求数列通项公式的常用方法

1、求数列通项公式的常用方法、累加法1适用于：anAaAf(n)这是广义的等差数列累加法是最基本的二个方法之一2. 解题步骤：若an1-an二f(n)(n_2),a2_aA-f(1)*3a?=f(2)则32')IIIIIIan1-an=f(n)n两边分别相加得and-aAf(n)kA例1已知数列an满足an1an?2nT,2八1,求数列a.的通项公式。解：由ani=an2n1得an勺-an=2n1则an=(an-an)(an4-an_2)IH(a3-a2)(a2-a1)a1=2(n1)12(n2)1|l|(221)(211)1=2(n-1)(n-2)I1|21(n-1)1=2此加(n-1)

2、12=(n-1)(n1)12二n2所以数列an的通项公式为a*=n练习？已知数列满足内二3an = an41(n-2)n(n-1)，求此数列的通项公式1an=2答案：裂项求和n数、指数函数、分式函数，求通项评注：已知a1 = %1 -弘=f(n),其中an血 ) 可以是关于n 的一次函数、二次函若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和；若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和；若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和；若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。、累乘法1.适用于：anf(n)an这是广义的等比数列，累乘法是最基本的二个方法之2?解题步

3、骤:若空二f(n),则克二f(1)，冬二f(2),|(川,也二f(n)anala2ann两边分别相乘得,例2已知数列ann1二印|f(k)alk4满足an1=2(n?1)5na.,a”，求数列a.的通项公式。a解：因为ani=2(n1)5na.,aA3,所以a.=0,则-=2(n1)5n，故ananann|%a2?anaananJ2a2ai二2(n11)5A2(n21)5nJI|2(21)522(11)513=2叫n(n_1)325(22"213n(n4n-12.=3252n!n(n-4)所以数列an的通项公式为an=32n452nL练习.已知an1二nan?nT，a1一1,求数列伽

4、的通项公式答案：an=(n-1)!佝+1)4评注：本题解题的关键是把原来的递推关系式an1二nann1,转化为有11=n(an1)'若令bn=an则问题进一步转化为bn”二nbn形式，进而应用累乘法求出数列的通项公式三、待定系数法适用于an.1二qanf(n)个函数。基本思路是转化为等差数列或等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一can*d,(cH0,其中ai=a)型(1)若c=1时，数列an为等差数列(2)若d=0时，数列an为等比数列(3)若 c"且 d = 0时，数列an为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列求.解题步骤：设an卅十扎=c(

5、an+>0,得an*=can+(c1)九，与题设an,1二can?d,比较系“n二)土心0),所以有：数得(c-,扎,所以因此数列所以例3已知数列anancan解：；&=2an4+c-1d+构成以c-1(a1d)cnJc1中，al=1,an=2and1(n1(n-2),.a.1为首项，以C为公比的等比数列，/dnJan=(a1)c即：c12),求数列aj的通项公式。2和1)又：&V=2,.'an-V是首项为2,公比为2的等比数列?anc-1八2n,即a八2n1±1练习.已知数列an中，a1=2，an八2an2,求通项ann-Aan答案:(2)0,1)若P

6、 "时,即：an 1P久q ,2?形如：九1（其中q是常数，且n=若p=1时，即：and=anq,累加即可.求通项方法有以下三种方向：n+i.两边同除以p?目的是把所求数列构造成等差数列即：p（卫）nq,然后累加求通项？ii.两边同除以目的是把所求数列构造成等差数列。即：qan1n：1an1qnbn睥令q,则可化为bn1q,然后转化为待定系数法第一种情况来解。iii.待定系数法:列目的是把所求数列构造成等差数n1设an1q-p(anp;通过比较系数,n求出，转化为等比数列求通项注意：应用待定系数法时，要求p=q,否则待定系数法会失效。例4已知数列满足an1=2an3，aA求数列0J的

7、通项公式。比较系数得、解法一（待定系数法）：设务则数列?n二3是首项为a一43八5,公比为2的等比数列，所以43n_1n_1一5'2,即务=43n1一52解法二（两边同除以q）：两边同时除以3得:33n.j432,下面解法略解法三（两边同除以p）pn十:两边同时除以2得:am_包42n12n3(2)3n,下面解法略3?形如an.1pan?kn?b（其中幼是常数，且k=0）待定系数法解题步骤：通过凑配可转化为(an?Xn?y)=p(an八X(n-1)y);'K* 的通项公式。X、y；解得数列（anxny）的通项公式；得数列例5 .在数列 &中,3 ai2,2a八一2川=6

8、n '3 a求通项an. （待定系数法 ）解：原递推式可化为2（anxn?y）8nx（n-iry比较系数可得：x=-6,y=9,上式即为2bn=bn八b所以bn'是一个等比数列，首项bi=ai6n+9=；2，公比为2。91n_l5=二(二)22an -6n 91n=9()21nan=9()6n-92练习在数列an中，al=1，an八3an2n，求通项叽（逐项相减法）解：an卅=3an+2n,n八2时，an=3an/+2(n1),bn =an 卅 一 an ，则bn = 3bn + 2两式相减得an卅an=3(ananJ)+2令知bn=53n42即an1-an=5-3n4-15n

9、-lan=3再由累加法可得2n25an=3亦可联立解出2n-1n24?形如an八PananbnC（其中a,b,c是常数，且a=0）基本思路是转化为等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。2例6已知数列an满足an1-2an'3n?4n?5,a八1,求数列an的通项公式。2解：设an1'x(n1)y(n1)z=2(anxnynz)比较系数得x=3,y=10,z=18,所以an彳3(n1)210(n1)18=2(an3n210n18)22由a3110118=131=32=0，得an3n10n18八02则an13(n1210(nD18=2,故数列an3n210

10、n18为以an3n10n182a131101*18=1*31=32为首项，以2为公比的等比数列，因此an3n210n18=322n-,则an=2n4-3n2-10n-18o5.形如anpan1qan时将a作为f(n)求解分析：原递推式可化为an2?an1=(P?(anan)的形式，比较系数可求得？，数列fanan?为等比数列。例7已知数列an,满足an2=5an1-6如？=-1?=2,求数列n的通项公式。解.设an2'an1=(5')(an1'an)比较系数得=-3或二-2，不妨取=-2,(取-3结果形式可能不同，但本质相同)则an2-2an3(%1-细)，则aV-2a

11、n是首项为4,公比为3的等比数列nnJnAan+-2an=43所以a八4352练习数列中，若a1=8，a2二2,且满足有吃一4有1'3an=°,求an答案:an=113n四、不动点法目的是将递推数列转化为等比(差)数列的方法不动点的定义：函数f(x)的定义域为D,若存在f(x)x(TD,使f(x0)=X。成立，则称X。为f(x)的不动点或称(Xo,f(Xo)为函数f(x)的不动点分析：由f(x)二X求出不动点X0,在递推公式两边同时减去X0,再变形求解。类型一：形如an.1二qan?d例8已知数列an中，aA1,aA2anj-1(n_2)，求数列：a/?的通项公式。解：递推关

12、系是对应得递归函数为f(x)=2x?1,由f(x)=x得，不动点为-1二an1A2(an1),类型二：形如an, = a anc ?ban +d分析：递归函数为f(x)二(1)若有两个相异的不动点p,q时，将递归关系式两边分别减去不动点p,q ,再将两式相除得an十一P|,an-P甘中a_pc.小_(a1q_pq)k(a1pPq)k，其中k,-an百一an1qanqaqc(aA-p)k-*q)(2)若有两个相同的不动点p,则将递归关系式两边减去不动点p，然后用1除，得1an1一Pan一P5a+4尸43n)2例9.设数列an满足a1=2,an1n，求数列an的通项公式(答案:an43nJ-1)2

13、an+7分析：此类问题常用参数法化等比数列求解解：对等式两端同时加参数t,得：an1t50t2an-7(2t5)an7t2an7-(2t5)an7t42t52an7令t=HA,解之得t=1,-22t+5代入an1t=(2t5)an-4得2an+7an1an12an72an相除得an，一1an十+2色A1,即旦匚1是首项为an2an2a<i-'1a1-2公比为1的等比数列，二1313a.+24解得an43心243n4-1.练习.已知数列an满足2,an1n(nN2a-1),求数列an4an+6*的通项an答案:135nan10n6五、对数变换法适用于apanr（其中p,r为常数）型

14、p>0,an0例10.设正项数列满足1=1.n=2a篇（n»2）?求数列乩的通项公式.解：两边取对数得log2n=12log；log；n+1=2(log2n"1),设bn=lOg:+1,则练习数列乩中,答案:an二2八、倒数变换法bn'是以2为公比的等比数歹U,log；n=2n,1；n=22心bibn=12心二2心,a1,an2-n2-2=2pan（n2）,求数列右n的通项公式.适用于分式关系的递推公式，分子只有一项例1匕知数列an满足an1二尹2"1,求数列an，的通项公式。解：求倒数得1.112anan1an2!为等差数列，!an-1anI首项±=1,公差为-,a12an 1七、阶差法(逐项相减法)1、递推公式中既有Sn,又有an1S,n=1分析：把已知关系通过an二转化为数列或Sn的递推关系，然后采用相应的ISi-Si,n±2方法求解。1例12已知数列an的各项均为正数，且前n项和Sn满足Sn(an1)(an-2),且a2,a4,a9成6等比数列，求数列an的通项公式。+1解：？?对任一1上nN有Sn(an1)(an2)6(1