经典力学：习题课1－质点运动学

1、力学力学习题课习题课一、质点运动学一、质点运动学例例1 1 路灯离地面高度为路灯离地面高度为H H，一个身高，一个身高h h的人，在灯下水的人，在灯下水平路面上以匀速步行，步行速度值为平路面上以匀速步行，步行速度值为v v0 0H0h人x解：建坐标如图。任意解：建坐标如图。任意时刻影子长为时刻影子长为l，影子移，影子移动的速度为动的速度为xol求：当人与灯距离为求：当人与灯距离为 x x人人时时,头顶在地面的影子移动的头顶在地面的影子移动的速度速度v。dxvdt影()dxldt人0dxdldlvdtdtdt人H0人xxol由图可得由图可得Hhxll人hxlH h人0dlhvdtHh00hvvv

2、Hh0HvHh则则例例2 2 如图所示，椭圆规的如图所示，椭圆规的ABAB杆上杆上A A、B B两点分别沿两点分别沿oyoy槽、槽、oxox槽移动，且槽移动，且A A点以匀速点以匀速v v0 0运动。试求杆上运动。试求杆上C C点的运动点的运动轨迹，速度和加速度。轨迹，速度和加速度。【解解】(1)(1)求轨迹。设求轨迹。设t t时刻时刻ABAB杆与杆与x x轴的夹角为轴的夹角为 ，则，则C C点坐标为点坐标为在以上两式中消去在以上两式中消去 得得C C点轨迹为椭圆点轨迹为椭圆12122c osc os() c os,sinccxllllyl (1)(1)22221221()ccxylll (2

3、)(2)（2 2）求速度和加速度）求速度和加速度C C点得速度分量为点得速度分量为122()(sin)cosCC xCC ydxdvlldtdtdydvldtdt (3)(3)110,sin,0,cosAAA xA yxyldvvldt (4)(4)按题意按题意 v vA Av v0 0，由，由(4)(4)式得式得代入代入 (3)(3)式得式得C C点的速率点的速率01cosvddtl (5)(5)12120011201() sin()tan,cosC xC yllllvvvlllvvl (6)(6)2222220121() tan CCxCxvvvvllll (7)(7)将将(3)(3)式对

4、时间求导，得式对时间求导，得C C点的加速度点的加速度由于杆的由于杆的A A端作匀速直线运动，端作匀速直线运动，a aA A0 0 或或 a aAyAy0 0，而，而221212222222()cos()sinsincosCxCxCyCydvddalllldtdtdtdvddalldtdtdt (8)(8)22112sincos0AyAydvddalldxdtdt (9)(9)由此得由此得222212tan()0c s,o,CxCydddtdtlldaadt (10)(10)(11)(11)222122120231()()()cos()1cosCCxCylldaaadtllvl (12)(12

5、)对（对（6 6）式可直接求导得到以上结果）式可直接求导得到以上结果题题1.3 1.3 以速度以速度V V和地平面成和地平面成角发射一火箭，角发射一火箭，在驱动力、空气阻力、重力三者作用下使火箭在驱动力、空气阻力、重力三者作用下使火箭作恒定速率的曲线运动。已知驱动力和空气阻作恒定速率的曲线运动。已知驱动力和空气阻力所产生的加速度仅有切向分量。求火箭的运力所产生的加速度仅有切向分量。求火箭的运动轨迹。动轨迹。xogav0v0ydydxds题题1.3图图【解解】设驱动力与阻力所产生的加速度为设驱动力与阻力所产生的加速度为a，火箭的，火箭的加速度为加速度为aag其切向分量和法向分量分别为其切向分量和

6、法向分量分别为sin,cosnaagag 因为火箭的速率恒定，故有因为火箭的速率恒定，故有0dvadt（1）即有即有2sin0,cosnvaagag（2）式中式中是火箭所在处的曲率半径。是火箭所在处的曲率半径。,co s1co sd sd xdd sddd sd xd s d x 代入（代入（2）式得）式得2dgdxv （3）将（将（3）式积分，考虑初始条件，当）式积分，考虑初始条件，当t0时，时，x0， 0。可得。可得02gxv 又因为又因为02tan,tan()dydygxdxdxv （4）对上式两边积分，并考虑当对上式两边积分，并考虑当 x 0时时 y0，可得，可得2002coslnco

7、s()vygxgv 题题1.4 一气球以一气球以v0速率自地面开始上升，由于速率自地面开始上升，由于风的影响，气球的水平速度以风的影响，气球的水平速度以vx=by的规律变的规律变化，其中化，其中b为常量，为常量，y是气球离地面的高度（是气球离地面的高度（x轴取地平面向右的方向）轴取地平面向右的方向） 。试求。试求（1）气球的运动轨迹方程）气球的运动轨迹方程（2）气球沿运动轨迹的切向加速度和曲率半）气球沿运动轨迹的切向加速度和曲率半径与径与y的关系的关系xyo气球气球题题1.4图图【解解】（1）取直角坐标系）取直角坐标系oxy。设。设t0时，气球位时，气球位于地面坐标原点处。于地面坐标原点处。

8、已知已知 vy= v0 , vx = by 即有即有 y = v0t (1) 00 xdxvbybv tdxbv tdtdt则则由由积分可得积分可得202bvxt(2)气球的运动方程气球的运动方程2002bvrt iv tj(3)消去消去t可得轨迹方程可得轨迹方程20y2bxv(4)（2）气球的速率）气球的速率2222222000()xyvvvbv tvb yv加速度加速度(5)22002222201b v tb v ydvadtb tb yv(6)222xyaaa222000 xxydvabvaab vdt,22naaa 切向加速度切向加速度(7)法向加速度法向加速度得到得到20222023

9、2222020()nnbvab yvbvb yvva (8)(9)题题1.5 一细杆绕一细杆绕o端点在平面内以匀角速旋转，端点在平面内以匀角速旋转，角速度为角速度为。在杆上套有一小环（可看作质点）。在杆上套有一小环（可看作质点）相对于杆作匀速运动，速率为相对于杆作匀速运动，速率为u。时间。时间t0时小时小环位于端点环位于端点o处。求小环的运动轨迹及在任意时处。求小环的运动轨迹及在任意时刻小环的速度和加速度。刻小环的速度和加速度。【解解】取平面极坐标系。设取平面极坐标系。设t0时，杆与极轴重合。时，杆与极轴重合。任意任意t时刻时刻urt 消去消去t小环的轨迹是阿基米德螺旋线小环的轨迹是阿基米德螺

10、旋线径向速度径向速度rvru横向速度横向速度22222 2()1rvvvuu tut 速率速率,rutt =vrru t 小环的加速度小环的加速度200()(2)dvarrrrrdt 2000,02rarrr 222 24raaaut 径向加速度径向加速度横向加速度横向加速度加速度加速度220,0rartru 22aru 题题1.5图图题题1.6 一条笔直的河流，宽为一条笔直的河流，宽为d，河水以恒定，河水以恒定速度速度u流动。小船从河岸流动。小船从河岸A点出发，为了到达对点出发，为了到达对岸的岸的O点，它相对于河水以匀速率点，它相对于河水以匀速率v（vu）运）运动，无论在何处，小船的运动方向

11、始终指向动，无论在何处，小船的运动方向始终指向O点。已知点。已知AO= r0，AOP=0。求小船的运动。求小船的运动轨迹。若轨迹。若O点刚好在点刚好在A点的正对面（即点的正对面（即AO=d）结果又如何？结果又如何？题题1.6图图 【解解】取平面极坐标系。极点与取平面极坐标系。极点与O重合，极轴与河岸重合，极轴与河岸OP重合。小船的位置由重合。小船的位置由r、确定。确定。径向速度与横向速度分别为径向速度与横向速度分别为rcos ,sindrdvvuvrudtdt 两式相除得两式相除得sincosdrdudtrdrdrvudt 分离变量分离变量0000000()sinln(ln tanln tan

12、)(lnsinltansin2lnsintansin)n222rvrudrvctgdrurvru 积分积分cos()sinsindrvuvdctgdruu 小船的运动轨迹方程小船的运动轨迹方程000tansin2sintan2vurr 若若O点在点在A点正对面，则点正对面，则r0d，0/2。则有。则有0tansin2vudrr 题题1.7 1.7 质点在有心力的作用之下运动，此力的质点在有心力的作用之下运动，此力的量值为质点到力心距离量值为质点到力心距离r r的函数，而质点的速率的函数，而质点的速率与此距离成反比，即与此距离成反比，即 v v = = a a/ /r r。如果如果 ，求质点的轨迹方程。求质点的轨迹方程。假设当假设当 r r = = r r0 0时，时，= =0 0= 0= 0。222a h (h= r) 解题思路解题思路：要求质点的轨迹方程，即求：要求质点的轨迹方程，即求 r r 关于关于 的函数，的函数，利用速率的平方等于径向速度和横向速度的平方之和，利用速率的平方等于径向速度和横向速度的平方之和，求得关于求得关于 的一阶微