经典力学：习题课6－力矩与角动量

1、力学力学习题课习题课六、力矩与角动量六、力矩与角动量例6.1 在半角为的圆锥面内壁距顶角H的高处，有一个小球以初速度V0沿内壁水平方向射出。设锥面内壁光滑。（1）为使小球在高H处的水平面上作匀速圆周运动，V0？；（2）若V1=2V0，求小球在运动过程中的最大高度和最小高度。v0hmgN【解解】（1 1）小球受力：重力）小球受力：重力mgmg，约束反力，约束反力N N。小球的运动方程小球的运动方程sin1Nmg （ ）20ghtgtgv 2200cos2vvNmmhtgr （ ） 0vgh （1 1）（2 2）式得）式得(2) (2) 当初速度当初速度v v1 12v2v0 0时，平衡不成立。小

2、球作螺旋运动。时，平衡不成立。小球作螺旋运动。设上升到最大高度设上升到最大高度x x，其速度为，其速度为v v2 2。因系统机械能守恒。因系统机械能守恒。222111()22mvmg hxmvmgh（3 3）对于圆锥轴线，系统力矩为零，角动量为恒量。应有对于圆锥轴线，系统力矩为零，角动量为恒量。应有12()htg mvhx tg mv （4 4）21022hhvvvhxhhghhxx整理（整理（4 4）式可得）式可得（5 5）舍去不合理的负值。舍去不合理的负值。3xh代入（代入（3 3）式得到）式得到2230 xxh解得：解得：10 x2 33xh，例6.2 从地球表面沿着与竖直方向成角的方向

3、发射一物体，其初速度为忽略空气阻力和地球自转的影响，求该物体能上升的最大高度。0/eevGMR6060o ov vo or r o o o o【解解】 抛体在运动过程中所受力不能视为恒力。系统机械能守抛体在运动过程中所受力不能视为恒力。系统机械能守恒。取抛体在无穷远处的势能为零，则有恒。取抛体在无穷远处的势能为零，则有02221122eeeM mM mmvGmrGRr (1)(1)在最高点在最高点0r ，即有，即有0222 201122eeeM mM mEmvGEm rrGRr (1)(1)代入代入0/eevGMR，得到，得到22122eeeMMGrGRr (2)(2)抛体在在有心力场中运动，

4、对地球中心角动量守恒，即抛体在在有心力场中运动，对地球中心角动量守恒，即20sin 60eR mvmr (3)(3)可得可得212eeGM Rr 或或22eeGM Rr (4)(4)代入代入(2)(2)式式2221222eeeeeMGM RMGrGRrr(5)(5)经整理得到经整理得到24830eerR rR解得解得(6)(6)1231 , ()22eerRrR舍去最大高度最大高度11 2eehrRR例6.3 一质量为MA、半径为A的圆筒A，被另一质量为MB、半径为B的圆筒B同轴套在其外，均可自由转动。在圆筒A的内表面上散布了薄薄的一层质量为MO的沙子，并在壁上开了许多小孔。在T0时，圆筒A以

5、角速度0绕轴匀速转动，而圆筒B静止。打开小孔，沙子向外飞出并附着于B筒的内壁上。设单位时间内喷出的沙子质量为K，若忽略沙子从A筒飞到B筒的时间，求T时刻两筒旋转的角速度。【解解】将圆筒将圆筒A A、沙子看作一个系统。由于对于转轴的外力矩、沙子看作一个系统。由于对于转轴的外力矩为零，对于轴的角动量不变。为零，对于轴的角动量不变。 20aaJ tMMkt a 在在t t时，角动量时，角动量 在在t+dtt+dt时，角动量时，角动量220aaaaJ tdtMMktkdt adkdta 2202220aaaaaaaMMkt akdtaMMkt a dka dtdkdta 2202220aaaaaaaM

6、Mkt akdtaMMkt a dka dtdkdta 2200aaaaMMkt aMMkt a d 对于轴的角动量不变，则有对于轴的角动量不变，则有 J tJ tdt对照上两式则有对照上两式则有0ad 这说明这说明A A筒的角速度不变筒的角速度不变0a 将内筒将内筒B B与附着的沙（包括即将附着的沙）视为一个系统，与附着的沙（包括即将附着的沙）视为一个系统，对对于转轴的外力矩为零，对于轴的角动量守恒。于转轴的外力矩为零，对于轴的角动量守恒。在在t t时，角动量：时，角动量： 220bbJ tktMbkdta 在在t+dtt+dt时，角动量：时，角动量：22222bbbbbbbbbJ tdtk

7、tkdtMbdktMbkdtbktMb dkdtb d 对于轴的角动量不变，则有对于轴的角动量不变，则有 J tJ tdt即得即得2220bbbkdtakdtbktMb d 或或2220bbbabkdtktMb d 2220bbbkdtb dktMab 两边积分，并代入初始条件：两边积分，并代入初始条件：0,0bt 可得：可得：202bbaktbktM 例6.4 两个质量均为M的质点，用一根长为2L的轻杆相连。两质点以角速度绕轴转动，轴线通过杆的中点O与杆的夹角为。试求以O为参考点的质点组的角动量和所受的外力矩。xOyLLJv1v211121,=rvvvvrL，【解解】以以O O为参考点，两小

8、球的位矢分别是：为参考点，两小球的位矢分别是：r r1 1，r r2 2。系统的角动量为：系统的角动量为：1122112Jrm vrm vrm v222sinJJm L vm L 注意：注意：J J 不是常矢量，其大小不变，但方向变化，绕竖直轴以不是常矢量，其大小不变，但方向变化，绕竖直轴以恒定角速度恒定角速度旋转。旋转。据角动量定理据角动量定理odJdMJJdtdtoJ是是J J的单位矢量的单位矢量=oodJJd t =oooddMJJJJJJJdtdt 22cos2sincosMMJmL 注意：注意：M M不是常矢量，其大小不变，但方向变化，绕竖直轴以不是常矢量，其大小不变，但方向变化，绕

9、竖直轴以恒定角速度恒定角速度旋转。旋转。例6.5 小滑块A位于光滑的水平桌面上，小滑块B位于桌面上的小槽中，两滑块的质量均为M，并用长为L、不可伸长、无弹性的轻绳相连。开始时，A、B之间的距离为L/2， A、B间的连线与小槽垂直。突然给滑块A一个冲击，使其获得平行与槽的速度V0，求滑块B开始运动时的速度vABLL/2vAvB【解解】设绳拉紧时，设绳拉紧时，A A，B B的速度分别为的速度分别为V VA A，V VB B。此时，。此时，A A相对于相对于B B作以作以B B为圆心的圆周运动。其相对速度为为圆心的圆周运动。其相对速度为vv，方向与绳垂直。，方向与绳垂直。A A的速度的速度ABvvv

10、分量式为分量式为sinAxxvvv cosAyyBBvvvvv 上几式上几式联立，并代入联立，并代入60 滑块在运动过程中，在滑块在运动过程中，在y y方向系统不受力，方向系统不受力，y y方向动量为恒量方向动量为恒量。即。即0AyBmvmvmv滑块滑块A A相对于相对于B B（此时（此时B B尚未运动），角动量守恒。即尚未运动），角动量守恒。即0sincos2AxAyLmvmvLmvL 得到得到037Bvv例6.6 质量为M的质点A在光滑的水平桌面上运动。该质点上系有一轻绳，绳穿过桌面上开有的一小孔O，另一端挂着一相同质量的物体B。若质点A在桌面上离O点为A之处，沿垂直于OA的方向以速度 射

11、出，求质点A在以后的运动中离O点的最大和最小距离。1292ga骣桫【解解】采用极坐标系，则质点采用极坐标系，则质点A A、B B的运动微分方程分别为的运动微分方程分别为2()(1)m rrT 联立（联立（1 1），（），（2 2）得）得22(3)rrg 又由题所给条件，知又由题所给条件，知129()2hr raga 故故9(5)2haga (2)Tmgmr 32(6)hrgr利用（利用（3 3）, ,（4 4）式中）式中 消去消去 ，得到，得到 2221(7)2hrgrcr 积分得到积分得到2(4)mrmh A A点对点对O O点的角动量守恒点的角动量守恒代入（代入（7 7）式，得）式，得22

12、1,0,2hra rcgar 22222222223322222332211221(22)21392(8)222hhrgrgaarh rh agarga rargaararar 令令 0r =&，得，得 32313920(9 )22rara 即即 3()(3)(2)0(10)2rarara 由此得由此得 1233,3,4rarara 最后一解不合解，舍去最后一解不合解，舍去 。 例6.7 一根长为L的轻质刚性杆，其两端连着两个质量为M的质点，将此杆放在光滑的桌面上，用一个质量为M，速度为V0的质点与杆的一端相碰。已知V0的方向与杆的夹角为45O，并设为弹性碰撞。碰后，质点沿原直线返回。

13、求碰后杆的运动。mmmcv0L45o【解解】设碰撞时间为设碰撞时间为tt，碰撞时平均作用力为，碰撞时平均作用力为F F，碰后小球返回，碰后小球返回的速度为的速度为V V，杆作平面平行运动，其质心，杆作平面平行运动，其质心C C点的速度为点的速度为V Vc c，杆的，杆的角速度为角速度为 。对小球，由动量定理，有对小球，由动量定理，有00()() (1)F tmvmvm vv 对杆系统，有对杆系统，有2 (2)cFtmv 对于杆系统，相对质心对于杆系统，相对质心C C，由角动量定理，有，由角动量定理，有2sin 45222LLFtm 即有即有2 (3)FtmL 代入代入(1)(1)式得式得0=2

14、 (4)vvL 代入代入(2)(2)式得式得2=2 (5)cvL 22222011 222cLmvmvmvm 球、杆合系统机械能守恒，有球、杆合系统机械能守恒，有即即2222201+ 2+ (6)2cvvvL 联立解得联立解得0427vL 代入代入(5)式，得式，得047cvv而而00127cvvvv =小球失去的动能为小球失去的动能为E Ek k02220004841148 1()224299kkkkEEEmvmvmvE例6.8 半径为R、质量为M的水平匀质圆盘可绕通过其中心的铅直轴无摩擦地转动。（1）若圆盘绕该轴以的角速度转动，求该圆盘对该轴的角动量。（2）质量为m的甲虫按 （a为常量）的

15、规律沿圆盘边沿爬行，开始时两者都静止，求甲虫爬行后圆盘的角速度。（3）质量为m的甲虫从边缘上一点突然以对圆盘恒定的角速度作半径为R/2的圆周运动，开始时两者都静止。求甲虫突然爬行后圆盘的角速度。212sat【解解】（1 1）取）取 rr+dr rr+dr 的圆环为质元，对通过圆心的垂直轴的角的圆环为质元，对通过圆心的垂直轴的角动量为动量为32222MMdJrdr rrr drRR （2 2）设）设 是圆盘的角速度，规定与甲虫爬行方向相反的转动角是圆盘的角速度，规定与甲虫爬行方向相反的转动角速度为正。由角动量守恒，因开始甲虫、圆盘静止，系统总角速度为正。由角动量守恒，因开始甲虫、圆盘静止，系统总角动量为零动量为零3202122RMJdJr drRMR2102dsMRmRRdt 即有即有2212MRmRmatR 22matMm R （3 3）当甲虫相对于圆盘转过）当甲虫相对于圆盘转过 角时，设此时圆盘的角速度为角时，设此时圆盘的角速度为 （其正号规定与上相同），（其正号规定与上相同），211111coscoscos2222Jm RmRR 甲虫的相对速度甲虫的相对速度12vR ( (方向垂直于方向垂直于OA)OA)系统牵连速度系统牵连速度1cos2evR ( (方向垂直于方向垂直于OA)OA)甲虫的速度甲虫的速度evvv即有即