高等数学：10-7 斯托克斯-stokes公式

1、1第七节第七节 斯托克斯斯托克斯(stokes)公式公式 环流环流量与量与旋度旋度斯托克斯公式斯托克斯公式物理意义物理意义-环流量与旋度环流量与旋度小结小结 思考题思考题 作业作业circulationcurl 斯托克斯斯托克斯 Stokes,G.G. (18191903) 英英国数学家、物理学家国数学家、物理学家第十章第十章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分2 本节介绍空间曲面积分与曲线积分本节介绍空间曲面积分与曲线积分并同时介绍向量场的两个重要概念并同时介绍向量场的两个重要概念斯托克斯公式斯托克斯公式. .环量与旋度环量与旋度. .之间的关系之间的关系斯托克斯斯托克斯(Stokes)公

2、式公式 环流量与旋度环流量与旋度3一、斯托克斯一、斯托克斯(Stokes)公式公式斯托克斯公式斯托克斯公式定理定理 设设 的正向与的正向与的的侧侧符符合合右右手手规规则则，),(),(zyxQzyxP函函数数在在内内的的一一个个空空间间区区域域内内在在包包含含曲曲面面 ),(zyxR zRyQxPdddyxyPxQxzxRzPzyzQyRdd)(dd)(dd)( 为分段光滑的空间有向为分段光滑的空间有向闭闭曲线曲线,是以是以为边界的分片光滑的为边界的分片光滑的有向曲面有向曲面,具有一阶连续偏导数具有一阶连续偏导数,则有公式则有公式斯托克斯斯托克斯(Stokes)公式公式 环流量与旋度环流量与旋

3、度 4 即有即有SyPxQxRzPzQyRdcoscoscos 其中其中 cos,cos,cos zRyQxPddd方向余弦方向余弦.是是指定一侧的法向量指定一侧的法向量 zRyQxPdddyxyPxQxzxRzPzyzQyRdd)(dd)(dd)( 斯托克斯斯托克斯(Stokes)公式公式 环流量与旋度环流量与旋度5的正向与的正向与的侧符合右手规则的侧符合右手规则: 当右手除拇指外的四指依当右手除拇指外的四指依 的绕行方向时的绕行方向时, 是有向曲面是有向曲面 的的正向边界曲线正向边界曲线 右手法则右手法则拇指所指的方向与拇指所指的方向与上法向量的指向相同上法向量的指向相同.是有向曲面是有向

4、曲面的正向边界曲线的正向边界曲线.称称斯托克斯斯托克斯(Stokes)公式公式 环流量与旋度环流量与旋度 n 6斯托克斯斯托克斯(Stokes)公式公式 环流量与旋度环流量与旋度(3) 在坐标面上在坐标面上,应用格林公式把应用格林公式把(2)得到的平面闭得到的平面闭曲线积分化为二重积分曲线积分化为二重积分.因此因此斯托克斯公式是格林斯托克斯公式是格林注注证明思路证明思路(1) 把曲面积分化为坐标面上投影域的二重积分把曲面积分化为坐标面上投影域的二重积分;(2) 把空间闭曲线把空间闭曲线上的曲线积分化为坐标面上上的曲线积分化为坐标面上的闭曲线积分的闭曲线积分;分三步分三步当当为为 xOy 坐标面

5、上的平面区域时坐标面上的平面区域时, 斯托克斯托克斯公式就是格林公式斯公式就是格林公式,公式在曲面上的推广公式在曲面上的推广.yxyPxQxzxRzPzyzQyRdd)(dd)(dd)( zRyQxPddd7 RQPzyxyxxzzyddddddSRQPzyxdcoscoscos 另一种形式另一种形式)cos,cos,(cos n其中其中便于记忆形式便于记忆形式 zRyQxPddd zRyQxPddd zRyQxPddd斯托克斯斯托克斯(Stokes)公式公式 环流量与旋度环流量与旋度()d d()d d()d dRQPRQPy zz xx yyzzxxy8Stokes公式的实质公式的实质 表

6、达了有向曲面上的曲面积分与其表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系边界曲线上的曲线积分之间的关系.斯托克斯斯托克斯(Stokes)公式公式 环流量与旋度环流量与旋度9解解zyyxxzddd yxzzyxyxxzzydddddd法一法一 按按斯托克斯公式斯托克斯公式, ,计算曲线积分计算曲线积分例例 ,dddzyyxxz1 zyx是平面是平面 其中其中被三坐标面所截成的被三坐标面所截成的三角形的整个边界三角形的整个边界,它的正向与这个三角形上侧它的正向与这个三角形上侧的法向量之间符合右手规则的法向量之间符合右手规则.有有 yxxzzydddddd斯托克斯斯托克斯(Stoke

7、s)公式公式 环流量与旋度环流量与旋度xyzOnxyD11110 xyO111 yx yxxzzydddddd yxdd3.23 .弦弦都都为为正正的的法法向向量量的的三三个个方方向向余余 ).1 , 1 , 1( n213 zyyxxzddd xyD cos )31cos cos yxxzzydddddd的法向量的法向量 (对称性对称性1: zyx平面平面 xyD斯托克斯斯托克斯(Stokes)公式公式 环流量与旋度环流量与旋度11按按斯托克斯公式斯托克斯公式, , zyyxxzddd SRQPzyxdcoscoscos Syxzzyxd313131 Syxzzyxd11131 Sd)111

8、(31 法二法二1: zyx yxSdd3d xyDyxdd323 有有斯托克斯斯托克斯(Stokes)公式公式 环流量与旋度环流量与旋度xyO111 yxxyD12zxOy解解则则)1 , 1 , 1(31 n计算曲线积分计算曲线积分例例 zyxyxzxzyd)(d)(d)(22222223 zyx是平面是平面 其中其中截立方体截立方体:, 10 x, 10 y10 z的表面所得的截痕的表面所得的截痕,若从若从Ox轴的正向看去轴的正向看去, 取逆时针方向取逆时针方向.取取为平面为平面23 zyx的上侧被的上侧被所围成的部分所围成的部分.)1 , 0 , 0()0 , 0 , 1()0 , 1

9、 , 0( Oxy11212123 yx21 yxxyD在在xOy面上的投影为面上的投影为.xyD斯托克斯斯托克斯(Stokes)公式公式 环流量与旋度环流量与旋度1311即即31coscoscos SyxxzzyzyxId313131222222 Szyxd)(34 Sd2334 xyDyxdd332.29 )23( zyx上上在在 yxSdd3d Oxy212123 yx21 yxxyD斯托克斯斯托克斯(Stokes)公式公式 环流量与旋度环流量与旋度14kzyxRjzyxQizyxPzyxA),(),(),(),( 1. .环流量的定义环流量的定义上上的的曲曲线线积积分分中中某某一一封封

10、闭闭的的有有向向曲曲线线则则沿沿场场 A zRyQxPsdAdddcirculationcurl环流量环流量. .二、物理意义二、物理意义-环流环流量与量与旋度旋度设向量场设向量场斯托克斯斯托克斯(Stokes)公式公式 环流量与旋度环流量与旋度A称为向量场 沿曲线按所取方向的15 sAd利用利用Stokes公式公式, , zRyQxPddd RQPzyxyxxzzydddddd)d,d,d(d),(zyxsRQPA yPxQxRzPzQyRRQPzyxkji,环流量环流量SRQPzyxkjid 斯托克斯斯托克斯(Stokes)公式公式 环流量与旋度环流量与旋度dS(d d ,d d ,d d

11、 )y zz xx y16.)()()(kyPxQjxRzPizQyR RQPzyxkjiA rot旋度旋度2. 旋度的定义旋度的定义).rot(ARQPzyxkji为向量场的旋度为向量场的旋度称向量称向量 斯托克斯斯托克斯(Stokes)公式公式 环流量与旋度环流量与旋度17.处处的的旋旋度度RQPzyxkjiA rot旋度旋度42322yzyzxxzzyxkji kxyzjxziyxz43)22(224 ),1 , 2, 1( P在在点点解解例例)1 , 2, 1(22423 PkyzjyzxixzA在在求求向向量量场场斯托克斯斯托克斯(Stokes)公式公式 环流量与旋度环流量与旋度ro

12、t( 2,3,8).A 18斯托克斯公式的又一种形式斯托克斯公式的又一种形式其中其中的单位法向量为的单位法向量为 的的单单位位切切向向量量为为 SyPxQxRzPzQyRdcos)(cos)(cos)( sRQPd)coscoscos(kjin coscoscos kjit coscoscos 斯托克斯斯托克斯(Stokes)公式公式 环流量与旋度环流量与旋度19斯托克斯公式的向量形式斯托克斯公式的向量形式 stASnAddrot sASAtndd)rot(或或其中其中 cos)(cos)(cos)(rot)rot(yPxQxRzPzQyRnAAn 斯托克斯斯托克斯(Stokes)公式公式 环

13、流量与旋度环流量与旋度coscoscostAA tPQR20Stokes公式公式的物理解释的物理解释 sAtd的的环环流流量量等等于于沿沿有有向向闭闭曲曲线线向向量量场场 A.所张的曲面的通量所张的曲面的通量的旋度场通过的旋度场通过向量场向量场 A环流量环流量 SdrotA斯托克斯斯托克斯(Stokes)公式公式 环流量与旋度环流量与旋度()的正向与 的侧符合右手法则旋度为零向量的向量场称为无旋场旋度为零向量的向量场称为无旋场或有势场或保守场或有势场或保守场.无源且无旋的场称为调和场无源且无旋的场称为调和场. .21斯托克斯斯托克斯Stokes公式公式斯托克斯公式的物理意义斯托克斯公式的物理意

14、义环流量环流量与与旋度旋度斯托克斯斯托克斯(stokes)公式公式 环流量与旋度环流量与旋度三、小结三、小结Stokes公式的实质公式的实质 表达了有向曲面上的曲面积分与其表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系边界曲线上的曲线积分之间的关系.(注意使用的条件注意使用的条件)22 计算计算 其中其中,drot0SnA ),3 ,2(2zxyA 9222 zyx是球面是球面 (1) 用对面积的曲面积分用对面积的曲面积分;(2) 用对坐标的曲面积分用对坐标的曲面积分;(3) 用高斯公式用高斯公式;(4) 用斯托克斯公式用斯托克斯公式.斯托克斯斯托克斯(Stokes)公式公式 环

15、流量与旋度环流量与旋度的上半部上侧的上半部上侧, 是它的边界是它的边界.思考题思考题23 解答解答 232rotzxyzyxkjiA 22222211,1,1yxyxyyxxzzzzzzzz(1) 原式原式=Szzyxd1122 yxzzzzyxDyxxydd1112222 xyDyxdd.9 SnAdrot0 ),3 ,2(2zxyA )1 , 0 , 0(斯托克斯斯托克斯(Stokes)公式公式 环流量与旋度环流量与旋度0(cos,cos,cos )n24(2)原式原式= yxdd 9dd xyDyx(3) 补平面补平面原式原式=.9)dd( xyDyx Sdcos12212211cos:,11cos:yxyxzzzz10dd dvx y 1dd yx斯托克斯斯托克斯(stokes)公式公式 环流量与旋度环流量与旋度SnAdrot0 ),3 ,2(2zxyA 方向朝下方向朝下,与与构成构成封闭曲面封闭曲面.0:1 z Sdcos1特别注意两类曲面积分的区特别注意两类曲面积分的区别别25将将写成参数方程写成参数方程:0,sin3,cos3 zyx 原式原式= zzyxxydd3d22原式原式=