他恒星。但这里没有计及地球的引力，上面的逸出太阳系而飞往其他恒星。但这里没有计及地球的引力，上面的 42.242.2千米千米/ /秒应当是已脱离了地球引力范围时的速率。那么火箭从地面秒应当是已脱离了地球引力

25、范围时的速率。那么火箭从地面出发时相对于地球的速率出发时相对于地球的速率vv 应当多大呢？应当多大呢？ 先选用先选用“静止静止”（相对于太阳为静止）参考系，火箭已脱离了地球（相对于太阳为静止）参考系，火箭已脱离了地球引力范围时的动能应为引力范围时的动能应为 (1/2)(1/2)mvmv2 2，这时火箭，这时火箭地球势能为地球势能为 0 0。为了用最小的速度达到目的，应当沿地球公转方向发射火箭，以最为了用最小的速度达到目的，应当沿地球公转方向发射火箭，以最大限度地利用地球的公转动能。大限度地利用地球的公转动能。考虑到地球公转速率为考虑到地球公转速率为29.829.8千米千米/ /秒秒，火箭以相对

26、速率从地面出发，火箭以相对速率从地面出发时的动能为时的动能为 (1/2)(1/2)m m( (v v+29.8)+29.8)2 2 。因为万有引力是保守力，我们可。因为万有引力是保守力，我们可以运用机械能守恒原理：以运用机械能守恒原理： 22211(29.8)(42.2)22RmgRm vm 其中其中 R R 为地球半径。由此求得：为地球半径。由此求得： 22422112298127. /v 千千米米 秒秒但这结果是完全错误的。 在火箭逸出地球引力范围的过程中，地球相对于在火箭逸出地球引力范围的过程中，地球相对于“静止静止”参考系的参考系的速率也随之而变。由于地球质量很大，这个速率变化很小。速

27、率也随之而变。由于地球质量很大，这个速率变化很小。正因为地球质量很大，尽管速率变化很小，动能的改变却颇为可观。正因为地球质量很大，尽管速率变化很小，动能的改变却颇为可观。必须考虑地球动能的改变才可以得出正确的结果。必须考虑地球动能的改变才可以得出正确的结果。为了计算火箭的速率，竟需要考虑地球运动情况的改变，这是太不为了计算火箭的速率，竟需要考虑地球运动情况的改变，这是太不方便了。方便了。 选取选取“地球地球火箭火箭”系统的质心坐标系系统的质心坐标系则比较方便，因为地球的质则比较方便，因为地球的质量远远超过火箭的质量，量远远超过火箭的质量，“地球地球火箭火箭”系统的质心实际上也就是系统的质心实际

28、上也就是地球的质心。地球相对于它自己的质心，当然是始终静止的。在质地球的质心。地球相对于它自己的质心，当然是始终静止的。在质心坐标系中，地球的动能始终为心坐标系中，地球的动能始终为 0 0，无需特别计及地球的动能。，无需特别计及地球的动能。 在在“地球地球- -火箭系统火箭系统”质心系中质心系中，火箭已脱离了地球引力范围的动，火箭已脱离了地球引力范围的动能应为能应为(1/2)m(42.2(1/2)m(42.229.8)29.8)2 2 ，其时，其时“地球地球火箭火箭”势能为零。势能为零。火箭以相对速率火箭以相对速率 vv从地面出发时的动能为从地面出发时的动能为 (1/2)mv(1/2)mv2

29、2 。因为万有引力是保守力，可以运用机械能守恒原理：因为万有引力是保守力，可以运用机械能守恒原理： 22211(42.229.8)22RmgRmvm 由此求得第三宇宙速度：由此求得第三宇宙速度： 22(42.229.8)11.216.7 /v千米 秒 这样，无需计算地球运动情况的改变，就能求得正确的第三宇宙这样，无需计算地球运动情况的改变，就能求得正确的第三宇宙速度。速度。 n 质点系动力学的困难：质点系动力学的困难：质点系的运动定理可以解决系统总的运动趋向或者某些运动特征。但质质点系的运动定理可以解决系统总的运动趋向或者某些运动特征。但质点间的相互作用（内力）对各质点的运动有影响，并且，这些

30、相互作用点间的相互作用（内力）对各质点的运动有影响，并且，这些相互作用会随质点运动而变，其变动规律很复杂。例如每两个质点间的万有引力会随质点运动而变，其变动规律很复杂。例如每两个质点间的万有引力的指向随质点运动而变。的指向随质点运动而变。原则上，对各质点分隔，可以写出各质点的运动微分方程，并对方程求原则上，对各质点分隔，可以写出各质点的运动微分方程，并对方程求解，从而获得问题的解决。解，从而获得问题的解决。实际上，质点系的质点越多，其微分方程组就越大。如：实际上，质点系的质点越多，其微分方程组就越大。如：1010个质点有个质点有1010个个微分方程，即微分方程，即3030个分量的二阶微分方程组

31、，按消去法，将得到个分量的二阶微分方程组，按消去法，将得到6060阶微分方阶微分方程，阶数达程，阶数达6060阶，计算量太大，必须用大型计算机求数值解。阶，计算量太大，必须用大型计算机求数值解。质点动力学问题的困难在于运动方程的解算，通常也不要求质点系动力质点动力学问题的困难在于运动方程的解算，通常也不要求质点系动力学问题的严格解。学问题的严格解。两体问题两体问题是指两个质点构成的质点系，它们彼此以内力相互是指两个质点构成的质点系，它们彼此以内力相互作用，并不受外力作用作用，并不受外力作用（或者两质点受外力指向相同且力的（或者两质点受外力指向相同且力的大小与各自质点质量成正比），大小与各自质点

32、质量成正比），求解各质点的运动规律问题。求解各质点的运动规律问题。如图取一惯性系，设质量分别为如图取一惯性系，设质量分别为 m m1 1 和和 m m2 2 的两质点，位矢和的两质点，位矢和速度分别为速度分别为 r r1 1、r r2 2 和和 v v1 1、v v2 2 ，质心的质量与位矢分别为质心的质量与位矢分别为 m mc c 和和 r rC C，则有：，则有： 12cmmm 1 12 2c12m rm rrmm 表明质心作匀速直线运动，于是该质心系是惯性系。表明质心作匀速直线运动，于是该质心系是惯性系。设设 m m1 1、 m m2 2 在质心系中的坐标分别为在质心系中的坐标分别为 r

33、 rc1c1、r rc2c2 ，有：，有： 1 12 22111121212ccm rm rmrrrrrrmmmm() cvm rm rmrrrrrrmmmm 1 12 21222121212()220CCd rmdt 孤立体系：孤立体系：n 两质点体系的质心位置两质点体系的质心位置 于是知于是知 r rC1C1 / r / rC2 C2 ，且可得如下结论：，且可得如下结论： 质心在两质点的连线上；质心在两质点的连线上； 质点与质心的距离反比于质点的质量。质点与质心的距离反比于质点的质量。 n 两体问题的动力学方程两体问题的动力学方程 若若m m1 1 m u u2 2 。 两小球碰撞过程动量

34、守恒，两小球碰撞过程动量守恒，有方程有方程 m um um vm v11221122 n 正碰的两个阶段正碰的两个阶段 在碰撞的短暂时间在碰撞的短暂时间t t 内，两小球首先相互接触，接着相互挤压，内，两小球首先相互接触，接着相互挤压，两球分别产生形变和试图恢复形变的力。两球分别产生形变和试图恢复形变的力。 在在 u u1 1 u u2 2 的情况下，的情况下，m m1 1 速度渐小，速度渐小， m m2 2 速度渐大，直至变为同速度渐大，直至变为同一速度，达到最大压缩状态。这个阶段称为一速度，达到最大压缩状态。这个阶段称为压缩阶段压缩阶段。 随后，由于两小球形变逐渐恢复，随后，由于两小球形变

35、逐渐恢复， m m1 1 速度继续减小，速度继续减小， m m2 2 速度继速度继续增大，两小球速度分别达到续增大，两小球速度分别达到 v v1 1 和和 v v2 2 后开始分离。这是后开始分离。这是恢复阶恢复阶段段。 两球速度不等两球速度不等 两球速度相等，弹性力作用，球体变形。设弹性两球速度相等，弹性力作用，球体变形。设弹性力对力对m2 m2 的冲量为的冲量为 I I，有：，有： 消去消去 v v，得：，得： n 压缩阶段分析压缩阶段分析111222 m vm uIm vm uI 121211 ()uuImm 或：或：12 ()Iuu 其中其中 ，为，为约化质量约化质量（折合质量折合质量

36、）1212m mmm n 恢复阶段分析恢复阶段分析消去消去 v v，得：，得： 211211 vvJmm 两球速度相等两球速度相等 两球分开，变形逐逐渐恢复。设弹性力对两球分开，变形逐逐渐恢复。设弹性力对 m m2 2 的的冲量为冲量为 J J，有：，有： 1 11222 m vm vJm vm vJ 或：或：21 ()Jvv 该式可用实验检验，并可用于测定恢复系数该式可用实验检验，并可用于测定恢复系数 e e对不同材料的实验结果为：对不同材料的实验结果为：0 e 10 e m m2 2 时，有：时，有： v v1 1 0 0 ，入射球碰后仍向前运动；入射球碰后仍向前运动；b.b. m m1

37、1 m m2 2 时，有：时，有： v v1 1 0 0 ，入射球碰后反向运动；入射球碰后反向运动；c.c. m m1 1 m m m2 2 时，有：时，有： v v1 1uu1 1， v v2 22 u2 u1 1，大球几乎以原来的速度继，大球几乎以原来的速度继续前进，小球以两倍于大球的速度前进。续前进，小球以两倍于大球的速度前进。 p结果讨论：结果讨论： 22121121122212121211)1 ()1 (ummmemummmevummmeummemmv当当 m m1 1/ m/ m2 2 = 1 = 1 时，该式取到最大值。时，该式取到最大值。这说明，在这说明，在 u u2 2 =

38、0 = 0 ， m m2 2 越接近越接近 m m1 1 时，时，m m1 1 丢失的动能越多。丢失的动能越多。此结论，提供了核反应堆中快中子减速剂选择的原则之一。通常此结论，提供了核反应堆中快中子减速剂选择的原则之一。通常选择重水（含氘）和石墨作为中子减速剂。选择重水（含氘）和石墨作为中子减速剂。 e.e. m m2 2 所得到的动能所得到的动能E Ek2k2与碰前与碰前 m m1 1 的动能的动能 E Ek1k1 之比为：之比为： 2222121222211212111442112/()(/)kkm vEm mmmEmmmmm u n 完全非弹性碰撞分析完全非弹性碰撞分析 在实验室参考系内

39、质心的动能是不参与粒子之间反应的，真正有用在实验室参考系内质心的动能是不参与粒子之间反应的，真正有用的能量，只是高能粒子与靶粒子之间的的能量，只是高能粒子与靶粒子之间的相对动能相对动能-即即资用能资用能p e = 0e = 0，称为，称为完全非弹性碰撞完全非弹性碰撞，两球碰撞后粘在一起。此时，两球碰撞后粘在一起。此时 EEkCkC = 0 = 0 ，动能损失最多，为：，动能损失最多，为： 2121 2()kkckcEEEuu p 速度：速度： 1 12 21212cm um uvvvmm n 完全非弹性碰撞分析完全非弹性碰撞分析 p 速度：速度： 若若 m m1 1= m= m2 2 ，则有：

40、，则有：= m= m1 1/2/2，v vC C = u = u1 1/2/2， E EC C = E = EkCkC ，即，即资用能资用能只只占总能量的一半。若按高能粒子的实际情况，要据相对论力学来计占总能量的一半。若按高能粒子的实际情况，要据相对论力学来计算，资用能的比例远较这个数目小。加速器的能量越高，能量的利算，资用能的比例远较这个数目小。加速器的能量越高，能量的利用率越低，这是很不合算的。所以现代的大加速器多采用对撞机的用率越低，这是很不合算的。所以现代的大加速器多采用对撞机的形式，让相同的高能粒子沿相反方向运动，进行碰撞。这样，实验形式，让相同的高能粒子沿相反方向运动，进行碰撞。这

41、样，实验室系和质心系便统一起来，全部能量都是室系和质心系便统一起来，全部能量都是资用能资用能。 2121 2()kkCkCEEEuu 1 1221212cm um uvvvmm n 一般碰撞分析：一般碰撞分析： 22121121122212121211)1 ()1 (ummmemummmevummmeummemmvp 0 e 10 e 1，实际情况。机械能守恒不满足，一部分能量变为声能实际情况。机械能守恒不满足，一部分能量变为声能，振动能及形变能。，振动能及形变能。 若若 m m1 1 m m2 2，u u2 2 = 0 = 0 时，有：时，有： v v1 1 = =eueu1 1， v v2

42、 2 = 0 = 0 。即弹回的小即弹回的小球球 m m1 1 的速度为碰前速度的的速度为碰前速度的 e e 倍。倍。 据此，得到一个测定物体与地面相碰的恢复系数的简便方法。让物据此，得到一个测定物体与地面相碰的恢复系数的简便方法。让物体从高度体从高度 H H 自由落下，它落到地面的速度为自由落下，它落到地面的速度为12ugH 11|vheuH 即以此速度与地面相碰撞。碰撞后的反跳速度难以直接测量，但可即以此速度与地面相碰撞。碰撞后的反跳速度难以直接测量，但可以观测其上升的最大高度以观测其上升的最大高度 h h。于是恢复系数为：。于是恢复系数为： 2.2. 斜碰斜碰 n 碰撞前两球的速度碰撞前

43、两球的速度 u u1 1, u, u2 2 不在两球中心连线上的碰撞叫不在两球中心连线上的碰撞叫斜碰斜碰n 在一般情况下，斜碰为三维问题，碰撞后的速度在一般情况下，斜碰为三维问题，碰撞后的速度 v v1 1, v, v2 2 不一定在不一定在 u u1 1, u, u2 2 所组成的平面上。所组成的平面上。n 若碰撞前一个小球处在静止状态，即若碰撞前一个小球处在静止状态，即 u u2 2 = 0 = 0，则这种碰撞是二维，则这种碰撞是二维问题。我们只讨论这种情况。问题。我们只讨论这种情况。 2.2. 斜碰斜碰 在完全弹性碰撞中，动量和能量都守恒，有：在完全弹性碰撞中，动量和能量都守恒，有： 111 122