数值分析第四章数值积分

1、第四章数值4.0引言我们知道,若函数f(x)在区间a,b上连续且其原函数为F(x),则可用Newton-Leibnitz公式bòf (x)dx = F (b) - F (a)a的值 , Newton-Leibnitz公式无论在理论上求定还是在解决实际问题上都起了很大作用，但它并不能完全解决定实际问题极的计算问题，因为学涉及的，而且极其复杂，在实际计算中经常遇到以下三种情况：(1) 被积函数f(x)并不一定能够找到用初等函数的有限形式表示的原函数F(x)，例如：sin xx11òò2- xdxedx和00Newton-Leibnitz公式就为力了(2) 还有被积函数

2、f(x)的原函数能用初等函数表示，+ 32f (但表其表太复杂，例如函数并不复杂，但后却很复杂,后其原函数F(x)为：2 F(3) 被积函数f(x)没有具体的关系由表格或图形表示。对于这些情况, 要计算, 其函数表的准确值都是十分的。由此可见,通过原函数来计算有它的局限性,因而研究一种新的方法来解决Newton-Leibniz公式所不能或很难解决的问题,这时需要用数值解法来建立的近似计算方法。将区间细分,在每一个小区间内用简单函数代替复杂函数进行，这就是数值的思想，用代数插值多项式去代替被积函数发f(x)进行是本章讨论数值的主要内容。4.14.1.1数值数值概述的基本思想bò值I =

3、在几何上可以解释为由f (x)dxax=a,x=b,y=0以及y=f(x)这四条边所围成的梯形面积。如图4-1所示，而这个面积之所以难于计算是因为它有一条y=f(x)y=f(x)图4-1数值的几何意义ab建立数值有两种：公式的途径比较多,其中最常用的（1）由知，对于连续函数f(x)，在中值区间a,b内存在一点，使得x Î a, bbòf (x)dx = (b - a) f (x )a梯形的面积恰好等于底为(b-a)，即所求的f (x ) 的矩形面积。但是点的具置一般是未知的,因而 f (x ) 的值也是未知的, 称 f (x )为f(x) 在区间a,b上的平均高度。那么只要

4、对平均高度f (x )相应地就获得一种数值求积方法提供一种算法，按照这种思想，可构造出一些求值的近似公式。f (a) + f (b)f (x )分别取 f (x ) » f ( a + b )和例如f (x ) »22y=f(x)则分别得到中矩形公式和梯形公式。梯形公式abf (x)dx » 1(b - a) f (a) + f (b)bòy=f(x)2中矩形公式f (x)dx »(b - a) f ( a + b )2abòaab Simpson公式f (x)dx » 1(b - a)é f (a) + 4 f

5、( a + b ) + f (b)ùbòêëúû62a在这三个公式中, 梯形公式把f(a), f(b)的平均值1 f (a) + f (b)a(a+b)/2b作为平均高度2f(x)的近似值而获得的一种数值方法。( a + b )中矩形公式把a,b 的中点处函数值f2作为平均高度f(x)的近似值而获得的一种数值积分方法。Simpson公式是以函数f(x)在a, b, (a+b)/2这三点的函f ( a + b )数值f(a), f(b),的平均值作为平均高度f(x)的近方法。21 ( f (a) + 4 f ( a + b ) +f (

6、b)62似值而获得的一种数值（2）先用某个简单函数 j(x) 近似逼近f(x), 用 j(x)bb代替原被积函数f(x)，即òòj (x)dxf (x)dx »aa以此构造数值算法。从数值计算的角度考虑,函数j(x) 应对f(x)有充分的逼近程度,并且容易计算其由于多项式能很好地逼近连续函数,且又容易计算积。分,因此将 j(x)选取为插值多项式, 这样f(x)的就可以用其插值多项式的来近似代替4.1.2插值求积公式xk (k = 0,1,L, n)设已知f(x)在节点有函数值 f (xk ),作n次日插值多项式nP(x) = åk =0f (xk )lk

7、 (x)=w(x) jl(式中k- xx()j =0 j ¹kkjkw (x) = (-n )P(x)dx这里b多项式P(x)易于求积,所以可取b作为òaò的近似值，即f (x)dxanåbbbòòòf ( x)dx »P( x)dx =f ( xk )lk ( x)dxaaak =0nn= åk =0lk ( x)dx = åk =0bòf ( xk)f ( xk)AkabbòòAk=lk (x)dx =其中(x -aa称为求积系数。给出如下定义。定义4.1求积公

8、式nf (x)dx » å Ak f (xk )bò(4.1)ak =0blaò其系数(x)dx 时，则称求积公式为插值A=kk求积公式。设插值求积公式的R( f ) ,由插值定理得(n+1) (x ) wf f (x) -bbòòR( f ) =P(x) dx(x)dx(n + 1)!aax Îa,b其中当f(x)是次数不高于n的多项式时，有(n+1) (x) = 0fR( f ) =0,求积公式(4.1)能成为准确的等式。由于闭区间a,b上的连续函数可用多项式逼近，所以一个求积公式能对多大次数的多项式f(x)成为准确等式

9、，是衡量该公式的精确程度的重要指标，为此给出以下定义。定义 （代数精度） 设求积公式（4.1）对于一切次数小于等于m的多项式(f (x) = 1,mf (x) = a+ a x + a+L+ ax 2xm)或012m是准确的，而对于次数为m+1的多项式是确的，则称该求积公式具有m次代数精度（简称代数精度）由定义可知，若求积公式（4.1）的代数精度为n，则求积系数应满足线性方程组：AkA0 + A1 +L+ An= b - aìïïíï- a 2b2A0 x0 + A1 x1 +L+ An xn=2LLbn+1 - an+1ïA x+

10、A xn +L+A x=nnïî0011nnn + 1这是关于 Ak的线性方程组，其系数矩阵é 1êêêê1 ùú1L矩阵,是当úxk (k = 0,1,L, n)n2 ú互异时非奇异,故núMMMêúA有唯一解。kên úëûnnbf (x)dx » å Ak f (xk )定理4.1n+1个节点的求积公式òak =0为插值型求积公式的充要条件是公式至少具有n次代数精度。nf (x)d

11、x » å A f (x )b证:必要性设n+1个节点的求积公式òkkak =0为插值型求积公式,求积系数为bòAk=lk (x)dxa又当f(x)为不高于n次的多项式时,R(f)=0。因而这时求积公式至少f (x) = P(x) + R(x)f(x)=P(x),其具有n次代数精度。充分性若求积公式至少具有n次代数精度,则对n次多项式必要性：若求积公式至少具有n次代数精度,则对n次多项式 jl(k = 0,1,L, n)kx- xj =0 j ¹kkjk = jk ¹ j= ì1nblåj=0ò(x)dx

12、 =l (x ) = dA l (x )精确成立,即而íkj kjkjkjî0af (x) = lk (x)ò取时nb=lk (x)dx = å Ajlk (x j )bòf (x)dxaaj =0bòAk=所以有lk (x)dx,即求积公式为插值型求积公式a例4.1区间a, b为0, 2，取时设f (x) = 1, x,分别用梯形和4 , ex公式时,2òf (x)dx »f (0) + f (2)0f (x)dx » 1 f (0) + 4 f (1) +f (2)2ò30计算其结果并与准确

13、值进行比较解:梯形公式和较如下表所示的计算结果与准确值比4从表中可以看出,当f(x)是公式比梯形公式更精确时,辛一般说来，代数精度越高，求积公式越精确。梯形公式和中矩形公式具有1次代数精度，式有3次代数精度。下面以梯形公式为例进行验证公f(x)1xx2x3x4ex准确值222.6746.406.389梯形公式计算值2248168.389公式计算值222.6746.676.421f (x)dx » b - a f (a) +f (b)bò2ab - a (1 + 1) = b - a2bò=1时， 1dx = b - a,取f(x)两端相等a取f(x)=x时,b -

14、 a (a + b) = 1 (b2 - a 2 )1bòxdx =(b - a 2 ),2两端相等222a取f(x)=x2 时,(b- a3 ), b - a (a 213+ b2 ) = 1 (a 22bòx dx =+ b2 )(b - a)232a两端不相等所以梯形公式只有1次代数精度。例4.2试确定一个至少具有2次代数精度的公式4òf (x)dx » Af (0) + Bf (1) + Cf (3)0要使公式具有2次代数精度,则对f(x)=1,x,x2 求积公式准确成立，即得如下方程组。ì解:A +B + C= 4= 8ï&

15、#239;B + 3Cíïïî解之得，64B + 9C=34 ,4 ,20A =B =C939f (x)dx » 14 f (0) + 12 f (1) + 20 f (3)4ò所求公式为：90例4.3 试确定求积系数A,B,C使1òf (x)dx » Af (-1) + Bf (0) + Cf (1)-1具有最高的代数精度解:分别取f(x)=1,x,x2使求积公式准确成立,即得如下方程组。ìA +B + C+ C=2ïï-= 0Aíïïî2+

16、C=A3f (x)dx » 1 f (-1) + 4 f (0) + 1 f (1)1ò所得求积公式为：333就不-1对于f(x)=1,x,x2,x3都准确成立,对于f(x)=x4准确了，所以此求积公式3次代数精度。由于n+1节点的插值求积公式至少有n次代数精度，所以构造求积公式后应该验算所构造求积公式的代数精度。例如 插值求积公式f (x)dx » b - a é f (a) + 4 f ( a + b ) + f (b)ùbòêëúû62a有三个节点至少有2次代数精度，是否有3次代数精度呢？

17、将f(x)=x2代入公式两端，左端和右端都等于(b4-a4)/4,公式两端严格相等，再将f(x)=x4代入公式两端，两端不相等，所以该求积公式具有3次代数精度。例4.4求积公式f (x)dx » 1 f (-1) + 2 f (0) + f (1)1ò2-1的代数精度可以验证, 对于f(x)=1, x时公式两端相等, 再将f(x)=x21323代入公式左端1ò1-1x dx =23x-11 f (-1) + 2 f (0) + f (1) = 1 1 + 1 = 1右端22两端不相等, 所以该求积公式具有 1 次代数精度.三个节点不一定具有2次代数精度，因为不是插

18、值型的例4.5给定求积公式如下：11 éæ 1òf ( x)dx »ê2 f ç34èë0试证此求积公式是插值型的求积公式= 3证:设,则以这三点为插值节点的2424Lagrange插值基函数为l ( x) = æ x - 1 öæç2 ÷ç0èøèl1 (è4 øè- 1 öæl ( x)4 ÷ç2øè11æ òl0

19、 (x)dx = ò8ç xè00æ - 5 ´ 1 + 3 ö=ç8 ÷42èø11òl1 (x)dx = ò (-1600- 1 +=（16211æ òl2 (x)dx = ò8ç x -è00= 8æ 1 - 3 ´ 1 + 1 ö = 8 -ç 38 ÷è42ø3插值型求积公式为1ò01 éæ 3 öù

20、;æ 1 öæ 1 öf ( x)dx »ê2 f ç÷ - f ç÷ + 2 f ç÷ú3424èøèøèøûë由插值型求积公式的定义知，所给的求积公式是插值型求积公式。例4.6 求证f (x)dx » 1 f (-1) + 2 f (0) + f (1)1ò2-1不是插值型的证明:设 x0 = -1,x1 =0,x2 =1,A2=1/2A0 =1/2,A1=1,则

21、以这三点为插值节点的Lagrange插值基函数为-1)l0 (- x-1(-1-1)()202-1)2l (1+1)l2 (- x )(1+1)(221)dx = 1 ´ 2 - 1 ´ 0 = 11òl(x)d0222323-11(1- x2 )dx = 2 - 2 = 411òòl (x)dx =133-11)dx = 1 ´ 2 + 1 ´ 0 = 11òl(x)d2222323-11bòAk=k = 0,1, 2lk (x)dxa插值型求积系数为A= 1，A = 4 ，A= 1012333与原求积

22、公式系数不一致（原求积公式系数A = 1 ,A= 1=1,A01222若与原求积系数一致，则是插值型的）原求积公式不是插值型的。证毕。例4.7 给定求积公式2hòf (x)dx » A-1 f (-h) + A0 f (0) + A1 f (h)-2h试确定求积系数A-1, A0 ,A1, 使其有尽可能高的代数精度，并指出其代数精度解：令求积公式对f(x)=1, x, x2准确成立，则有ì+A0+= 4h= 0A-1A1ïï- hA+ hAí-11ïh 2= 16 h3+ h 2 AAïî-113A= -

23、 4 h, A= A= - 8 h解之得-10133f (x)dx » 4h2 f (-h) - f (0) + 2 f (h)2hò3-2h其代数精度至少为2,将f(x)=x3代入求积公式两端相等,而将将f(x)=x4代入求积公式两端不相等,所以其代数精度为3次例 4.8确定求积公式bòf (x)dx » A f (a) + A f (b) + A f ¢(a)123a使其具有尽可能高的代数精度解：不妨设a=0, b=h, b-a=h, 设所求公式的代数精度为2,则当f(x)=1,x,x2时公式变成等式,即ìïA1+=A2

24、 A3=hh 2ïí A2 h +ï21ïh 2h 3Aïî23解：不妨设a=0, b=h, b-a=h, 设所求公式的代数精度为2,则当f(x)=1,x,x2时公式变成等式,即解之得：A2h 2h2=, A33=, A1= 3 h6f (x)dx » h4 f (a) + 2 f (b) + hf ¢(a)bò6a其中h=b-a, 令f(x)=x3代入上式, 两端不等, 说明求积公式只有2次代数精度。构造插值求积公式有如下特点：(1) 复杂函数f(x)的转化为计算多项式的(2) 求积系数Ak只与区间及节

25、点xk有关，而与被积函数f(x)无关，可以不管f(x)如何，预先算出Ak的值(3) n+1个节点的插值求积公式至少具有n次代数精度nå Ak(4) 求积系数之和= b - ak =0可用此检验计算求积系数的正确性例 4.9求证当节点为n+1个时,插值求积系数之和为nå Akk =0= b - anbb(x)dx =å Ak f (xk )证：òf ( x)aak =0当节点为n + 1个时，插值求积公式有n次代数精度,对于f(x)=xn , 上式严格相等,所以取f(x)=1时，上式也严格相等，因此有nbb1dx =å Akòò

26、;f ( x)dx = b - aaak =0nå Ak= b - ak =0即A0 + A1 + An= b - a构造插值求积公式的步骤(1)(2)在区间a,b上选取节点xkbl求出f(x )及利用òA=(x)dxkkka或解关于Ak的线性方程组求出Ak，这样就得到了nbf ( x)dx » å Akf ( xk )òak =0(3)利用f(x)=xn,验算代数精度3òf (x)dx例4.10度构造一个至少有3次代数精对0确定求积系数Ak(k=0,1,2,3),利用求积系数公式3 (= - 16= 33(0ò0ò

27、;òA =0(0 -1)(0 - 2)(0 - 3)8(1 - 0)(1 - 2)(1 - 3)= 9 , A= 9 , A= 33A=1238880f (x)dx » 3 f (0) + 3 f (1) + 3 f (2) +f (3)3ò80因为求积公式有4个节点，所以至少具有3次代数精度，只需将f(x)=x4代入来验证其代数精度。将f(x)=x4代入两端不相等，所以只有3次代数精度4.1.5、求积公式的收敛性和稳定性一般地,求积公式nf (x)dx » å Akbòfk ,(1.3)ak =0通常称为机械求积公式.插值型求积公式

28、它的(n+1)nb f (x) - L (òR f =- x j )dx.(1.7)(n +1)!aaj =0定义2 在求积公式(1.3)中, 若nlim å Akbòf (x ) =f (x)dx,kn®¥ k =0ah®0其中h = max(xi - xi-1),则称求积公式(1.3)是收敛的.1£i£n设f (xk )有误差dk ,即f (xk ) - fk = dk(k = 0,1, n),则有n| In ( f ) - In ( f ) |= å Ak f (xk ) - fk .k =0定义3

29、 若"e > 0,$d > 0,只要£ d (k = 0,f (xk ) - fk, n), 就有n| In ( f ) - In ( f ) |= å Ak f (xk ) - f (xk ) £ e ,k =0则称求积公式(1.3)是稳定的.定理2 若求积公式(1.3)中系数Ak是稳定的.> （0 0,1, n), 则求积公式£ df (xk ) - fk(k = 0,这是因为, n)时, 有当nn|= å Akk =0f (xk ) - f (xk ) £ d å Ak= (b - a)d

30、.| Rnk =04.2在插值求积公式(Newton-Cotes)求积公式nbbP(x)dx =å Akòòf (x)dx »f (xk )aak =0中,当所取节点是等距时称为-公式nP(x) = ålk (x) f (xk )k =0其中插值多项式求积系数blòA=(x)dxkka这里(x) 是插值基函数。即有lknbbÕi=0 i¹kòòAk=(x)dx =lkaab - a区间a,b 划分为n等分, 步长 h =将n为了计= a + kh(k = 0,1,L, n)xk求积节点为xk -

31、 xi= (k - i)h算系数Ak, 由于, 所以) = (-1)n-k k!(x - x )L(-nk0knt Î0, n当 x Î a,b时,有作变量代换 x,于是可得b= a + thknbÕòòAk=(x)dx =lkaai=0 i¹k(-1)n-knn ò=-1)L(t - k +1)(t- k -1)L(t - n)h hdtnt(tk!(0(-1)n-knnÕò= (b - a)(t - i)dt(nk!(n - k)!0i=0i¹k引进记号(-1)n-knn(Õ(t

32、- i)dtò=( n)kCnk !(n - k )!0i =0 i ¹k( k=0,1,n )则A = (b - a)C(n)( k=0,1,n )kk代入插值求积公式(4.1)有nf (x)dx » (b - a)åbòC (n)f (x )kakk =0称为-求积公式,Ck称为系数nåCk容易验证= 1k =01blaò=CAA(x)dxkkkkb - ann1åk =0åblaò=C(x)dxkkb -ak =0= 1n(x)dx = 1båb1dx = 1aò

33、42;lkb - ab - aak =0显然,Ck是不依赖于区间a,b以及被积函数f(x)的常数,只要给出n,就可以算出如当n=1时系数,譬-111(t -1)dt =11C =tdt =òòC=011× 0!×1!2200当n=2时(-1) 212òC0=(t - 1)(t - 2)dt=2 × 0!×2!60(-1)122òC1 =t(t - 2)dt =32 ×1!×1!0(-1)012òC2=t(t -1)dt =62 × 2!×0!0表4-1给出了n从18

34、的P104系数。当n=8时，出现了负系数，从而影响稳定性和收敛性，因此实用的只是低阶公式。下面分别考虑几种特殊请况。Newton-Cotes公式bnò f ( x)dx » (b - a)åC ( n ) f ( x )ajjj=0 系数n11/21/221/64/61/631/83/83/81/847/9016/452/1516/457/905几个低阶求积公式求积公式中n=1,2,4时，就分别在-得到下面的梯形公式、公式和公式。(1)梯形公式当n=1时，-公式就是梯形公式f (x)dx » 1 (b - a) f (a) + f (b)bò2

35、a定理4.2 （梯形公式的误差）设f(x)在a,b上具有连续的导数，则梯形公式的误差（(b - a)3¢ hh Î(a,b)R ( f ) = -f ( )112(n+1) (x )w(x)dxfbò证:由插值型求积公式的R ( f ) =n(n + 1)!ax Î (a, b),w (x) = (其中-n )可知梯形公式的误差为R ( f ) = 1bòf ¢ (x )(x - a)(x - b)dx12a由于(x-a)(x-b)在a,b中不变号, f ¢ (x )在a,b上,在a,b上连续,根据高等数学中的存在一点，使中

36、值定理= - (b - a)3bbòò¢ x¢¢ hh)(x - a)(x - b)dxf ( )(x - a)(x - b)dx = f (f ( )6aa(b - a)3¢ hh Î(a,b)R ( f ) = -f ( )因此112（2）当n=2时，公式-公式就是公式（或称抛物线公式）f (x)dx » 1 (b - a)é f (a) + 4 f ( a + b ) +f (b)ùbòêëúû62a定理4.3（公式的误差）设在a,b上具有

37、连续的四阶导数，则求积公式的误差为1 æ b - a ö5(b - a)5f (4) (h) = -f (4) (h)h Î(a,b)R ( f ) = -90 ç÷2è2ø2880定理证明从略。（3）公式。当n=4时，-公式为f (x)dx » b - a7 f (x ) + 32 f (x ) +12 f (x ) + 32 f (x ) + 7 f (x )bò0123490a定理4.4（公式的误差）设在a,b上具有连续的6阶导数，则求积公式的误差为8æ b - a ö7(6)

38、(h)h Î (a,b)R ( f ) = -ç÷f4945 è4ø定理的证明从略。例4.11分别用梯形公式、公式和1òxdx公式计算定0.5的近似值(计算结果取5位有效数字)(1)用梯形公式计算xdx » 1- 0.5 f (0.5) + f (1) = 0.25´0.70711+1 = 0.4267767 = 0.426777 21ò0.5(2)用公式xdx » 1- 0.51ò0.5 + 4 ´(0.5 + 1) / 2 +160.5= 1 ´0.70711+

39、 4´ 0.866 03 +1 = 0.43093403 = 0.4309312(3)用公式计算，系数为7, 32 , 12 , 32 , 79090909090xdx » 1- 0.5 7´901ò0.5 + 32´0.625 +12´0.75 + 32´0.875 + 7´10.51´4.94975 + 25.29822 +10.39223 + 29.93326 + 7 = 0.43096180的准确值为321ò10.5= 0.4309644130.5可见，三个求积公式的精度逐渐提高。例4.

40、12用3ò(x3 - 2公式和公式计算定1的近似值,并估计其误差(计算结果取5位小数)解:公式S » b - a é f (a) + 4 f æ a + b ö +f (b)ù = 3 -11 + 4 ´ 9 + 25 = 62 = 20 2ç÷êú6è2ø- 5633ëf (x) =公式ûf (4) (x) = 0由于由= (b - a)5h Îa,bh),(4)R( f )f(2880R( f ) = 0知其误差为解:公式C

41、87; 3 -17 f (1) + 32 f (1.5) +12 f (2) + 32 f (2.5) + 7 f (3)90é7 + 32´ 35 +12´ 9 + 32´ 125 + 7 ´ 9ù = 20 21=45 êëúû883R( f ) = 0知其误差为的准确值 I = 20 2 ,这个例子告诉我该定3，当n2时，公式却是精确的，们，对于同一个这是由于公式具有三次代数精度，公式具有五次代数精度，它们对被积函数为三次多项式当然是精确成立的。4.3复化求积公式由梯形、和求积公式可知，随

42、着求积节点数的增多，对应公式的精度也会相应提高。但由于n8时的求积公式开始出现负值的系数。根据误差理论的分析研究，当公式出现负系数时，可能导致舍入误差增大，并且往往难以估计。因此不能用增加求积节点数的方法来提高计算精度。在实际应用中，通常将区间分成若干个小区间，在每个小区间上采用低阶求积公式，然后把所有小区间上的计算结果加起来得到整个区间上的求积公式，这就是复化求积公式的基本思想。常用的复化求积公式有复化梯形公式和复化公式。4.3.1复化梯形公式及其误差h = b - a区间a,b划分为n等分,步长将求积节点为n= a + kh(k = 0,1,L, n)xk在每个小xk, xk +1 区间上

43、应用梯形公式(k = 0,1,L, n - 1)f (x)dx » h f (x)xk +1ò) + f (xk +1k2xkn-1值Ik,然后将它们累加求和,用 å I求出kk =0作为所求I的近似值。n-1f (x)dx = ån-1f (x)dx » åh f (x)bxk +1òòI =) + f (xk +1k2axkk =0k =0= h f (x) + f (x ) + 2( f (x ) + f (x ) + . +f (xn-1012n2= h é f (a) + 2ån-1

44、f (x ) + f (b)ù2 êúkëûk =1记h éf (x ) + f (b)ùn-1åT=f (a) + 2(4.5)2 êúnkëûk =1(4.5)式称为复化梯形公式。当f(x)在a,b上有连续的导数,在子区间xk , xk +1 上梯形公式的已知为h3RT= -΢ hhf(k )xk ,xk +1k12k在a,b上的éùn-1åk =0n-1åk =0h3f(hk )ú¢RT=

45、ê- 12RTkëû设 f ¢ (x)在a,b上连续，根据连续函数的介值定理知，h Îa，,b使存在h Îa,bn-11 åf ¢ (hf ¢ (h) =knk =0因此,= - (b - a)123R= - h¢ h¢ h2nf( )12hf()h Î a,bT复化梯形求积算法实现（1）复化梯形公式计算步骤确定步长h=(b-a)/N(N为等分数)对k=1,2,N，计算T=T+f(a+kh)T= h+ f(b)/2f(a)+2T（2） 复化梯形公式的流程图开始定义 f(x)输

46、入 a, b, N(b-a)/NÞh, 0 ÞT对 k=1,2, N-1T+f (a+k*h) Þ Th* f (a)+2T+ f(b) / 2 ÞT结束4.3.2将复化公式及其误差xk , xk +1 区间a,b划分为n等分,记子区间+ 1 h 在每个小区间上应用= x的中点为xkk + 122公式，则有f (x ) + 4 f (x)n-1n-1h6båxk +1åòòI =f (x)dx =f (x)dx ») + f (xk +1kk + 1ax2kk =0k =01 én-n-f (x

47、 ) + f (b)ù11ååk =1=f (a) + 4) + 2f (x6 êúk + 1këû2k =0h éf (x ) + f (b)ùn-n-11ååk =1S=f (a) + 4) + 2记f (x(4.6)6 êúnkk + 1ëû2k =0称为复化公式类似于复化梯形公式生公式 (4.6) 的求积的讨论，复化b - a æ h ö4b - ah Îa,bf (4) (h) = -h4(4) (h)R

48、= -fç 2 ÷s180èø2880xk , xk +1 四等分,内分点依次记如果把每个子区间同理可得复化公式k + 3424h én-n-11ååC=7 f (a) + 32) + 12f (xf (x)90 ênk + 1k + 1ë42k =0k =0f (x ) + 7 f (b)ùn-n-11åå+ 32+ 14f (x)úkk + 3û4k =0k =12(b - a) æ h ö6h Îa,b(h)Rc = -

49、(6)求积ç÷f945è 4 ø复化求积公式的表明，只要被积函数发f(x)所涉及的各阶导数在a,b上连续，那么复化梯形公式、复化公式与复化公式所得近似值Tn , Sn , Cn的和步长的关系依次为O(h2 ) 、O(h 4 )O(h6 ) 。因此当h0 (即n)时, Tn , Sn , Cn都收敛于快。真值，且收敛速度一个比一个复化（1）复化求积算法实现公式计算步骤 确定步长h=(b-a)/N,S1=f (a+h/2) , S2=0( N 为等分数 )对k=1,2,N-1，计算S1= S1+f (a+kh+h/2) , S2= S2+f (a+kh)S

50、= h f (a) +4S1+ 2 S2+ f (b)/6开始（2） 复化辛卜生公式流程图定义 f(x)输入 a,b, N(b - a) / NÞh,Þa+ h /2Þ S2xf(x) ÞS1 ,0对S1 +f S2 +fk=1,2, N-1(a+k*h+h/2) Þ(a+k*h) Þ S2S1h* f (a)+4 S1 +2 S2+ f(b) /6 ÞS2结束例4.13依次用n=8的复化梯形公式、n=4的复化sin xx公式计算定1òI =dx0解:首先计算出所需各节点的函数值,n=8时，h = 1 = 0.1258由复化梯形公式(4.5)可得如下计算公式：T = 1 f (0) + 2 f (0.125) + 2 f (0.25) + 2 f (0.375) + 2 f (0.5)816+