2020届北京市西城区高三上学期期末数学试题(解析版)

1、【答案】D第 1 页共 18 页2020 届北京市西城区高三上学期期末数学试题一、单选题1设集合A：x|x：a,B（3,0,1,5?, ,若集合A B有且仅有2个元素，则实数a的取值范围为（）A A .（3, +=c）B B.0,1C C 1，D D 1-1,5【答案】B【解析】根据集合的交集运算，由题意知A|B二-3,0?，由此可得，0:：a叮.【详解】因为集合AD B有且仅有2个元素，所以A|B - : -3,0?，即有0：a叮.故选：B.【点睛】本题主要考查集合的交集运算，属于基础题.3 i2已知复数z，则复数z在复平面内对应的点位于（）1 +iA A 第一象限B B.第二象限C C 第

2、三象限D D 第四象限【答案】D【解析】 根据复数的运算法则，化简复数z=1-2i，再利用复数的表示，即可判定，得到答案【详解】3 i （3i丫1 i ） 24i由题意，复数z1-2i,1+i（1+i厂i ）2所以复数 z 对应的点（1,-2）位于第四象限故选：D.【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，以及复数的表示，其中解答中熟记复数的运算法则，准确化简复数为代数形式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题第2页共 18 页3.在LABC中，若a =6, A 0 , B = 75，则c=（）A A.4B B.2 2C C.23D D.2 6第3页共 18 页【解析】根据三角形内角和

3、求出角C，再根据正弦定理即可求出边c【详解】因为C =180：_75 _60：=45，所以根据正弦定理知,6c”口，解得c = 2、6.si n60” sin 45，故选：D.【点睛】 本题主要考查已知三角形两角和一边，利用正弦定理解三角形, 4 4 设x y, ,且xy =0,则下列不等式中一定成立的是（B B.In x In yx2y2【答案】C【解析】根据基本初等函数的单调性或者不等式的性质，即可判断各选项的真假.【详解】1 1对 A，若x y 0，则，错误;x y对 B，当x = y时，取x=1,y = 2，根据对数函数的单调性可知，In x c In y，错误；对 C,因为x y，所

4、以-x：-y，根据指数函数的单调性可知，2：2一，正确；对 D，当x y时，取x -1,-2,x2：y2，错误.故选：C.【点睛】本题主要考查利用函数的单调性或者不等式的性质比较大小，属于基础题.5 5.已知直线x y0与圆x2y222y 0有公共点，则实数 a a 的取值范围为（ ）A A.：片0 1B B. 0, VC C.1-0,2D D .：i Y2【答案】A【解析】 依题意可知，直线与圆相交或相切，所以由圆心到直线的距离小于等于半径， 即可求a c，即sin A sin C属于基第4页共 18 页出.第5页共 18 页【详解】 依题意可知，直线与圆相交或相切.2 2 2 2x y 2

5、x-2y a = 0即为x 1 j亠y -12 -a.-112故选：A.【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系的应用，属于基础题.44 44 4 4-1446 6 .设三个向量a,b,c互不共线，则“a + b+c = O”是 以a,b,c为边长的三角形存在”的（）A A .充分而不必要条件B B.必要而不充分条件C C .充要条件D D .既不充分也不必要条件【答案】A【解析】 根据充分条件、必要条件的定义即可判断.【详解】44 44 T 4 T因为三个向量a,b, c互不共线，所以三个向量皆不为零向量，设a =AB,b = BC,而a,b,c互不共线，所以A,B,C三点不共线.当ab，c=

6、O时，c =CA，因为A，B，C三点不共线，所以以a , b,c为边长的三角形存在；本题主要考查充分条件、必要条件的理解与判断，属于基础题.7 7 紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正德年间. .紫砂壶的壶型众多，经典的有西施壶、掇球壶、石瓢壶、潘壶等. .其中，石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台（即圆锥用平行于底面的平面截去一个锥体得到的）. .下图给出了一个石瓢壶的相关数据 伸位：cmcm）, ,那么该壶的容量约为（）若以a ,b,c为边长的三角形存在，故a bc故选：A.是”4 0b,C为边长的三角形存在”的充分不必要条件.但是第6页共 18 页A A. 100100cm

7、3B B.200cm3C C. 300300cm3D D. 400400cm3【答案】B【解析】 根据圆台的体积等于两个圆锥的体积之差，即可求出.【详解】h 46设大圆锥的咼为h，所以，解得h =10.h 10故v J二5210-1二326 -196二：200cm3.333故选：B.【点睛】本题主要考查圆台体积的求法以及数学在生活中的应用，属于基础题.8 8 .已知函数f x = . x 1 k，若存在区间la,bk -1,母）, ,使得函数 f f（x x）在区间 a,b上的值域为la 1,b -11,则实数k的取值范围为（）f 1）f11A A. T,T,B B.：；：T,01C C. 一

8、4，：D D.厂 4,0【答案】D（a）=a+1| a +1 - J a +1 - k = 0【解析】 根据函数的单调性可知，即得，故可1/（b戶b + 1b+1-k = 0知.厂1,.厂1是方程x2-x -k = 0的两个不同非负实根， 由根与系数的关系即可求 出.【详解】f a = a 1a1-,a1-k=0根据函数的单调性可知，即可得到_ ，即可知lf（匕尸屮1b+1-応1-k = 0-1 4k 0a 1.b 1是方程x2_x_k=0的两个不同非负实根， 所以,解得严2 =kzO第7页共 18 页1 k _ 0.4故选：D.【点睛】本题主要考查函数的单调性的应用以及一元二次方程的根与系数

9、的关系应用，意在考查学生的转化能力，属于中档题.二、填空题59 9 .在(1 x )的展开式中,x2的系数为 _. .【答案】10【解析】 根据二项展开式的通项，赋值即可求出.【详解】5r2(1x)的展开式通项为T“=C；(x),令x = 2，所以x2的系数为C；(1) =10.故答案为：10.【点睛】本题主要考查二项展开式某特定项的系数求法，解题关键是准确求出展开式的通项，属于基础题.10.10. 已知向量a二-4,6 ,b= 2,x满足：/b，其中x R, ,那么b=_【答案】13【解析】根据向量平行的坐标表示求出x，再根据向量模的坐标计算公式即可求出.【详解】因为a/b，所以-4x -2

10、 6=0，解得x二3.因此 b =22+(3)2= J13.故答案为：.13.【点睛】本题主要考查向量平行的坐标表示以及向量模的坐标计算公式的应用，属于基础题.11.11.在公差为d d= = 0 0 的等差数列中,4=,4=1 1 , ,且玄:色伐成等比数列，贝 U U第8页共 18 页【答案】3【解析】根据等差数列的通项公式，用d表示出a2,a4,a12，再根据a2,a4,a12成等比数列，列式即可求解.【详解】因为aa1- (n - 1)d - -1 (n -1)d，所以a2- -1 d, a4- -1 3d,耳2- -1 11d，3d111d而a?,a4,玄仁成等比数列，所以，解得d=

11、 3或 d = 0 (舍去).1+d1+3d故答案为：3.【点睛】本题主要考查等差数列的性质以及等比数列的定义的应用，属于基础题.1212 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的四个侧面中，直角三角形有_ 个【答案】3【解析】根据三视图先还原成四棱锥，然后在该四棱锥的四个侧面中判断，即可得出.【详解】PA 垂直于底面的四棱锥.H2HH- -4*- I -H第9页共 18 页由三视图可知，PA = AD = AB = 2, BC = 1,AD _ AB, BC _ AB.因为PA_面ABCD，所以VPAB,VPAD都是直角三角形.在LPBC中,PB =2.2, BC =1,PC2二PA2AB2B

12、C2=4 4 1 =9，所以PB2BCPC2,LPBC也是直角三角形.在PDC中，PD2=4 4 =8,CD2=12 22=5，而PC2=9，所以PDC不是直角三角形因此，该四棱锥的四个侧面中，直角三角形有3 个.故答案为：3【点睛】本题主要考查三视图还原成几何体，线面垂直的定义、勾股定理及其逆定理的应用，意在考查学生的直观想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.1313 对于双曲线，给出下列三个条件：1离心率为2; ;2一条渐近线的倾斜角为 30 ; ;3实轴长为8，且焦点在x轴上. .写出符合其中两个条件的一个双曲线的标准方程 _ 2 2【答案】x y1，答案不唯一1648【解析】根据双曲线的

13、性质，选择其中两个条件，求出a,b,c，即可得到满足题意的一个的双曲线标准方程.【详解】若选择，所以e = = 2,2 a = 8，解得a = 4,c = 8，所以a.222朋，2b = c - a = 8 - 4 = 48，2 2因为焦点在x轴上，所以双曲线的标准方程为-y11648若选择其它，可以得到其它的双曲线的标准方程.故答案为：2 2x y“、“1，答案不唯一.【点睛】本题主要考查双曲线的简单性质的应用，属于基础题.1414 某商贸公司售卖某种水果. .经市场调研可知：在未来20天内，这种水果每箱的销售利第10页共 18 页_ 1润r伸位：元）与时间t（1 _t -20,tN，单位:

14、天）之间的函数关系式为r t 10,且4日销售量y( (单位：箱) )与时间t之间的函数关系式为y=1202t1第4天的销售利润为_ 元；2在未来的这20天中，公司决定每销售1箱该水果就捐赠m(mN*)元给 精准扶贫”对象. .为保证销售积极性，要求捐赠之后每天的利润随时间t的增大而增大，则m的最小值是_.【答案】12325【解析】先求出第 4 天每箱的销售利润，再求出当天的销售量即可求出该天的销售利润；先求出捐赠后的利润解析式，再根据二次函数的性质，列出不等式组即可解出.【详解】11因为r 44*10=11,y 4；=120-2 4=112，所以该天的销售利润为411 112 =1232；2

15、设捐赠后的利润为W元，则W =y r-mi；h120-2t -t 1m,12化简可得，W t 2m 10 t 1200 -120m.2令W二f t，因为二次函数的开口向下，对称轴为2m 10，为满足题意所以，2m 10一20“ f(1)A0，解得m色5.* *、n N故答案为：1232;5.【点睛】本题主要考查数学在生活中的应用，涉及二次函数的性质的应用，解题关键是对题意的理解和函数模型的建立，属于基础题.三、解答题第11页共 18 页1515.已知函数f x =2COSXJSin xI 6(1 1)求函数f x的最小正周期；(2 2)求函数兀If x在区间,0上的最小值和最大值. .! 2第

16、12页共 18 页3【答案】(1)n( 2)最大值 0 最小值2【解析】(1)先利用两角差的正弦公式展开，再利用二倍角公式和辅助角公式(或两角差的正弦公式)合并成y二Asin的形式，即可求出函数f x的最小正周期求出函数f x的最大最小值.【详解】3sin xcosx - cos? x311sin 2x cos2x -2222所以函数 f(x)的最小正周期为所以当t = 2x =6当t -2x，即 x 时，f (x)取得最大值 0 66c【点睛】 本题主要考查两角差的正弦公式、二倍角公式、辅助角公式的应用，以及三角函数在闭区间上的最值求法，意在考查学生的转化和运算能力，属于基础题.1616 高

17、铁和航空的飞速发展不仅方便了人们的出行，更带动了我国经济的巨大发展. .据统计，在 20182018 年这一年内从A市到B市乘坐高铁或飞机出行的成年人约为50万人次. .为了解乘客出行的满意度，现从中随机抽取100人次作为样本，得到下表( (单位：人次):):满意度老年人中年人青年人乘坐高铁乘坐飞机乘坐高铁乘坐飞机乘坐高铁乘坐飞机 K二.7二,上单调递增，而sin -丿;sin 1IL 26 .6丿1 6丿调递减，在,兀小丨，n(2)由x,0，求出t =2x_ IL 26三二，再根据y=sint的单调性可因为f(xf(x 2cosx2cosx0在x，R上恒成立，设g(x)二ex-(a，1)x-

18、b，用导数讨论函数的单调性， 求出最小值g(ln(a 1)0,可得b-aw1-(a 1)ln(a 1)再 设 h(x) =1 -xlnx(x0)，求出函数h x的最大值，即为b-a的最大值.【详解】1(1)由f (x) =exx2，得f (x)二exx,2所以丨I ODC的面积SODC、3k|3(k21) |k|_4k21匸2(4k21)2所以27k2| k|222(4k21)23(k21) | k|222(4k21)2，解得k二4第24页共 18 页所以f (0) =1,f (0) =1.所以曲线y = f (x)在点(0, f (0)处的切线方程为x y 1 = 0.(2)由f (x) =

19、exx -x2，得f (x) =ex_1 x.2因为f (0)=0，且f (x) =ex_1 x在:-匚 n 上单调递增，所以由f (x)二ex-1 x 0得，x 0，所以函数 f(x)在(0, ：)上单调递增，由f (x) =ex_1 x : 0得，x：0所以函数 f(x)在(-：,0)上单调递减.综上，函数 f(x)的单调递增区间为(0,，单调递减区间为(：,0).12x(3) 由f (x)x x b，得e -(a 1)x -b0在x R上恒成立.2设g(x)二ex-(a 1)x -b,则g (x) =ex-(a 1).由g (x) =ex-(a 1)=0，得x =1 n(a 1),(a

20、-1).随着x变化，g (x)与g(x)的变化情况如下表所示：x(-o,ln( a +1)ln( a +1)(ln( a +1),亦)g(x)0+g(x)极小值/所以g(x)在 n(a 1)上单调递减，在(ln( a 1),；)上单调递增. 所以函数g(x)的最小值为 g(ln(a 1)(a7)-(a 1)ln( a 1) -b .由题意，得g (ln( a 1)0，即即b _aw1 -(a 1)ln(a 1).设 h(x) =1 -xln x (x 0)，贝V h (x) -Tnx-1 .11因为当0：x时，Tn x -10； 当x时，Tn x -1 - 0,第25页共 18 页ee11所以

21、h(x)在(o,_)上单调递增，在(-，：)上单调递减.ee111所以当X时，h(X)max =h() =A -eee112 1,b =a 1 (a 1)1 n(a 1)，即 a 1 ,b =-时，b-a有最大值为eee【点睛】本题主要考查导数的几何意义的应用，利用导数研究函数的单调性和最值，以及函数不等式恒成立问题的解法，意在考查学生的等价转化思想和数学运算能力，属于较难题.2020设整数集合A=涸代,，a100?，其中1乞印：:：a2：?: a100乞205，且对于任意i, j 1叮空j乞100，若i j A，则aiajA.(1)请写出一个满足条件的集合A；(2)证明：任意x “01,10

22、2,200),x - A；(3) 若a100二205，求满足条件的集合A的个数. .【答案】(1) A 二1,2,3 川|,100 ( 2)证明见解析(3) 16 个【解析】(1)根据题目条件，令 务二n，即可写出一个集合 A =1,2,3,111,100；(2)由反证法即可证明；(3)因 为 任 意 的X-101,102，200?,x-A， 所 以 集 合A|201,202，,205中至 多 5 个元素设二bW100,先通过判断集合A中前100-m个元素的最大值可以推 出a =i(1WiW100-m)，故集合A的个数与集合201 ,202,203,204的子集个数相同，即 可求出.【详解】(1)答案不唯一. 如 A =1,2,3J|,100;(2) 假设存在一个 X。 101,