正方形的判定和性质

1、18.2.3正方形lg整体设对*教学目标1 .理解并运用正方形的定义计算和证明2 .理解并运用正方形的性质、判定进行计算和证明，理解一般与特殊的关系经历正方形的定义及其性质和判定定理的探究过程，丰富认识图形的经验，进一步发展学生的逻辑推理能力和表达能力.F情藤渡马海咖让学生在发现、归纳、概括中逐步提高思维能力，培养用数学的思想和方法来思考和分析问题的习惯.教学重难点【重点】正方形性质和判定定理的应用【难点】正方形与平行四边形、矩形、菱形的区别与联系.教学准备【教师准备】教学中出示的教学插图、问题和例题.【学生准备】复习平行四边形、矩形、菱形的定义、性质和判定国教学过程L新课导入导入一：过渡语前

2、面我们研究了平行四边形、矩形、菱形的定义、性质和判定，现在请同学们回忆学过的内容，回答下面的问题.（i）教具（几何画板）演示：如图所示，改变/B的大小，平行四边形ABCD，的形状随之发生变化.当/B为直角时，这时的图形是形;我们平移边CD改变BC的大小，矩形ABCD勺形状随之发生变化.当BC'=C'D'时，图形是形.（2）如图所示，我们平移边CD改变BC的大小，平行四边形ABCD勺形状随之发生变化.当BC=CD，时，图形是形；改变/B的大小，菱形ABCD，的形状随之发生变化,当/B为直角时，图形是形.学生观察教具变化情况，结合所学菱形、矩形知识，回答上面的问题设计意图正

3、方形是学生熟悉的几何图形，小学已经学过，这里让学生从动态的角度出发认识正方形，体会正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系与区别，感受特殊与一般的关系导入二:八年级(2)班的简兰同学想买一条方纱巾有一天她在商店里看到一块漂亮的纱巾，非常想买，但她拿起来看时感觉纱巾不太方，商店老板看她犹豫不决的样子，马上过来拉起一组对角让她看另一组对角是否对齐，她还有些疑惑，老板又拉起另一组对角让她检验，她终于买下这块纱巾，你认为她买的这块纱巾是正方形的吗？当时采用什么方法可以检验出来？学了这节后，你就会做出准确的判断了设计意图将数学问题融入生活情境，拉近了学生与数学之间的距离，激发学生研究正方形的积极性陋新知构建

4、1.正方形的认识思路一过渡语结合上面的演示，请同学们回答下面的问题:(1)什么样的图形是平行四边形？(2)什么样的图形是矩形？(3)什么样的图形是菱形？(4)什么样的图形是正方形？学生讨论，回答在学生回答的基础上，教师引导学生归纳：正方形是有一组邻边相等，有一个角是直角的平行四边形生1：正方形是特殊的矩形,生2:正方形是特殊的菱形,追问：正方形与矩形、菱形之间有什么关系呢？学生思考，回答：正方形既是矩形，又是菱形设计意图结合图形的演示，让学生回忆学过的平行四边形、矩形、菱形的定义、性质及判定.在此基础上尝试归纳正方形的定义，理解正方形的定义，体会它们之间的联系与区别感受特殊与一般的关系.思路二

5、3意渡语前面我们学习了平行四边形、矩形、菱形的性质和判定，小学认识过了正方形，请同学们回答下面的问题.(1)正方形与矩形有怎样的关系？(2)正方形与菱形有怎样的关系？(3)正方形、平行四边形、矩形、菱形有怎样的关系？学生观察、思考、交流.孝h网之影即有一组邻边相等的矩形是正方形即有一个角是直角的菱形是正方形教师画图说明，正方形、平行四边形、矩形、菱形的关系如图总结：正方形、矩形、菱形都是特殊的平行四边形你能根据正方形、平行四边形、矩形、菱形的关系，解释下面的问题吗？(1)把一张长方形纸片按如图所示的方式折一下，就可以裁出正方形纸片为什么？(2)如何从一块长方形纸片中裁出一块最大的正方形纸片呢？

6、学生动手折叠、思考、交流(1)由折叠得所得的四边形有三个直角，且一组邻边相等有三个角是直角的四边形是矩形有一组邻边相等的矩形是正方形，所以裁出的纸片是正方形.(2)要使裁出的四边形是最大的正方形，只要让四边形(正方形)的边长等于长方形的宽即可.教师总结：正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形.设计意图结合图形的折叠，让学生归纳得出有一组邻边相等的矩形是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形.从矩形、菱形的角度出发体会它们之间的关系，感受特殊与一般的关系.2.正方形的性质过渡语上面认识了正方形，下面我们继续研究正方形的性质思路一策方形是特殊的平行四边形，它也是特殊的矩形、特殊的菱形，因此它具有平行四

7、边形、矩形、菱形的所有性质.请回忆学过的内容，回答下面的问题(从边、角、对角线、轴对称性四方面考虑)：心(1)平行四边形有哪些性质？(2)矩形有哪些性质？(3)菱形有哪些性质？(4)正方形有哪些性质？分小组进行讨论，整理所学的性质：图形对边对角对角线对称性行边一平西舷平行、相等相等互相平分不是轴对称图形矩形平行、相等四个角都是直角互相平分且相等轴对称图形，有两条对称轴菱形平行、四条边都相等相等互相垂直且平分，每条轴对称图形，有两条对称轴对角线平分一组对角平行、四条边都相等四个角都是直角互相垂直、平分且相等，每条对角线平分一组对角轴对称图形，有四条对称轴设意图让学生回忆学过的平行四边形、矩形、菱

8、形的定义和性质.在此基础上理解正方形的性质，体会它们之间的联系与区别，感受特殊与一般的关系.思路二昊方拓是特殊的平行四边形，它也是特殊的矩形、特殊的菱形，因此它具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质.请把它们写出来，并与同桌交流.学生梳理总结得：正方形设计意图让学生回忆学过的平行四边形、矩形、菱形的定义和性质，体会它们之间的联系与区别.在此基础上梳理得出正方形的性质，有助于这些知识的正确运用.3 .正方形的判定思路一转问：怎样判定一个四边形是正方形呢？把你所想的判定方法写出来.学生自由发言.教师引导学生总结、归纳得正方形的判定方法：(1)定义法：有一个角是直角，有一组邻边相等的平行四边形是正方形

9、.(2)矩形法：有一组邻边相等的矩形是正方形.(3)菱形法：有一个角是直角的菱形是正方形.思路二箧然正方形是特殊的图形，那么我们就可以通过一般图形来判定正方形.请大家考虑：满足什么条件的矩形是正方形？你有哪些方法？类似地，如何通过菱形和平行四边形来判定正方形？教师深入学生中，督促学生积极探索交流，了解学生的思维深度和广度并及时加以校正和激励.派学生代表走向讲台进行总结发言，并鼓励其他学生大胆提问.师进一步归纳正方形的判定方法知识拓展(1)平行四边形、矩形、菱形和正方形的定义和判定方法如下表：图形I定义I判定平行四边形两组对边分别平行的四边形1 .两组对边分别相等的四边形2 .两组对角分别相等的

10、四边形3 .对角线互相平分的四边形4 一外左R*日奔MlEH力耳2矩形有一个角是直角的平行四边形1 .对角线相等的平行四边形2 .有二个角杲百角的四法形菱形有一组邻边相等的平行四边形1 .对角线互相垂直的平行四边形2 .四条访相等的四访形正方形有一个角是直角，有一组邻边相等的平行四边形1 .有一个角是直角的菱形2 .有一组邻边相等的矩形3 .有一个角是直角，有一组邻边相等的平行四边形W角纬方相干百、市分日相等的兀访彩里卜万影4.例题讲解过渡语上面我们研究了正方形的定义、性质和判定，下面我们举例说明它们的应用（教材例5）求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形学生分析题设

11、和结论，画图，写出已知和求证.已知：如图,四边形ABCD是正方形,对角线ACBD相交于点0.求证:ABOBCQACDQADAO是全等的等腰直角三角形.师生分析：利用正方形的性质“对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角”可以得到四个三角形是全等的等腰直角三角形.学生独立完成解题过程.一生板书：证明：-四边形ABCD1正方形，AC=BDACLBDAO=BO=CODO. ABOABCOACDOADAOTE是等腰直角三角形，并且ABOAABC（aaCD（aaDAO.教师点评，纠正写法上的不足（补充）如图,在平行四边形ABC曲，。是CD的中点，连接AO并延长，交BC的延长线于占E.条证AOHE

12、OC（2）连接ACDE当/B=ZAEB：。时，四边形ACED1正方形.请说明理由.师生共同分析：（1）根据题意可得/ADC/OCE/DAOZOECOCOD所以AOD"iEOC（2）当/B=/AE吾4500寸，根据AOB八EOC先证明四边形ACE昆平行四边形，再根据/COE/BAE=90°,得到平行四边形ACED是菱形，AB=AEAB=CD故AE=CD从而可知菱形ACED1正方形学生独立写出过程后，教师重点指导第（2）问的解答过程.证明：（1）T四边形ABCD是平行四边形，AD/BC. /ADC/OCE/DAO/OEC.又-。是CD的中点，OCOD.AOOAEOC解：（2）如

13、图，当/B=/AEB=45用寸,四边形ACE是正方形.理由如下：/AO»EOC OAOE.又OCOD 四边形ACE是平行四边形. /B=/AEB=45°, AB=AE/BAE=90°. -四边形ABCD!平行四边形， AB/CDAB=CD./COE/BAE=90°.-平行四边形ACED是菱形.AB=AEAB=CDAE=CD.从而可知菱形ACEDi正方形.解题策略探索条件类问题，先看题中的已知条件，根据正方形的判定方法，缺什么就补什么条件，一般从“矩形+组邻边相等”或“菱形+有一个角是直角”去考虑.设计意图运用正方形的性质、判定解决有关的问题，培养运用所学

14、知识解题的意识，提高解题能力.陋课堂小结师生共同归纳小结.本节课，我们学习了正方形的性质和判定，弄清了正方形、平行四边形、矩形、菱形的关系1. 下列命题是真命题的是（）A.矩形的对角线互相垂直B.菱形的对角线相等C.正方形的对角线相等且互相垂直D.四边形的对角线互相平分解析：根据矩形的对角线相等，可判断选项A错;根据菱形的对角线互相垂直，可判断选项B错；根据正方形的对角线互相垂直、平分且相等，可判断选项C正确；四边形的对角线无特性，可判断选项D错.故选C.2. 在四边形ABCDS。是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（）A. AOBDAB/CDAB=CDB. AD/BC/A=/CC.

15、AO=BO=CO=DOACLBDD.AO=COBO=DOAB=BC解析：根据“对角线相等的平行四边形是矩形”可判定选项A是矩形；根据“两直线平行，同旁内角互补”“等量代换”“同旁内角互补，两直线平行”可判定选项B是平行四边形；根据“对角线互相垂直、平分且相等的四边形是正方形”可判定选项C是正方形；根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”可判定选项D是菱形.故选C.3.如图所示，E是正方形ABC口的边AD上任意一点，EFIBD于点F,EGLAC于点G若AB=10cm,则四边形EFOG勺周长是.解析：先由题意证明四边形EF。（是矩形，进而可知矩形EFO（的周长为0D勺长的2倍，然后根据勾股定理得0D

16、勺长为5cm,故填10cm.诙梅书设计18.2.3正方形1 .正方形的认识2 .正方形的性质3 .正方形的判定4 .例题讲解例1例2分布盖作业一、教材作业【必做题】教材第59页练习第1,2,3题；教材第61页习题18.2第7,8题.【选做题】教材第61页习题18.2第12题.二、课后作业【基础巩固】1 .矩形、正方形、菱形的共同性质是（）A.对角线相等B.对角线互相垂直C.对角线互相平分D.每一条对角线平分一组对角2 .（2015日照中考）小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件:AB=BC/AB（=90。,AOBDAdBD中选两个作为补充条件，使?ABCDA正方形（如图），

17、现有下列四种选法，你认为其中错误的是（）A.B.C.D.3 .如图，正方形ABC即，CE_LMN/MCE35。,那么/ANM是()A.45°B.550C.650D.75'4 .如图所示，在四边形ABCDTAB=BC=C!=DA对角线AC与BD相交于点O.若不增加任何字母与辅助线，要使得四边形ABCDI正方形，则还需增加的一个条件是.度.,CE=AC则/E=5 .如图，正方形ABC曲,AC是对角线，E是BC延长线上一点【能力提升】6 .如图，正方形ABCD勺对角线ACBD交于点O/OCFZOBE试猜想OE与OF的大小关系，并说明理由.7 .如图，在四边形ABC曲，AB=BC对角

18、线BD平分/ABCP是BD上一点，过点P作PMLADPN±CD垂足分别为MN.（1）求证/ADB/CDB（2）若/ADC90。，求证四边形MPN是正方形.【拓展探究】8 .如图，在正方形ABCDTAC是对角线，AE平分/BAC试猜想ABACBE之间的关系,并证明你的猜想【答案与解析】1 .C（解析：根据图形的性质进行判别即可.对角线相等是矩形的特性，对角线互相垂直、每一条对角线平分一组对角是菱形的特性，故选项A,B,D错，故选C.）2 .B（解析:A项，-四边形ABCDI平行四边形，-当AB=BC时，平行四边形ABCD1菱形，当/ABC90。时，菱形ABCD1正方形，故A选项错误;B项，-四边形ABCD1平行四边形，当/ABC90。时，平行四边形ABCDI矩形，当AC=BD时，无法得出四边形ABCDI正方形，故B选项正确;C项，-四边形ABCD!平行四边形，当AB=BC时，平行四边形ABCD是菱形，当AC=BD时，菱形ABCDI正方形，故C选项错误；D项，-四边形ABCD1平行四边形，当/ABC90。时，平行四边形ABCD1相形，当ACLBD时，矩形ABCD1正方形，