弹性力学-02平面问题的基本理论（习题）

1、（习题讲解）（习题讲解）习题习题2-1 设有任意形状的等厚度薄板，体力可设有任意形状的等厚度薄板，体力可以不计，在全部边界上（包括孔口边以不计，在全部边界上（包括孔口边界上）受有均匀压力界上）受有均匀压力 q 。试证：。试证：qyxyxxyxxyo及及0 xy能满足平衡微分方程、相容方程和边能满足平衡微分方程、相容方程和边界条件，同时也满足位移单值条件，界条件，同时也满足位移单值条件，因而就是正确的解答。因而就是正确的解答。解：解：本问题属平面应力问题本问题属平面应力问题q（1）校核是否满足校核是否满足平衡微分方程平衡微分方程0)0()(yxqyxyxy0)()0(yqx 平衡微分方程满足平衡

2、微分方程满足（2）校核是否满足校核是否满足相容方程相容方程)(2222yxyx0)()(2222qqyx 相容方程满足相容方程满足（3）校核是否满足边界条件）校核是否满足边界条件Nxyoq（3）校核是否满足边界条件）校核是否满足边界条件边界条件边界条件取任意微段边界，其外法线方向余弦：取任意微段边界，其外法线方向余弦：coslsinmcosqXqlsinqYqm将应力分量：将应力分量：qyx及及0 xy代入边界条件公式：代入边界条件公式：sxysxmlsysxyml 0mqlqlX qml0qmY 边界条件满足边界条件满足（4）满足位移条件）满足位移条件结论：结论：qyx及及0 xy为该弹性体

3、的正确解。为该弹性体的正确解。习题习题2-2h1Pxyl矩形截面悬臂梁，受力如图，体力不计。试根据材料力学矩形截面悬臂梁，受力如图，体力不计。试根据材料力学公式写出弯曲应力公式写出弯曲应力 和剪应力和剪应力 的表达式，并取挤压应的表达式，并取挤压应力力 ，然后证明，这些表达式满足平衡微分方程和，然后证明，这些表达式满足平衡微分方程和相容方程。这些表达式是否就表示正确的解答？相容方程。这些表达式是否就表示正确的解答？xxy0y解：解：由材料力学理论求出：由材料力学理论求出：xyIPxx)12(3hI 2242yhIPIbQSxy0y(1)将式将式 (1)代入平衡微分方程：代入平衡微分方程：yxx

4、yxyxyxy0yIPyIP000 满足平衡微分方程满足平衡微分方程将式将式 (1)代入相容方程：代入相容方程：)(2222yxyx0)(2222IPxyyx 相容方程满足相容方程满足习题习题2-2h1Pxylx解：解：由材料力学理论求出：由材料力学理论求出：yIPxx)12(3hI 2242yhIPIbQSxy0y(1)上、下边界条件：上、下边界条件：, 02hyy02hyxy 显然满足显然满足左侧边界条件：左侧边界条件：220hhxxdy0022hhdy220hhxxydy2222)4(2hhdyyhIP123hIPP220hhxxydy0022hhydy 显然满足显然满足矩形截面悬臂梁，

5、受力如图，体力不计。试根据材料力学矩形截面悬臂梁，受力如图，体力不计。试根据材料力学公式写出弯曲应力公式写出弯曲应力 和剪应力和剪应力 的表达式，并取挤压应的表达式，并取挤压应力力 ，然后证明，这些表达式满足平衡微分方程和，然后证明，这些表达式满足平衡微分方程和相容方程。这些表达式是否就表示正确的解答？相容方程。这些表达式是否就表示正确的解答？xxy0y习题习题2-2解：解：由材料力学理论求出：由材料力学理论求出：yIPxx)12(3hI 2242yhIPIbQSxy0y(1)右侧边界条件：右侧边界条件：22hhlxxdydyyIPlhh22022hhlxxydydyyIPlhh222Pl22

6、hhlxxydy2222)4(2hhdyyhIP123hIPP 显然满足显然满足h1PxylxPM=Pl矩形截面悬臂梁，受力如图，体力不计。试根据材料力学矩形截面悬臂梁，受力如图，体力不计。试根据材料力学公式写出弯曲应力公式写出弯曲应力 和剪应力和剪应力 的表达式，并取挤压应的表达式，并取挤压应力力 ，然后证明，这些表达式满足平衡微分方程和，然后证明，这些表达式满足平衡微分方程和相容方程。这些表达式是否就表示正确的解答？相容方程。这些表达式是否就表示正确的解答？xxy0y习题习题2-3 试证明，如果体力虽然不是常量，但却是有势力，即：试证明，如果体力虽然不是常量，但却是有势力，即：yVYxVX

7、,yxVxVyxyyx22222,),(yx其中其中V是势函数，则应力分量亦可用应力函数是势函数，则应力分量亦可用应力函数 表示成为：表示成为：试导出相应的相容方程。试导出相应的相容方程。证明：证明：当式（当式（1）成立时）成立时 ，有：，有： 0 xVyxxyx0yVyxyxy（1） （2） 将式（将式（2）代入）代入 ，有：，有： 02323xVyxxVyx02323yVyVyxyx式（式（2）满足平衡微分方程）满足平衡微分方程 表明应力分量可用式（表明应力分量可用式（2）表示。）表示。)(2222yxyx习题习题2-3 试证明，如果体力虽然不是常量，但却是有势力，即：试证明，如果体力虽然

8、不是常量，但却是有势力，即：yVYxVX,yxVxVyxyyx22222,),(yx其中其中V是势函数，则应力分量亦可用应力函数是势函数，则应力分量亦可用应力函数 表示成为：表示成为：试导出相应的相容方程。试导出相应的相容方程。（1） （2） 将式（将式（2）代入应力表示的相容方程：）代入应力表示的相容方程：222244224xVxVxyx222242244yVyxyVy2222442244422yVxVyyxxV242yYxX)1 (2222)1 (yVxVV2)1 ()(2222yxyx222244224xVxVxyx222242244yVyxyVy2222442244422yVxVyyx

9、xV242yYxXyxyx)1 ()(2222代入相容方程：代入相容方程：有：有：V242V2)1 (V24)1 (V24)1 ( 平面应力情形平面应力情形对平面应变情形，将对平面应变情形，将 V24)11 (V2)121(1习题习题2-4 试证明：在发生最大与最小剪应力的面上，正应力的数值都等试证明：在发生最大与最小剪应力的面上，正应力的数值都等于两主应力的平均值。于两主应力的平均值。证：证：以主应力方向截取应力单元体，如图所示。以主应力方向截取应力单元体，如图所示。Oxy1122N任意斜截面的方向余弦：任意斜截面的方向余弦：sin,cosml任意斜截面上的剪应力：任意斜截面上的剪应力：)(

10、12 lmN)()21(411222l当当22l时：时：221minmaxN当当22l时，时，22m代入：代入：2212mlN22222212212N补充题补充题2-1 图示楔形体，试写出其边界条件。图示楔形体，试写出其边界条件。y1tanyx 左侧面左侧面：)tan(yx sin,cosml0, 0YX0sincostantanyxxyyxx0sincostantanyxyyxxy右侧面右侧面：0 xxy100 xxy补充题补充题2-2PxylPM=Pl试用圣维南原理写出梁固定端的试用圣维南原理写出梁固定端的应力边界条件。应力边界条件。022Ndyhhlxx220hhxxydyQ22hhlx

11、xydyM梁固定端的内力（由梁的整体平衡）：梁固定端的内力（由梁的整体平衡）：PQPlM 0N梁固定端的梁固定端的应力边界条件应力边界条件：xxyPlP试写出图示三角形悬臂梁的边界条件。试写出图示三角形悬臂梁的边界条件。补充题补充题2-3梁固定端的内力（由梁的整体平衡）：梁固定端的内力（由梁的整体平衡）：0Ncos222221lqlqMlqlqQ12cos022Ndyhhlxx220hhxxydyQ22hhlxxydyM梁固定端的梁固定端的应力边界条件应力边界条件：lqlq12coscos222221lqlq120120120 xy1N2N3N用用120应变花测得构件表面应变：应变花测得构件表

12、面应变：求该点的应变分量求该点的应变分量:321,NNNxyyx,补充题补充题2-4各方向的方向余弦：各方向的方向余弦：; 1, 011ml;21,2322ml;21,2333ml代入任意斜方向的应变计算公式：代入任意斜方向的应变计算公式：xyyxNmlml1121211xyyxNmlml2222222xyyxNmlml3323233123313232NNNx1Ny)(3232NNxy解：解：补充题补充题2-5下面给出平面应力问题（单连通域）的应力场和应变场，试分下面给出平面应力问题（单连通域）的应力场和应变场，试分别判断它们是否为可能的应力场与应变场（不计体力）。别判断它们是否为可能的应力场

13、与应变场（不计体力）。;,144321yCxCyCxCCxCxyyx（1）;2,222Cxyybxaxyxyyx（2）解：解：（1）验证是否满足平衡微分方程；验证是否满足平衡微分方程；XyxxyxYyxyxy011CC0044CC0 满足平衡微分方程满足平衡微分方程验证是否满足相容方程；验证是否满足相容方程；yYxXyxyx)1 ()(2222 显然满足显然满足结论：结论：所给应力分量为一组可能的应力分量。所给应力分量为一组可能的应力分量。补充题补充题2-5下面给出平面应力问题（单连通域）的应力场和应变场，试分下面给出平面应力问题（单连通域）的应力场和应变场，试分别判断它们是否为可能的应力场与

14、应变场（不计体力）。别判断它们是否为可能的应力场与应变场（不计体力）。;,144321yCxCyCxCCxCxyyx（1）;2,222Cxyybxaxyxyyx（2）解：解：（2）验证是否满足应变协调方程：验证是否满足应变协调方程：2222yxxybyax22yxxy2Cy42222yxxyyxxy2要使下式成立：要使下式成立：须有：须有：Cybyax422上式成立的条件：上式成立的条件：Cba2, 0结论：结论：（1）仅当式（仅当式（1）成立时，所给应变分量为可能的。）成立时，所给应变分量为可能的。补充题补充题2-6试写出图示构件的边界条件。试写出图示构件的边界条件。(应用圣维南原理应用圣维

15、南原理)(a)(b)(c)(d)解：解：（a）补充题补充题2-6试写出图示构件的边界条件。试写出图示构件的边界条件。(应用圣维南原理应用圣维南原理)(a)左侧：左侧：02hxx2hxxyq右侧：右侧：02hxx2hxxyq上侧：上侧：y =0dxhhyy220dxhhyxy2201F0 xdxhhyy2200下侧：下侧：y = ldxhhlyy22dxhhlyxy221Fql2xdxhhlyy22lF1qlN21FQlFM1反力：反力：NQM2hx2hx(b)解：解：（b）补充题补充题2-6试写出图示构件的边界条件。试写出图示构件的边界条件。(应用圣维南原理应用圣维南原理)左侧：左侧：02hx

16、x2hxxyq右侧：右侧：02hxx2hxxy0上侧：上侧：y =0dxhhyy220dxhhyxy220cos1Fsin1Fxdxhhyy220sin41hF下侧：下侧：y = lNcos1FQM反力：反力：NQMsin1Fql4sin1hFlFcos12hql2hx2hx22hhlyydxdxhhlyxy22cos1FqlFsin1xdxhhlyy22解：解：（b）补充题补充题2-6试写出图示构件的边界条件。试写出图示构件的边界条件。(应用圣维南原理应用圣维南原理)下侧：下侧：y = lqlFNsin1cos1FQ2cos4sin11hqllFhFM反力：反力：(b)NQM2cos4sin

17、11hqllFhF补充题补充题2-6试写出图示构件的边界条件。试写出图示构件的边界条件。(应用圣维南原理应用圣维南原理)(c)解：解：（c）左侧：左侧：x =000 xx0 xxy0右侧：右侧：x = h0hxxhxxyq上侧：上侧：y =0hyydx 0 0hyxydx 0 001Fxdxhyy 0 0aF1下侧：下侧：y = lN0QM反力：反力：NQM1FqlaF1hqldxhlyy 0 dxhlyxy 0 0qlF 1xdxhlyy 0 hqlaF1补充题补充题2-6试写出图示构件的边界条件。试写出图示构件的边界条件。解：解：（d）上侧：上侧：02hyy2hyxy0下侧：下侧：02hyy2hyxy0右侧：右侧：x = l2 2 hhlxxdy2 2 hhlxxydyF0ydyhhlxx2 2 M左侧：左侧：x = 0NFQ1M反力：反力：0lF1Mdyhhxx2 2