2020届四川省雅安市高中高三第三次诊断数学(理)试题

1、- 1 -2020 届四川省雅安市高中高三第三次诊断数学试题（理科）（本试卷满分 150 分，答题时间 120 分钟）注意事项：1答题前，考生务必将自己的姓名、考号用0.5 毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上，并检查条形码粘贴是否正确2.选择题使用 2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用0.5 毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效3.考试结束后，将答题卡收回、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题 目要求的.1.已知集合Ax|x 1,B x|log2x1，

2、 贝U ABA.XX 2B.XX1C.x0 x2D.x0 x 12.复数Z满足1Z i,i其中i是虚数单位，则zA.1 iB.1 iC.1 iD.1 i3. 一车间为规疋工时疋额, 需要确定加工零件所花费的时间， 为此进行了4次试验，测得的数据如下，根据F表可得回归方程y 8x 11，则实数a的值为零件数x（个）2345加工时间y（分钟）30a4050A. 34B. 35C.36D. 374. 设不为1 的实数 a ,b,c满足：ab c 0,则A.gblogabB .abcbC .acb bD.logab logaC5.如图所示的图象对应的函数解析式可能是A. h-.；-1B. :C. 沁疔

3、或，I D.肿引且7.公元 263 年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”.如图是利用刘徽的“割圆术”思A.y2rxx 2x eB.y2xsinx4x 1可是两内的一条直线，且汕丄芟，则6.已知平面忙 L 平面， 是 内的一条直线,- 2 -皓柬- 3 -想设计的一个程序框图，则输出 n 的值为.(参考数据：sin15 0.2588,sin 7.50.1305)A.18B .24C .30D .36BC 2 6,ABM 30.若四面体MACD的四个顶点都在同一个球面上,2x2y2x 2y 10,则圆 M 与圆 N 的位置关系

4、为A. 相离B.相交C.外切D.内切10. 函数f (x) sin(x)(60)在x处取得最大值,则f (2 )f(3 )的值为A.1B.0C.-1D.39.已知直线y0所截得的弦长为22,且圆 N 的方程为11.已知函数f(x) log3x，函数h(x)是最小正周期为 2 的偶函数，且当x 0,1时，h(x) 3x1.若函8.已知非零向量a、b满足a2旧，且(a b)b， 贝U a与b的夹角为A.6B.4C.3D.x被圆M：x2y2Ey 0 E数y k f(x) h(x)有 3 个零点，则实数k的取值范围是A.(1,2log73)B .(2, 2log53)C.(2log53, 1)1D .

5、(73,2)12.已知 A,B,C 是双曲线0,b0)上的三个点,直线 AB 经过原点O,AC 经过右焦点 F,若BF AC0，且AF-AC，则该双曲线的离心率为4B.C.103D.二.填空题:本大题共4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.5axxx展开式中x3的系数为 10,则实数a等于(用数字作答)14.ABC的内角B、C的对边分别为a、b、c,若b a sinC cosC 0，则A=15.已知四棱锥MABCD,MA 平面 ABCD,AB BC,BCDBAD 180,MA 2,- 4 -116.设点P为函数f(x)x22ax与g(x) 3a21 nx b(a 0)的图像的2公共点，

6、以P为切点可作直线与两曲线都相切，则实数b的最大值为则该球的表面积为_- 5 -三.解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（12 分）某花圃为提高某品种花苗质量，开展技术创新活动，在A,B实验地分别用甲、乙方法培育该品种花苗为观测其生长情况，分别在实验地随机抽取各50 株，对每株进行综合评分，将每株所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图，记综合评分为80 分及以上的花苗为优质花苗 （1） 用样本估计总体，以频率作为概率，若在A, B两块实验地随机抽取 3 株花苗，求所抽取的花苗中优 质花苗数的分布列和数学期望；（2） 填写下面的列联表，并判断

7、是否有99%的把握认为优质花苗与培育方法有关（参考公式：K2（a b）（n（：）（咒（b d），其中n a b c d）18. （12 分）已知数列an,是一个等差数列，且a33,a2a7,数列bn是各项均为正数的等比数列11且满足：D, b3b5.2256（1） 求数列an与bn的通项公式；（2）设数Cn列满足Cnanbn，其前 n 项和为Tn求证：Tn219. （12 分）如图，菱形ABCD与正三角形BCE的边长均为 2，它们所在平面互相垂直，FD平面ABCD，EF P平面ABCD（1）求证：平面 ACF 平面BDF;（2）若CBA 60，求二面角A BC F的大小.20.（12 分）己知

8、函数fx x a l nxa R，它的导函数为f x（1）当a 1时，求f x的零点；（2）若函数f x存在极值点，求a的取值范围.21. （12 分）在平面直角坐标系中，已知点 M（ -2,0 ） , N（ 2,0 ）,动点 Px, y满足直线 MP 与直线 NP 的斜率1之积为-一.记动点 P 的轨迹为曲线 C.4（1）求曲线 C 的方程，并说明 C 是什么曲线；（2） 过点（3,0）作直线I与曲线 C 交于不同的两点 A,B，试问在 x 轴上是否存在定点 Q,使得直线 QA 与直 线 QB恰好关于 x 轴对称？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由.优质花苗非优质花苗合计甲培育

9、法20乙培育法10合计P(K2ko)0.0500.0100.001ko3.8416.63510.828- 6 -请考生在 22、23 两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B 铅笔在答题 卡上将所选题号后的方框涂黑.22.（10 分）选修 4 4:坐标系与参数方程- 7 -正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为4sin(1)求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程;(2)已知曲线C3的极坐标方程为(0,C2的交点，且AB均异于原点O，且|AB| 4迈，求23.(10 分)选修 4 5 :不等式选讲已知f (x) ax 2 x 2

10、.(1)在a 2时，解不等式f(x) 1；在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x 2 2cos(y 2si n为参数)，以原点0为极点,x轴的(2)若关于x的不等式4 f(x) 4对xR恒成立，求实数a的取值范围R)，点A是曲线 C3与G的交点，点B是 的值.- 8 -如下表所示:优质花苗非优质花苗合计甲培育法203050、选择题（每小题雅安市高中 2017 级第三次诊断性考试数学试题（理科）参考解答及评分意见5 分，共 60 分）DACBA CBCBA BD、填空题（每小题 5 分，共 20 分）313、214、415、4016、三、解答题（共 70 分）17( 12 分)解：（1）由

11、频率分布直方图可知，优质花苗的频率为（0.04 0.02） 100.6,即概率为06设所抽取的花苗为优质花苗的株数为X,则X B 3,-,于是5P(X0)C08；125P(X1)C；36；125P(X2)Cf54；125P(X3)27125X0123P8365427125125125125其分布列为:所以，所抽取的花苗为优质花苗的数学期望E（X） 3 -3955（2）频率分布直方图，优质花苗的频率为（0.04 0.02） 100.6，则样本中优质花苗的株数为60 株,列联表- 9 -乙培育法401050合计60401002100(20 10 30 40)2可得K16.6676.635.60 4

12、0 50 50所以，有 99%的把握认为优质花苗与培育方法有关系18 （12 分）解：（1）Q a为等差数列，设公差为d,ana12d 3a1d a14d 7a 1d 1ana1(n1)dn. .3 分Qb.为等比数列 ,bn0, 设公比为q,则q0,d?b5b：1b41dq325616n 1nq1,bn111.Gzy .6分2 222（2） 由（1）得cnanbn=n1n2Tna1b1a2b2asbs.anbn23n1n11111 -Tn1 -2 -3(n1)-n222222314nn 111213(n11)-n12 2 2 2 2 211121311n 1由-得：Tn-n2n222 .22

13、- 10 -B (1, 0, 0), C (-1 , 0, 0), F (-2 ,. 3 ,3 )(x, y,z), BC ( 2,0,0), BF ( 3, .3, .3)设二面角 A-BC-F 的平面角为，则cos I1| ,2 1 2所以二面角 A-BC-F 为 45; . . 12分20(12 分)(1)f x的定义域为0,1当a 1时，f x x 1 lnx,f x lnx 1 -. .2 分x1-Tn2.12分19 （12 分）解：（1）在菱形 ABCD 中, AC 丄 BD. 2 分/ FD 丄平面 ABCD - FD 丄 AC又FD BD D；二 AC 丄平面 BDF. 4 分

14、而AC 平面 ACF;平面 ACF 丄平面 BDF. 5 分取 BC 中点 0,连接 EQ OD/ BCE 为正三角形， EQL BC又平面 BCEL 平面 ABCD 且交线为 BC EQL 平面 ABCD. ./ FD 丄 ABCD - E0/ FD EF/ 平面ABCD,EF/ 0D四边形 E0DF 为平行四边形； FD=E0=3又在正三角形 ABC 中，0AL BC以 0B 0A 0E 所在的直线分别为x、y、z 轴建立空间直角坐标系设平面 BCF 的一个法向量为n3x2x 0.3y 3z 0,令 y=1,则z=-1 , x=0 ,得n(0,1, 1)平面 BCD 的一个法向量为m （0

15、,0,1）.10 分- 11 -易知f x Inx 1-为0,上的增函数，.3 分x又f 1 In 1110，所以x 1是f x的零点.5 分x aa(2)f xlnx1 Inx,f x存在极值点，.6 分xx所以1-aIn x 0有解x得a xlnx x设g(x) xlnx x，g(x) In x 2， .9 分(0,e2)上 g(x)减，(e2,)上 g(x)增2 2 2 2g(x)ming(e ) e Inee-e2,x,g(x)所以g(x) e2,)又当a e2时，(x) 0,即f (x)在(0,+ )上是增函数，所以f (x)没有极值点21 ( 12 分)(1)由题设可得KyKy，x

16、 2.1 分KMPKNP门则y 1x 2x 2 x 242化简得 .y21x 2 .3分4所有 C 为中心在坐标原点，焦点在X 轴上的椭圆，不含左右顶点。 . 4 分由题设知，直线 I 的斜率不为 0，设直线I的方程为 x+my -、3=0,与椭圆 C 的方程联立得整理得4 m2y22、3my 1 0设 A(x1,y1),B(x2,y2),定点 Q(t,0)(依题意 t 孜1,t 族2).由根与系数的关系可得，y y2_, yi y2, .7分4 m4 m直线 QA 与直线 QB 恰好关于 x 轴对称，则直线 QA 与直线 QB 的斜率互为相反数，(2)存在定点Q，满足直线 QA 与直线 QB

17、 恰好关于 x 轴对称.令Inx 2 0，x.10 分所以a ( e2,).12 分- 12 -所以一0即y1x2t y2x1t 0.9 分X1t X2t- 13 -又x1my1.3 0,x2my2.3 0所以y1. 3 - my2t y2. 3 my1t 0整理得,3-t yiy 2my20 .10 分从而可得、.3-t2-3mr2m与0即，2m 4 , 3t 0 4 m 4 m4d34J3所以当 t ，即 Q ,0 时,直线 QA 与直线 QB 恰好关于 x 轴对称 .11 分334 J3所以，在X轴上存在点，Q ,0满足直线 QA 与直线 QB 恰好关于 x 轴对称.12 分322( 10 分)(1) 由x 2 2cos消去参数可得G普通方程为x 22 2 /y 4，.2分y 2si n4si n,24 sin，由xCOs,得曲线 C2的直角坐标方程为ysin2xy224；-5分(2) 由、.(1)得曲线2C1: x 22y 4，其极坐标方程为4cos，.6分由题意设A1, ,B2,，则AB11 24 sincos|4眨sin44近,.8 分sin1，二-k